材料力學(xué)i截面的幾何性質(zhì)習(xí)題解

1、附錄I截面的幾何性質(zhì)習(xí)題解習(xí)題1-1試求圖示各截而的陰影線而積對(duì)X軸的靜積。y/ /o g52/ / / / / / /oocX/ /2c3丄X401 80 一(a)(b)習(xí)題1-1圖(a) 解：Sx = A 兒=(40 x 20) x (20 + 10) = 24000 (mm )(b)解:sx =(c)=A- yc = (20x65)x= 42250(ww)解：Sx = A 兒=(100 x 20)x (150 -10) = 280000 (mnr )(d)解：= A 兒=(100 x 40)x (150 - 20) = 520000 nun3習(xí)題:2試積分方法求圖示半圓形截而對(duì)x軸的靜矩

2、，并確左其形心的坐標(biāo)。解：用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截岀一微分而積如圖所示。dA = (xdO) - dx:微分而積的縱坐標(biāo)：y = xsn0x微分而積對(duì)x軸的靜矩為:dSx = dA y = (xdO dx) y = xdO t/x-xsin 0 = x1 sin 0 dxdO半圓對(duì)x軸的靜矩為：Sx=亍心sin0& = cos。： = - (cos - cos 0) =-o32r 174r因?yàn)?S(=A 兒，所以= -/r-r -yr=323兀習(xí)題1-3試確泄圖示各圖形的形心位置。習(xí)題1-3圖(a) 解：習(xí)題1-3(a):求門形截面的形心位置矩 形L11AiYciAiYciYc離頂邊上400

3、080001601280000左1500300075225000右150030007522500014000 J1730000Ai=Li*BiYc=SAiYci/SAi(b) 解:習(xí)題1-3(b):求L形截血的形心位置|矩形L1B1OYciAiYc1y|cX ciAiXciXc下16010. |16015800080 |128000左19010 I9005549500504502500 1575002350013253Ai=Li*BiYc=LAiYci/SAiXc=LAiXci/EAi(c)解:習(xí)題1-3(c):求槽形與L形組合截面的形心位置型鋼號(hào)Ai(cm2)Yc i (cm)AiYci(c

4、m3)Y c(cm)Xc i (cm)AiXci(cm3)X c(cm)槽鋼20101等邊角鋼 80*10Yc=LAiYci/SAiXc=SAiXci/SAi習(xí)題-4試求圖示四分之一圓形截面對(duì)于x軸和y軸的慣性矩人、人和慣性積g 解：用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分而積如圖所示。dA = (xde)dx；微分而積的縱坐標(biāo)：y = xsin&：微分而積對(duì)x軸的慣性矩為:J/v = y2dA = y2xdO dx) =sin & xdO 厶=x sin & dxd3四分之一圓對(duì)X軸的慣性矩為：pr 3 嚴(yán)2 ./儼 4-cos2&人=1 x J4o sin 創(chuàng)& =才 lu 1 2C r4 1“

5、721 M72= T2lI d02 心2陽(2刖=44-|sin2216由圓的對(duì)稱性可知，四分之一圓對(duì)y軸的慣性矩為:微分面積對(duì)x軸、y軸的慣性積為: di xy = xydA4 =皿 ydx = |x(r2 - x2 dx = *- _ yo=|(y-y) = y習(xí)題1-5圖示直徑為d = 200/77/77的圓形截而，在其上、下對(duì)稱地切去兩個(gè)高為3 = 20的弓形，試用積分法求余下陰影部分對(duì)其對(duì)稱軸x的慣性矩匚解：圓的方程為:979開-+)廠=廠如圖，作兩條平行x軸的、相距為dy線段，截圓構(gòu)成微分面積，微分而積為:dA = 2&2_),2 心切去25之后，剩下部分對(duì)x軸的慣性矩為:rsin

6、 a=2 A(2y2-r2)7r2-y2 OarcsinZ8r-ram a=(asin 4a)24r=(4z - sin 4a)xj +(100 - 20)2 =1002x 2 = 3600x = 60(/n/n)100-204tan a =6034a = arc tan = 53.13 = 0.927(mJ)1QQ4Ix = (4x0.927 -sin212.52) = 3.963 xlO (mm4)8習(xí)題1-6試求圖示正方形對(duì)其對(duì)角線的慣性矩。解：正方形四條邊的直線方程如圖所示(設(shè)水平坐標(biāo)軸為z,豎坐標(biāo)軸為y)。h = J y2dAA習(xí)題1-6圖心|嚴(yán)+吒2=|血卩蘆+ 叮呼=鳥“(? +

7、 寧) “(Z + d)一廣(-Z + 于a) d(-z + J乍乙乙乙0243472-a2( a4 a43(1616故正方形對(duì)其的對(duì)角線的慣性矩為：堆。習(xí)題1-7試分別求圖示環(huán)形和箱形截而對(duì)其對(duì)稱軸x的慣性矩。習(xí)題-7圖(a)解：/ = _L(1 一 a2)=丄 X 34 X175 1 - ()4 = 21177368(/)6464175(b)Z = X150X2103- X9OX15O3 = 90449999( J)12 12習(xí)題1-8試求圖示三角形截面對(duì)通過頂點(diǎn)於并平行于底邊8Q的兀軸的慣性矩。解：已知三角形截而對(duì)以證邊為軸的慣性矩是12 ,利用平行軸左理，可求得截面對(duì) 形心軸的慣性矩所

8、以再次應(yīng)用平行軸泄理，得4 = Z（|Wy）2十=36364習(xí) 1-9試求圖示r =lm的半圓形截而對(duì)于軸X的慣性矩，其中軸兀與半圓形的 底邊平行，相距1 m。解：已知半圓形截而對(duì)其底邊的慣性矩是128 8 ,用平行軸怎理得截而對(duì)形 心軸可的慣性矩n r2 T8兀r48r49 ji再用平行軸龍理，得截而對(duì)軸兀的慣性矩厶話十丄.（1十竺）2二丄一藝十丄十蘭十藝”23 兀8 9n 23 9n= 3.3m4nr4 nP 4r3 n - I4 n -12 4xl3十十=十十823823習(xí)題1-10試求圖示組合截而對(duì)于形心軸x的慣性矩。解：由于三圓直徑相等，并兩兩相切。它們的圓心構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為N的等邊三

9、角形。 該等邊三角形的形心就是組合截面的形心，因此下面兩個(gè)圓的圓心，到形心軸兀的距離是上面一個(gè)圓的圓心到兀軸的距離是迢do6利用平行軸立理，得組合截而對(duì)兀軸的慣性矩如下:心咯+字華織+唱+呼lkJ464習(xí)題1-11試求圖示各組合截而對(duì)其對(duì)稱軸兀的慣性矩。120x10夕122包ZZ2-ZZA250x10L100x10/ 600X10解：(a) 22a號(hào)工字鋼對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩是34x1, mm4。利用平行軸上理得組合截而對(duì)軸兀的慣性矩I =3.4xlO7 +(-x12Ox1O5+1152x12Ox1O)x2 = 65760000(ww4 )(b)等邊角鋼100x100x10的截而積是1926mm

10、2,其形心距外邊緣的距離是 呃 求得組合截面對(duì)軸x的慣性矩如下：習(xí)題i-ii (b)圖圖形tKIxcaAlx中間 矩形10000060000上矩形5010 |2083330525003下矩形50102083330525003左上L形179510019265右上L形1795100 119265左下L形179510 0I19265右下L形179510019265人=5 + /a45習(xí)題1-12試求習(xí)題I-3a圖所示截面對(duì)苴水平形心軸兀的慣性矩。關(guān)于形心位置, 可利用該題的結(jié)果。匚lb密f41L 一200L9cn密一 SO 1120201解：形心軸兀位宜及幾何尺寸如圖所示。慣性矩4計(jì)算如下：/ =x

11、400x203+400x20x36.43 +2xAx20x1503 十12 122x20xl50x(123.6-75)2 = 3.63xl07mm4習(xí)題1-12試求圖示各截面對(duì)英形心軸x的慣性矩。習(xí)題1-13圖習(xí)題 1-13 (a)圖 形b1i1AlciAiYci1c1IxcIx(mm)上矩形1000:00100000(502533下矩形300 |00180000*00250000全 圖280000025習(xí)題 1-13( b)圖 形11:1A1ciAiYcict1IxcIx(mml)上圖5彳503750751031250|487031250中 圖彳005030000253750000彳下圖00

12、 1i0LdU12500002 11041667全 圖1 387504906250270習(xí)題 1-13 (c)F 形I111AiciAiYcicIxc(mm4)1Ix(mmJ)形21401150246100075008333598275%圓90-98033335-7791994圓：兒=4廠/3龍半圓：Ixc = nrA / 8-8r4 /9龍習(xí)題 1-13 (d)g形11A1Y ciAiYcic1Ixci I1x( mm1)從下往上20635208281607475093380425202357960c594116006(741078436739577284jr641

13、26412習(xí)題1-15正方形截而中開了一個(gè)直徑為d = 10O7/7的半圓形孔，如圖所示。試確 定截而的形心位置，并訃算對(duì)水平形心軸和豎直形心軸的慣性矩。習(xí)題I 15圖解:習(xí)題1-15圖 形11A1ciAiYc1qcIxci1lx正方形00 ,004000000400000031半 圓039279-30936568597742860346全 圖3607336906350254r兒J8r4“89龍形心位置：X （0, 102） o對(duì)水平形心軸的慣性矩：Ix = 130686455 曲。對(duì)豎直形 心軸的慣性矩：=130878966 (nun4)/兀 _ 2003.14159 x504邁 8習(xí)題1H

14、L5圖形aIy (mm1)正方形200半圓02454367全圖6習(xí)題1-161圖示由兩個(gè)20“號(hào)槽鋼組成的組合截而，若欲使截面對(duì)兩對(duì)稱軸的慣性矩 人和人相等，則兩槽鋼的間距應(yīng)為多少解：20a號(hào)槽鋼截而對(duì)其自身的形心軸勺、幾的慣性矩是=l-78xl0?mm5二l/xlVmm：橫截面積為九二28曲nrn?；槽鋼背到其形心軸幾的距離是 x0 = 20.1mm根據(jù)慣性炬定義兀和v行軸左理，組合截面對(duì)x,刀軸的慣性矩分別是厶.=2鼻+2九（扌+和2即 訊二2/+2你尹元。尸等式兩邊同除以2,然后代入數(shù)據(jù)，得1.78X107 二 1.28X106 +288x(4-20.1)于是所以，兩槽鋼相距 = 2(7

15、5.6-20.1) = lllmm習(xí)題1-17試求圖示截而的慣性積/,、解：設(shè)矩形的寬為b高為h,形心主慣性軸為xcQyc ,則由平行移軸公式得：/ = I . +abA = 0 + () -() -bh = b2h2x xcc224故，矩形截面對(duì)其底邊與左邊所構(gòu)成的坐標(biāo)系的慣性積為：Ixy = hw習(xí)題1-17圖形bh Ixy左矩形10 100250000下矩形：10010250000重復(fù)加的矩 形10102500全圖上圖+下圖-重復(fù)497500習(xí)題IT8圖示截而由兩個(gè)125mxl25m?xl0的等邊角鋼及綴板（圖中虛線）組合而成。試求該截而的最大慣性矩人林和最小慣性矩 max w解：從圖中

16、可知，該截面的形心C位于兩綴板共同的形心上。過c點(diǎn)作水平線，向右為心軸正向；過C點(diǎn)，垂直于兀軸的直線為兒軸向上為正。把亠C兒坐標(biāo)繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)45習(xí)題1-18圖-4K10后所得到的坐標(biāo)系是截而的的兩條對(duì)稱軸，也就是該截而的形心主慣性軸兀,兒。主慣max査型鋼表得：號(hào)等邊角鋼的參數(shù)如下：A = 24.373cm2 , /v =/ =149.46cm4, 1=1、=573.89c”幾 z0 = 3.45cmy（-oao you角鋼形心主慣性軸與截而形心主慣性軸之間的距離：a = V2z0 + x 1 =、d(3.45 + 0.5) = 3.95yj2cm2Zmax = g =2x149.46 +

17、(3.95V2)2 x24.373 = 1820(cm4)in=(=2x573.89 = 114W)(注：綴板用虛線畫岀，表示其面積可忽略不計(jì))習(xí)題1-19試求圖示正方形截而的慣性積和慣性矩仁并作出比較。習(xí)題I-19SIy=12Ixy = 0（忑y為形心主慣性軸）a a_ I+ 422cos2a + /vvsin2iz =-0-0 =sin la +1iY cos2a = 0-0 = 02 2 12結(jié)論：1、過正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，它們的慣性矩相等，它們的慣性枳為零；2、過正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)之后，慣性矩、慣性積保持不 變。習(xí)題1-20確定圖示截而的形心主慣性軸的位

18、置.并求形心主慣性矩。(a)解：截而的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。人=x200x403+()2x200x40x2 + x20x (400-2x 40)3 = 5751466665伽加4)122212i20020iIy =x40x2003+()2 x200x40x2 + x320x203 =1831466666(/nm4)122212/ = -(122 -12)x()x200x40x2 = 259200000(/)一21炳tan2=TT7 2 2 2 2= 1.3164(-2)x(-259200000)5751466665 1813466666 2a0 = arctan 1.3164 = 5247* a0 = 2624flxiyIxy_0Ix0=7-0Iy0=g人+人 叮2- A)2 +4/：解：以20號(hào)槽鋼(圖I)的下邊緣為x軸，左邊緣為y軸，建立坐標(biāo)系。8號(hào)槽鋼編號(hào) 為圖II。則組合截而的形心計(jì)算如下：習(xí)題1-20 (b)長(zhǎng)度