選修41第一講相似三角形的判斷及有關(guān)性質(zhì)

1、選修選修4-1 幾何證明選講幾何證明選講 三三 相似三角形的判定和有關(guān)性質(zhì)相似三角形的判定和有關(guān)性質(zhì) 選修選修4-1 幾何證明選講幾何證明選講 三三 相似三角形的判定和有關(guān)性質(zhì)相似三角形的判定和有關(guān)性質(zhì) 如果一組平行線在一條直線上截如果一組平行線在一條直線上截 得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截 得的線段也相等得的線段也相等. . 推論推論1 1 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一經(jīng)過三角形一邊的中點與另一 邊平行的直線，必平分第三邊。邊平行的直線，必平分第三邊。 推論推論2 2 經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底 邊平行的直線平分另一腰。邊平行的直線平

2、分另一腰。 復(fù)習(xí) 三條平行線截兩條直線三條平行線截兩條直線,所得所得 的的 對應(yīng)線段成比例對應(yīng)線段成比例. 平行平行于三角形一邊的直線于三角形一邊的直線截其他兩邊截其他兩邊(或或 兩邊的延長線兩邊的延長線)所得的所得的對應(yīng)線段對應(yīng)線段成比例成比例. 反比、合分比的性質(zhì) p7 1.相似三角形的定義相似三角形的定義 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三 角形叫做相似三角形角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)相似三角形對應(yīng) 邊的比值叫做相似比邊的比值叫做相似比(或相似的系數(shù)或相似的系數(shù)). b a c a c b 判定兩個三角形相似的簡單方法有三種：判定兩個三角形相似的簡單

3、方法有三種： (1)(1)兩角對應(yīng)相等兩角對應(yīng)相等, ,兩三角形相似兩三角形相似; ; (2)(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等, ,兩三角形相似兩三角形相似; ; (3)(3)三邊對應(yīng)成比例三邊對應(yīng)成比例, ,兩三角形相似兩三角形相似. . b a c a c b 如何 證明？ 預(yù)備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或或 兩邊的延長線兩邊的延長線)相交相交,所構(gòu)成的三角形與所構(gòu)成的三角形與 原三角形相似原三角形相似. a e c b d e b a c d 判定定理1 對于任意兩個三角形,如果一個三 角形的兩個角與另一個三角形的兩個

4、角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似. 簡述簡述: :兩角對應(yīng)相等兩角對應(yīng)相等, ,兩三角形相似兩三角形相似 cb a 已知已知,如圖如圖,在在abc和和a b c 中中,a=a , b=b , 求證求證:abca b c a bc de 證明: 在在abc的邊的邊ab(或或ab的延長線的延長線)上上,截截 取取ad=ab,過點過點d作作de/bc,交交ac于點于點e.由由 預(yù)備定理得預(yù)備定理得: adeabc ade=b,b=b ade=b a=a , ad=a b ade a b c a b c abc a bc cb a d e 判定定理判定定理2 對于任意兩個三角形對于任意兩個三角形, ,

5、如果一個三如果一個三 角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對 應(yīng)成比例應(yīng)成比例, ,并且夾角相等并且夾角相等, ,那么這兩個那么這兩個 三角形相似三角形相似. . 簡述簡述:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等, ,兩三角形相似兩三角形相似 a bc cb a de 已知:如圖,在abc和abc中,a=a, ac ca ab ba 求證: abcabc ade abc ac ca ab ba ac ae ab ad de/bc abcade cb a de 已知:如圖abc中,點d、e分別在ab、ac上，且 ac ae ab ad 求證：de/bc e 證

6、明: 作 de/bc,交ac于e ac ae ab ad ac ae ab ad ac ae ac ae ae=ae 因此因此e與點與點e 重合即重合即de 與與de重合重合, 所以所以 de/bc 采用了“同一法” 的間接證明 引理引理 如果一條直線截三角形的兩邊如果一條直線截三角形的兩邊( (或兩邊的延或兩邊的延 長線長線) )所得的對應(yīng)線段成比例所得的對應(yīng)線段成比例, ,那么這條直線平行那么這條直線平行 于三角形的第三邊于三角形的第三邊. . 當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論所指的概念當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論所指的概念唯一唯一存在存在 時，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的時，若直接證明有困難，就

7、不妨改為去證它的 逆否命題逆否命題，然后根據(jù)，然后根據(jù)唯一性唯一性的原理斷言命題為的原理斷言命題為 真，這種解題方法叫做真，這種解題方法叫做同一法同一法 用同一法解題一般有三個步驟：用同一法解題一般有三個步驟： 先作出一個符合結(jié)論的圖形，然后推證出所先作出一個符合結(jié)論的圖形，然后推證出所 作的圖形符合已知條件；作的圖形符合已知條件； 根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖 形是全等的或重合的；形是全等的或重合的； 從而說明已知圖形符合結(jié)論從而說明已知圖形符合結(jié)論 例例 如圖如圖,在在abc內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點d,連接連接ad和和 bd.點點e在在abc外外

8、,ebc=abd, ecb=dab.求證求證: dbeabc. b a c d e 分析分析: 好容易得出好容易得出abc=dbe 只需要再證明只需要再證明 即證即證 ab bd bc be 只要證明只要證明abdcbe ab bc bd be 判定定理判定定理3 對于任意兩個三角形對于任意兩個三角形, ,如果一個三角如果一個三角 形的三條邊和另一個三角形的三條邊形的三條邊和另一個三角形的三條邊 對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例, ,那么這兩個三角形相似那么這兩個三角形相似. . 簡述簡述: :三邊對應(yīng)成比例三邊對應(yīng)成比例, ,兩三角形相似兩三角形相似 a bc cb a 已知已知:如圖如圖,在在abc和

9、和a b c 中中 ca ac bc cb ab ba 求證求證: abcabc 證明證明: 在在abc的邊的邊ab(或延長線或延長線)上截取上截取 ad=a b ,過點過點d作作de/bc,交交ac于點于點e. de ca ea bc de ab ad adeabc ad=ab ab ba ab ad ca ac bc cb ab ba ca ac ca ea bc cb bc de , aceacbde, ade abc abcabc 例例 如圖如圖,已知已知d、e、f分別是分別是abc三邊、三邊、 bc、ca、ab的中點的中點. 求證：求證：defabc f d e b a c 證明證明

10、:線段線段ef、fd、de都是都是 abc的中位線的中位線 abdecafdbcef 2 1 , 2 1 , 2 1 2 1 ab de ca fd bc ef defabc 直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直如果一個直角三角形的斜邊和一條直 角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊 對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例, ,那么這兩個直角三角形相似那么這兩個直角三角形相似. . (1)(1)如果兩個直角三角形有一如果兩個直角三角形有一 個銳角對應(yīng)相等個銳角對應(yīng)相等, ,那么它們相似那么它們相似; ; (2)(2)如果兩個直角三角

11、形的兩條如果兩個直角三角形的兩條 直角邊對應(yīng)成比例直角邊對應(yīng)成比例, ,那么它們相似。那么它們相似。 (1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中 線線 的比和對應(yīng)角平分線的比都等于的比和對應(yīng)角平分線的比都等于 相似比；相似比； (2)相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比； (3)相似三角形面積的比等于相似比的相似三角形面積的比等于相似比的 平方；平方； 2.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì) 已知已知:梯形梯形abcd中中 adbc,ad=36cm, bc=60cm,延長兩腰延長兩腰 ba,cd交于點交于點 o,ofbc,交交ad于于 e,ef=32cm

12、,則則 of=_. a bc d e f o f 80cm 問題問題1、兩個相似三角形的外接圓的直徑比、兩個相似三角形的外接圓的直徑比、 周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？ o a b c d 問題問題2、兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、 周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？ / d / o / b / c / a 結(jié)論：結(jié)論： 1相似三角形外接圓的直徑比相似三角形外接圓的直徑比、周長周長 比等于相似比，外接圓的面積比等于比等于相似比，外接圓的面積比等于 相似比的平方相似比的平方 2相似三角形內(nèi)切

13、圓的直徑比、周長相似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長 比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于 相似比的平方相似比的平方 1.射影射影 點在直線上的正射影點在直線上的正射影 從一點向一直線所引垂線從一點向一直線所引垂線 的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影。的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影。 一條線段在直線上的正射影一條線段在直線上的正射影 線段的兩個端點在線段的兩個端點在 這條直線上的正射影間的線段。這條直線上的正射影間的線段。 a a a nm nm a b a b 點和線段的正射影簡稱點和線段的正射影簡稱射影射影 探究：探究：abc是直角三角形，是直角三角形，c

14、d為斜邊為斜邊ab上的高。上的高。 你能從射影的角度來考察你能從射影的角度來考察ac與與ad，bc與與bd等的關(guān)等的關(guān) 系。你能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？系。你能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？ abd c .90,90 00 bcdbbcdacd bacdcbdacd bd cd cd ad ) 1 ( 2 bdadcd即 cbdrtacdrt和考察 bcartbdcrt和考察 ,是公共角b bcacda由同理, ab bc bc bd )2( 2 abbdbc即 )3( 2 abadac有 bcabdc 射影定理射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩條直角直角三角形斜邊上的高是兩條直角 邊在

15、斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是 它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。 2 cdad bd 2 bcbd ab 2 acad ab abd c 用勾股定理能證明嗎用勾股定理能證明嗎? ab=ac+bc (ad+bd)=ac+bc 即即2adbd=ac-ad+bc-bd ac-ad=cd，bc-bd=cd 2adbd=2cd cd= adbd 而而ac=ad+cd=ad+adbd =ad(ad+bd)=adab 同理可證得同理可證得bc= bdab abd c o 例例1 如圖如圖,圓圓o上一點上一點c在直徑在直徑ab上

16、的射影為上的射影為d. ad=2,db=8, 0 : 90 ,. acb acbabc 解解是是半半圓圓上上的的圓圓周周角角， 即即是是直直角角三三角角形形 2 2 8164;cdad bdcd 由由射射影影定定理理可可得得 ，解解得得 2 2 10202 5;acad abac，解解得得 2 8 10804 5.bcbd abbc，解解得得 求求cd,ac和和bc的長的長. 總結(jié)總結(jié)： 已知已知“直角三角形斜邊上的高直角三角形斜邊上的高”這一基這一基 本本 圖形中的六條線段中的任意兩條線段，就可圖形中的六條線段中的任意兩條線段，就可 以求出其余四條線段，有時需要用到方程的以求出其余四條線段，

17、有時需要用到方程的 思想。思想。 abd c 習(xí)題習(xí)題1.4 1. abd c 直角直角abc中已知中已知:cd=60 ad=25 求：求：bd,ab,ac,bc的長的長 bd=144,ab=169,ac=65,bc=156 2.(2007廣州一模廣州一模)如圖所示，圓如圖所示，圓o 上一點上一點c在直徑在直徑ab上的射影為上的射影為d， cd=4，bd=8，則圓，則圓o的半徑等于的半徑等于 _ ba c do 5 例例2 abc中，頂點中，頂點c在在ab邊上的射影為邊上的射影為d，且，且 cd=addb 求證：求證： abc是直角三角形。是直角三角形。 abd c 證明證明:在在cda和和b

18、dc中中, 0 . 90 . cabd cdab cdabdc 點點 在在上上的的射射影影為為 ， 0 0 0 90 90 90 acd cadacd bcdacd acb abc 在在中中 是是直直角角三三角角形形. . 2 : cdad db ad cdcd db cdabdc cadbcd 又又 總結(jié)總結(jié)： 1、知識知識：學(xué)習(xí)了直角：學(xué)習(xí)了直角 三角形中重要的比三角形中重要的比 例式和比例中項的表達(dá)式例式和比例中項的表達(dá)式射影定理。射影定理。 2、方法方法：利用射影定理的基本圖形求線：利用射影定理的基本圖形求線 段和證明線段等積式。段和證明線段等積式。 3、能力能力：會從較復(fù)雜的圖形中分解出射：會從較復(fù)雜的圖形中分解出射 影定理的基本圖形的能力。影定理的基本