均值不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：基本不等式ab a +b2科目：數(shù)學(xué)提供者： 李文毅教學(xué)對(duì)象： 高一學(xué)生單位：大同四中課時(shí)：1 課時(shí)一、教學(xué)內(nèi)容分析?本節(jié)課基本不等式是數(shù)學(xué)必修五（人教 a 版）第三章第四節(jié)的內(nèi)容，主要 內(nèi)容是通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)猜想，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，得到均值不等式；并通過(guò)在學(xué) 習(xí)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義基礎(chǔ)上，理解均值不等式的幾何解釋；與此同時(shí)在推 導(dǎo)論證的基礎(chǔ)上進(jìn)行公式的推廣并學(xué)會(huì)應(yīng)用.均值不等式是這一章的核心，對(duì)于不等式的 證明及利用均值不等式求最值等應(yīng)用問(wèn)題都起到了工具性作用。有利于學(xué)生對(duì)后面不等 式的證明及前面函數(shù)的一些最值、值域進(jìn)一步拓展與研究，起到承前啟后的作用.二、教學(xué)目標(biāo)1、 知

2、識(shí)與技能：通過(guò)“從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)中分析問(wèn)題，設(shè)計(jì)中解決問(wèn)題、總結(jié)問(wèn) 題，論證后延拓問(wèn)題”五個(gè)環(huán)節(jié)使學(xué)生深刻理解均值不等式，明確均值不等式的使用條 件，能用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.2、 過(guò)程與方法：通過(guò)情境設(shè)置提出問(wèn)題、揭示課題，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究新知的習(xí)慣；引 導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)，模型轉(zhuǎn)化，類比猜想實(shí)現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)知識(shí)與規(guī)律的形成過(guò) 程；通過(guò)模型對(duì)比，多個(gè)角度、多種方法求解，拓寬學(xué)生的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維方式， 提高學(xué)生綜合創(chuàng)新與創(chuàng)造能力.3、 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置與解決使學(xué)生理解生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并注重運(yùn)用 數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，有利于數(shù)學(xué)生活化、大眾化；同時(shí)通過(guò)

3、學(xué)生自身的探索研 究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.三、學(xué)習(xí)者特征分析1、 從學(xué)生知識(shí)層面看：學(xué)生對(duì)不等式的概念和性質(zhì)有了感性的認(rèn)識(shí)，在探究學(xué)習(xí)和應(yīng)用 實(shí)習(xí)的過(guò)程中，會(huì)解決最簡(jiǎn)單的關(guān)于不等式的問(wèn)題.2、 從學(xué)生素質(zhì)層面看：我所教的兩個(gè)班都是文科平行班，大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差；學(xué) 生的理解能力，運(yùn)算能力，思維能力等方面參差不齊；但學(xué)生有學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，有 一定的學(xué)習(xí)積極性。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式的教學(xué)策略.通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題引出課題，通過(guò)啟發(fā)引導(dǎo)解決 問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題、論證問(wèn)題、延拓問(wèn)題等環(huán)節(jié)讓學(xué)生領(lǐng)悟科學(xué)的探究方法，增強(qiáng)學(xué)生的 探究能力.在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，大膽探索，以訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)

4、生的思維能力.五、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：用均值不等式求解最值問(wèn)題的思路和基本方法。難點(diǎn)：均值不等式的使用條件，合理地應(yīng)用均值不等式六、教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)?一、情景激疑如圖是在北京召開(kāi)的第 24 界國(guó)際數(shù)學(xué) 家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家 趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去 象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客 .你能 在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān) 系嗎？將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，?二、引入概念結(jié) 論 ： 一 般 的 ， 如 果 a, b r ， 我 們 有學(xué)生活動(dòng)教師發(fā)下講義讓學(xué)生思考 . 并提出問(wèn)題：在正方形 abcd 中 有 4 個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直 角三角形的兩條直角邊

5、長(zhǎng)為 a，b 那 么 正 方 形 的 邊 長(zhǎng) 為 _.這樣，4 個(gè)直角三 角 形 的 面 積 的 和 是 _，正方形的面積為 _.由于 4 個(gè)直角三角形 的面積_正方形的面積，我 們 就 得 到 了 一 個(gè) 不 等 式 ： a2 +b 2 2 ab .當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊?角三角形，即a=b 時(shí)，正方形 efgh 縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有 _設(shè)計(jì)意圖1、通過(guò)引導(dǎo)，讓學(xué) 生主動(dòng)地解決定理 的證明，并形成猜想 證明的嚴(yán)謹(jǐn)思維。 2、通過(guò)提問(wèn)進(jìn)一步 加深對(duì)基本不等式 的理解，明確不等式 成立的條件a2+b22 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時(shí)，等號(hào)成立.特別的，如果 a 0 ，b 0 ，我們用 a 、 b

6、 分別代替 a 、 b ，可得 a +b 2 ab ，通常我們把上式寫(xiě)作：a +bab (a0,b0)2語(yǔ)言敘述：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不 小于它的幾何平均值.教師設(shè)問(wèn)：如何證明呢？?學(xué)生分組討論，合作交流，小 組匯報(bào)，其它小組給展示的小組 查缺補(bǔ)漏以便使所有的學(xué)生都 能形成一個(gè)完備的知識(shí)體系小組討論，提出多種 解決方法.讓學(xué)生拓 寬思路，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié) 作的習(xí)慣.22三、深化理解 ?在圖中，ab是圓的直徑，點(diǎn) c 是 ab 上的一點(diǎn)， ac=a，bc=b.過(guò)點(diǎn) c 作垂直于 ab 的弦 de，連接 ad、bd.?教師提問(wèn)：?通過(guò)展示均值不等結(jié)論：基本不等式 ab a +b2幾何意義是問(wèn)題一：圖中

7、 是多少；co，cd的長(zhǎng)度式的幾何直觀解釋， 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形的“半徑不小于半弦”評(píng)述：a +b1.如果把 看作是正數(shù) a 、 b 的等差中2項(xiàng)， ab 看作是正數(shù) a 、 b 的等比中項(xiàng)，那 么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng) 不小于它們的等比中項(xiàng).a +b2.在數(shù)學(xué)中，我們稱 為 a 、b 的算術(shù)平2均數(shù)，稱 ab 為 a 、b 的幾何平均數(shù).本節(jié)定 理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小 于它們的幾何平均數(shù).問(wèn)題二： co 與 cd 的大小關(guān)系 如何？問(wèn)題三、等號(hào)何時(shí)成立（讓學(xué)生 分組討論，然后提問(wèn)）意識(shí)，并使抽象的問(wèn) 題更加直觀、形象， 使學(xué)生的理解一進(jìn) 步加深四、變形應(yīng)用形.?讓學(xué)

8、生對(duì)定理形式進(jìn)行變使學(xué)生能更靈 活的應(yīng)用公式五、定理鞏固練習(xí)：下列結(jié)論中，錯(cuò)用均值不等式作 依據(jù)的是：ax, y r+,則x y+ 2y xba 為正數(shù)，則(1+a)a+ 1a4提問(wèn)學(xué)生，并讓學(xué)生指出錯(cuò) 讓學(xué)生注意定 誤，最后讓學(xué)生總結(jié)三條，一正、 理的應(yīng)用條件，培養(yǎng)clg x +log102(x1)二定、三相等，并板書(shū).嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.dx +3x +2x2esinx+4sin x最小值為 4六、變形應(yīng)用問(wèn)題一：求函數(shù)變式 1：求函數(shù)變式 2：求函數(shù)的最小值.的最大值.的最小值.學(xué)生 正確理解 均值定 理 應(yīng) 用 的 條 件“正、定、等” , 掌握均 值定理的 正用及拓展應(yīng)用 . 通過(guò)變式使 學(xué)生對(duì)試 題進(jìn)行深層的探索，激發(fā)變式 3：求函數(shù)y =2x+x2( x 0)的最小逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式，興趣，培養(yǎng)能力.值.問(wèn)題二：求函數(shù) 大值.變式 4：求函數(shù) 大值.變式 5：求函數(shù)題三：已知的最小值.七、課堂總結(jié)的最的最的最大值.問(wèn)，求函數(shù)變式是一種探索問(wèn)題的方法.在問(wèn)題三中引導(dǎo)學(xué)生一題多解.進(jìn)一 步體會(huì)均 值不 等式應(yīng)用的“定”的 條件，逐步學(xué)會(huì)均值 定理的逆用和變用.同一道數(shù)學(xué)題， 從不同的角度思考 可得到多種解題思 路，廣泛尋求多種解 法，有助于拓寬解題 思路，發(fā)