北師大版八下數(shù)學分解因式基本方法的應用

1、a a分解因式基本方法的應用【精練】把下列各式因式分解（1）4ax2-4 ax +a（2） x 2 -36分析：在分解因式時，一定先要認真觀察，不要盲目下筆通過觀察發(fā)現(xiàn)（1）題的多項式含有公因式 ，因此先提取公因式 ，余下的因式 4 x利用公式法繼續(xù)分解；而（2）題可以直接考慮用平方差公式2-4 x +1 又可以解答：（1） x2-364 ax2-4 ax +a = a(4 x2-4 x +1) =a (2 x -1)2（2） x2-36 = (x+6)(x-6)點評：因式分解一般先考慮提公因式，然后再考慮用公式，并且要分解到底拓廣：因式分解： a3+4 a2+4 a=【知識規(guī)律串講】一、基礎

2、知識（1） 因式分解：把一個多項式和的形式化為積的形式，叫做因式分解.（2） 公因式：幾個單項式中相同因式最低次冪的積叫做這幾個單項式的公因式 . 確定公因式的方法是：系數(shù) 取多項式的各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 取各項都 含有的字母（或多項式因式）的最低次冪；（3）提公因式法：實際上是逆用乘法分配律，即 (ma+mb +mc )=m(a+b+c （4）公式法：利用平方差公式： a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)利用完全平方公式： a 2 2 ab +b 2 =(a+b)2（5）因式分解的一般步驟：1 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；2 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來

3、分解；3 分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止二、分解因式的幾種常用方法1 / 7)1按公因式分解例 1 分解因式 7x2-3y+xy+21x分析 ：第 1、4 項含公因式 7x，第 2、3 項含公因式 y，分組后又有公因式(x-3)，解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)2按系數(shù)分解例 2 分解因式 x3+3x2+3x+9分析 ：第 1、2 項和 3、4 項的系數(shù)之比 1：3，把它們按系數(shù)分組解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)3按次數(shù)分組例 3 分解因式 m2+

4、2mn-3m-3n+n2分析 ：第 1、2、5 項是二次項，第 3、4 項是一次項，按次數(shù)分組后能用 公式和提取公因式解：原式=(m2+2mn+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)(m+n)(m+n-3)4按乘法公式分組分析 ：第 1、3、4 項結(jié)合正好是完全平方公式，分組后又與第二項用平 方差公式2 / 75展開后再分組例 5 分解因式 ab(c2+d2)+cd(a2+b2)分析 ：將括號展開后再重新分組解：原式=abc2+abd2+cda2 十 cdb2(abc2+cda2)+(cdb2+abd2) ac(bc+ad)+bd(bc+ad)(bc+ad)(ac+bd)6拆項后

5、再分組例 6 分解因式 x2-y2+4x+2y+3分析 ：把常數(shù)拆開后再分組用乘法公式解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)7添項后再分組例 7 分解因式 x4+4分析 ：上式項數(shù)較少，較難分解，可添項后再分組解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)8用換元法進行因式分解用添加輔助元素的換元思想進行因式分解就是原式繁雜直接分解有困 難，通過換元化為簡單，從而分步完成例 8 分解因式(x2+3x-2)(x2 +3x+4)-163 / 7

6、1 21 21 21 21 21 21 2 1 2分析 ：將令 y=x2+3x，則原式轉(zhuǎn)化為( y-2)(y+4)-16 再分解就簡單了解：令 y=x2+3x，則原式=( y-2)( y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)( y-4)因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)9用求根法進行因式分解例 9 分解因式 x2+7x+2分析 ：x2+7x+2 利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求該多項式對應方程的根再分解10用待定系數(shù)法分解因式例 10 分解因式 x2+6x-16分析 ：假設能分解，則應分解為兩個一次項式的積形式，即 (x

7、+b )(x+b )，將其展開得x2+(b +b )x 十 b b 與 x2+6x-16 相比較得b1+b2=6，b b =-16，可得 b ，b 即可分解解：設 x2+6x-16=(x+b )(x+b )則 x2+6x-16=x2+(b +b )x+b b4 / 7x2+6x-16=(x-2)(x+8)三、因式分解的應用1利用因式分解解方程例 11一個數(shù)的立方等于它本身，求這個數(shù)分析：當 ab=0 時，a=0 或 b=0設此數(shù)為 x，則 x3=x利用因式分解，將其變形為 x(x1)(x1)=0通過對積為 0 的數(shù)的分析，可得出 x 的解，這就是利 用因式分解法解方程的基本原理解：設這個數(shù)為

8、x則x3=xx3x=0x(x21)=0x(x1)(x1)=0所以 x=0 或 x1=0 或 x1=0解得 x=0 或 x=-1 或 x=1答：這個數(shù)可能是 0，-1，或 1例 12已知長方形的長為 a，寬為 b，a 與 b 都是整數(shù)，且 a2ab2b2=7求 長方形的面積分析：本題就是要由條件 a2ab2b2=7 確定整數(shù) a 與 b 的值，可將等式左邊進行因式分解，等式右邊進行因數(shù)分解，從而確定每一個因式的值解：因為所以a2ab2b2=7(a2b)(ab)=17或(a2b)(ab)=（-1）(-7)由于 a 與 b 都是線段長，所以 a2b0由和解得a =5b =-2不合題意舍去5 / 7由

9、和解得a =3b =2經(jīng)檢驗a =3b =2符合題意所以 ab=6答：長方形的面積為 6 2利用因式分解巧算計算題例 13計算19983 -2 1998 2 -1996 19983 +1998 2 -1999分析：大數(shù)計算，應巧解，算式中多次出現(xiàn)了1998 這個數(shù)，可考慮先部分提 取公因數(shù)，進行化簡解：原式=1998 21998 2(1998 -2) -1996 (1998 +1) -1999=19981998221996 -19961999 -1999=1996(1998 2 -1)1999(1998 2 -1)199619993利用因式分解求代數(shù)式的值 例 14已知 a2 a1=0求 a10a9a8a7a6a5a4a3a2的值分析：將代數(shù)式變形成 a2a1 的表達式，利用 a2a1=0 整式代入，即可求值解：原式=a2(a8 a7a6a5a4a3a2a1) =a2(a6(a2a1)a3(a2a1)(a2a1)=a2(a2a1)(a6a31)因為 a2a1=0所以原式=06 / 7例 15已知 a(a1)(a2b)=-2，求a 2 +b 2 2-ab 的值分析：分別將條件和待求代數(shù)式變形，尋求整體代入機會解：因為 a(a1)(a2b)=-2所以 a2aa2b=-2即ab=-2原