高中數(shù)學(xué)初高中銜接讀本專題2.2根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理高效演練學(xué)案

1、121 2第 2 講根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用本專題將對(duì)一 元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述?！局R(shí)梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）一元二次方程ax2+bx +c =0 ( a 0)的兩個(gè)根為：x =-b + b2 -4 ac -b - b 2 -4 ac, x =2 a 2 a所以：x +x =1 2-b + b2 -4 ac -b - b2 -4 ac b+ =- 2 a 2a a，x x =1 2

2、-b + b 2 -4 ac -b - b 22a 2 a-4 ac ( -b) =2-( b2(2 a)2-4 ac )24ac c= =4a 2 a定理：如果一元二次方程ax 2 +bx +c =0 ( a 0)的兩個(gè)根為x , x1 2，那么：b cx +x =- , x x =a a說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是 【高效演練】d01.若x ，x1 2是一元二次方程x2-2 x -3 =0的兩個(gè)根，則x x1 2的值是( )a2 b2 c4 d3【解析】：方程的兩根為x1，x2，根據(jù)題意得x x =1

3、2ca=-3故選 d【答案】d2若 ， 是方程 x22x3=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 2+2的值為（ ）a. 5 b. 7 c. 9 d. 10 【解析】， 是方程 x22x3=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，+=2，=3， 2+2=（+）22=222（3）=10故選 d【答案】d3關(guān)于 x 的一元二次方程 x2pxq0 的兩根同為負(fù)數(shù)，則( )a. p0 且 q0 b. p0 且 q0c. p0 且 q0 d. p0 且 q0【解析】試題解析：設(shè) x ，x 是該方程的兩個(gè)負(fù)數(shù)根，則有 x +x 0，x x 0，1 2 1 2 1 2x +x =-p，x x =q1 2 1 2-p0，q0p0，q0故選 a【答

4、案】a4.方程 x2(m6)xm20 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足 x x x x ，則 m 的值是( )1 2 1 2a. 2 或 3 b. 3 c. 2 d. 3 或 25.規(guī)定：如果關(guān)于 x 的一元二次方程ax 2 +bx +c =0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2 倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”現(xiàn)有下列結(jié)論：方程x2+2 x -8 =0是倍根方程；若關(guān)于 x 的方程x2 +ax +2 =0是倍根方程，則 a=3；若關(guān)于 x 的方程ax2-6 ax +c =0（a0）是倍根方程，則拋物線y =ax2-6 ax +c與 x 軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）；若點(diǎn)（m

5、，n）在反比例函數(shù)y =4x的圖象上，則關(guān)于 x 的方程mx2+5 x +n =0是倍根方程上述結(jié)論中正確的有（ ）a b c d 【解析】122 1關(guān)于 x 的方程ax 2 -6 ax +c =0（a0）是倍根方程，x =2x ，拋物線2 1y =ax 2 -6 ax +c的對(duì)稱軸是直線 x=3，拋物線y =ax 2 -6 ax +c與 x 軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0），故正確；點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y =4 2 8的圖象上，mn=4，解 mx 2 +5 x +n =0 得 x = ，x = ，x =4x ， x m m關(guān)于 x 的方程mx2+5 x +n =0不是倍根方程；故選

6、 c【答案】c6.已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-x -3 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a, b，則 (a-1)(b-1)=_.【解析】關(guān)于 x 的方程： x，a+b=1，ab=-3 2-x -3 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a、b，(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-3-1+1=-3.【答案】-37.若方程 x2-x -1 =0 的兩實(shí)根為 a、b，則1 1+ 的值為_(kāi)。 a b【解析】方程 x2x1=0 的兩實(shí)根為 a、b， a+b=1，ab=1，1 1 a +b 1 + = = =-1a b ab -1【答案】-18設(shè)m, n是方程x 2 +x - 2018 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

7、m 2 +2 m +n的值為_(kāi)。【解析】由 m, n 是方程 x2+x - 2018 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m +n =- 1, 且 m2+m - 2018 = 0，又m2 +2m +n =m 2+m +m +n = 2018 - 1 = 2017【答案】2017a9.關(guān)于 x 的一元二次方程x2+2 x -2 m +1 =0的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 10.一元二次方程x 2 -4 x +a =0有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)比 3 大，一個(gè)比 3 小， 的取值范圍為_(kāi)。yx=20 3【解析】解一：由xd0( x -3)( x -3) 0 1 2解得：a 3解二：設(shè)f ( x)=x 2

8、-4 x +a，則如圖所示，只須f (3) 0，解得a 3【答案】a 311若關(guān)于 x 的一元二次方程 x24x+k3=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x 、x ，且滿足 x =3x ，試求出方程的兩個(gè)實(shí)1 2 1 2數(shù)根及 k 的值【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得x +x =4，x x =k31 2 1 2又x =3x ，1 2聯(lián)立、，解方程組得x =31x =12，k=x x +3=31+3=6 1 21則方程兩根為 x =3，x =1；k=61 2【答案】x =3，x =1；k=6 1 212.已知關(guān)于 x 的方程x2 -2 (k-3)x+k2-4k -1 =0.（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) k 的

9、取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為 x 、x ，且滿足 x 2 +x1 222=x x +71 2,求實(shí)數(shù) k 的值.【解析】分析：（1）根據(jù)方程有實(shí)根可得0，進(jìn)而可得-2（k-3）2-41（k2-4k-1）0，再解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得 x +x =2（k-3），xx =k2-4k-1，再由完全平方公式可得 x 2+x 2=（x +x ）-2x x ，1 2 1 2 1 2 1 2 1 2代入 x +x =2（k-3），x x = k2-4k-1 可計(jì)算出 m 的值1 2 1 2解析：（1）x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0 有實(shí)數(shù)根，=4（k-3）2-4（k2-4k-1

10、）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k0，解得：k5；13.已知關(guān)于x的方程x2-( k +1)x +14k2+1 =0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值(1) 方程兩實(shí)根的積為 5；(2) 方程的兩實(shí)根x , x 滿足 | x |=x 1 2 1 2【解析】(1) 方程兩實(shí)根的積為 5 1d= -(k +1)2 -4( k 2 +1) 0 4 1x x = k 2 +1 =512 43 k , k =42所以，當(dāng)k =4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為 5(2) 由| x |=x 1 2得知：當(dāng)x 0 時(shí)， x =x 1 12，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故d=0 k =32；當(dāng)x 0 k 3

11、2，故k =-1不合題意，舍去綜上可得，k =32時(shí)，方程的兩實(shí)根x , x 滿足 | x |=x 1 2 1 2【答案】（1） k =4 ；（2） k =32.14.已知關(guān)于 x 的一元二次方程x2+( k -5) x +1 -k =0，其中 k 為常數(shù)（1）求證：無(wú)論 k 為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）已知函數(shù)y =x 2 +( k -5) x +1 -k的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求 k 的取值范圍；（3）若原方程的一個(gè)根大于 3，另一個(gè)根小于 3，求 k 的最大整數(shù)值解析：（1）證明：=（k5）24（1k）=k26k+21=（k3）2+120，無(wú)論 k 為何值，方程總有兩 個(gè)不相等

12、實(shí)數(shù)根；（2）解：二次函數(shù)y =x2+( k -5) x +1 -k的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，二次項(xiàng)系數(shù) a=1，拋物線開(kāi)口方向向上，=（k3）2+120，拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)拋物線與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x ，x ，x +x =5k0，x x =1k0，解得 k1，即 k 的取值范圍是 k1；1 2 1 2 1 2（3）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是 x ，x ，根據(jù)題意，得（x 3）（x 3）0，即 x x 3（x +x ）+90，1 2 1 2 1 2 1 2又 x +x =5k，x x =1k，代入得，1k3（5k）+90，解得 k 1 2 1 252則 k 的最大整數(shù)值為 2

13、【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）k1；（3）2【解題反思】：本題考查了拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系， 根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)。1 215.已知x , x1 2是一元二次方程4kx 2 -4 kx +k +1 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù) k ，使 (2 x -x )( x -2 x ) =-1 2 1 232成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(2) 求使x x1 + 2 -2 x x2 1的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值【解析】(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2 x -x )( x -2 x ) =- 1 2 1 232成立 一元二次方程4kx 2 -4 kx +k +1 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 4k 0d=( -4k ) 2 -4 4k( k +1) =-16k 0 k 0 ，又 x , x1