運算方法和運算器

1、第二章 運算方法與運算器2.1.1 數(shù)值數(shù)據(jù)在機內(nèi)的表示 在選擇計算機的數(shù)值數(shù)的表示方式時，需要考慮以下幾個因素： (1)要表示的數(shù)的類型 (小 數(shù)、整數(shù)、實數(shù)和復數(shù) )；(2)可能遇到的數(shù)值范圍； (3)數(shù)值精確度； (4)數(shù)據(jù)存儲和處理所需要 的硬件代價。2.1.1.1 定點數(shù)與浮點數(shù) 計算機處理的數(shù)值數(shù)據(jù)多數(shù)帶有小數(shù)，小數(shù)點在計算機中通常有兩種表示方法，一種是 約定所有數(shù)值數(shù)據(jù)的小數(shù)點隱含在某一個固定位置上，稱為定點表示法，簡稱定點數(shù)；另一 種是小數(shù)點位置可以浮動，稱為浮點表示法，簡稱浮點數(shù)。1. 定點數(shù)表示法 (fixed-point) 所謂定點格式，即約定機器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點位置是

2、固定不變的。在計算機中通常采 用兩種簡單的約定：將小數(shù)點的位置固定在數(shù)據(jù)的最高位之前，或者是固定在最低位之后。 一般常稱前者為定點小數(shù)，后者為定點整數(shù)。定點小數(shù)是純小數(shù)，約定的小數(shù)點位置在符號位之后、有效數(shù)值部分最高位之前。2. 浮點數(shù)表示法 (floating-point number) 與科學計數(shù)法相似。2.1.1.2 數(shù)的機器碼表示1. 原碼表示法 原碼表示法是一種比較直觀的表示方法，其符號位表示該數(shù)的符號，正用“0”表示，負用“1”表示；而數(shù)值部分仍保留著其真值的特征。2. 補碼表示法 由于計算機的運算受一定字長的限制，屬于有模運算，所以，在計算機中可以使用補碼 進行計算。在定點小數(shù)機

3、器中數(shù)最大不超過 1，也就是負的小數(shù)對“ 1”的補碼是等價的。但 實際上，負數(shù)的符號位還有一個“ 1”，要把它看成數(shù)的一部分，所以要對 2 求補碼，也就是 以 2 為模數(shù)。3. 反碼表示方法反碼表示法中，符號的表示法與原碼相同。正數(shù)的反碼與正數(shù)的原碼形式相同；負數(shù)的 反碼符號位為 1，數(shù)值部分通過將負數(shù)原碼的數(shù)值部分各位取反 (0變 1，1變0)得到。4. 移碼表示法 移碼通常用于表示浮點數(shù)的階碼。2.1.2 非數(shù)值數(shù)據(jù)在機內(nèi)的表示 計算機中數(shù)據(jù)的概念是廣義的，機內(nèi)除了有數(shù)值的信息之外，還有數(shù)字、字母、通用符 號、控制符號等字符信息有邏輯信息、圖形、圖像、語音等信息，這些信息進入計算機都轉(zhuǎn) 變

4、成 0、1 表示的編碼，所以稱為非數(shù)值數(shù)據(jù)。2.1.2.1 字符的表示方法 字符主要指數(shù)字、字母、通用符號、控制符號等，在機內(nèi)它們都被變換成計算機能夠識 別的十進制編碼形式。這些字符編碼方式有很多種，國際上廣泛采用的是美國國家信息交換 標準代碼 (AmericanStandard Code for Information Interchange，) 簡稱 ASCII 碼。2.1.2.2 漢字的表示方法1. 漢字的輸入碼 目前，計算機一般是使用西文標準鍵盤輸入的，為了能直接使用西文標準鍵盤輸入漢字， 必須給漢字設(shè)計相應(yīng)的輸入編碼方法。其編碼方案有很多種，主要的分為三類：數(shù)字編碼、 拼音碼和字形編

5、碼。2. 漢字的內(nèi)碼3. 漢字字形碼2.2.1 補碼加法運算 補碼加法的公式是： x 補 + y 補 = x + y 補 ( mod 2 ) 含義是：兩個數(shù)的補碼之和等于兩個數(shù)之和的補碼。2.2.2 補碼減法運算x-y補=x補-y補=x補+-y補 ( mod 2 )2.2.3 溢出概念及檢測方法在計算機中，若采用定點小數(shù)，數(shù)的表示范圍為 |x|1，如果出現(xiàn)運算結(jié)果超出數(shù)的表示 范圍的現(xiàn)象，就稱為溢出。在采用定點整數(shù)的情況下，由于機器字長一定，所以能表示的數(shù) 據(jù)范圍也是有限的，仍存在溢出問題。產(chǎn)生溢出會丟失有效數(shù)字，結(jié)果將是錯誤的，因此， 必須解決溢出的判斷問題，當計算過程中出現(xiàn)溢出時，能及時處

6、理。兩個正數(shù)相加，結(jié)果大于機器所能表示的最大正數(shù)，稱為正溢。而兩個負數(shù)相加，結(jié)果 小于機器所能表示的最小負數(shù)，稱為負溢。為了判斷“溢出”是否發(fā)生，可采用兩種檢測方法。1變形補碼操作檢測方法2單符號位操作檢測方法2.2.4 基本的二進制加法 /減法器重點介紹一位全加器 (FA)。2.3.1 原碼一位乘法。在定點計算機中，兩個原碼表示的數(shù)相乘的運算規(guī)則是：乘積的符號位由兩數(shù)的符號按 異或運算得到，而乘積的數(shù)值部分則是兩個正數(shù)相乘之積。設(shè) n 位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點小數(shù) 表示 (定點整數(shù)也同樣適用 )被乘數(shù) x 原 = xf .x0 x1 x2 xn乘數(shù) y 原 = yf .y0 y1 y2 yn則乘

7、積 z 原 = ( xfyf ) . (0. x0 x1 x2 xn)(0 . y1 y2 yn)式中，xf 為被乘數(shù)符號， yf 為乘數(shù)符號。 乘積符號的運算法則是：同號相乘為正，異號相乘為負。由于被乘數(shù)和乘數(shù)和符號組合 只有四種情況 (xf yf = 00 ，01，10，11),因此積的符號可按“異或” (按位加)運算得到。數(shù)值部分的運算方法與普通的十進制小數(shù)乘法相類似，不過對于用二進制表達的數(shù)來說， 其乘法規(guī)則更為簡單一些：從乘法 y 的最低位開始，若這一位為“ 1”，則將被乘數(shù) x 寫下； 若這一位為“ 0”，則寫下全 0。然后再對乘數(shù) y 的高一位進行的乘法運算，其規(guī)則同上，不過這一

8、位乘數(shù)的權(quán)與最低位乘數(shù)的權(quán)不一樣，因此被乘數(shù) x 要左移一位。依次類推，直到乘數(shù) 各位乘完為止，最后將它們統(tǒng)統(tǒng)加起來，便得到最后乘積 z 。2.3.2 補碼一位乘法 原碼乘法的主要問題是符號位不能參加運算，單獨用一個異或門產(chǎn)生乘積的符號位。故 自然提出能否讓符號數(shù)字化后也參加乘法運算，補碼乘法就可以實現(xiàn)符號位直接參加運算。2.4.1 原碼一位除法兩個原碼表示的數(shù)相除時，商的符號由兩數(shù)的符號按位相加求得，商的數(shù)值部分由兩數(shù) 的數(shù)值部分相除求得。設(shè)有 n位定點小數(shù) (定點整數(shù)也同樣適用 )：被除數(shù) x ，其原碼為x 原 = xf . x1 x2 xn除數(shù) y，其原碼為y 原 = yf . y1 y

9、2 yn設(shè)商為 q = x/y，其原碼為q原 = ( xfyf ). ( x1 x2 xn / y1 y2 yn )商的符號運算 qf= xfyf 與原碼乘法一樣，用模 2 求和得到。商的數(shù)值部分的運算，實質(zhì)上是兩正數(shù)求商的運算。根據(jù)我們所熟知的十進 制除法運算方法，很容易得到二進制數(shù)的除法運算方法，所不同的只是在二進制中，商的每 一位不是“ 1”就是“ 0”，其運算法則更簡單一些。1恢復余數(shù)法 事實上，機器的運算過程和人畢竟不同，人會心算，一看就知道夠不夠減。但機器卻不 會心算，必須先做減法，若余數(shù)為正，才知道夠減；若余數(shù)為負，才知道不夠減。不夠減時 必須恢復原來的余數(shù)，以便再繼續(xù)往下運算，

10、這種方法稱為恢復余數(shù)法。要恢復原來的余數(shù)， 只要當前的余數(shù)加上除數(shù)即可。2加減交替法 對恢復余數(shù)法來說，由于要恢復余數(shù)，使除法進行過程的步數(shù)不固定，因此控制比較復 雜。實際上常用不恢復余數(shù)法，又稱加減交替法。其特點是運算過程中如出現(xiàn)不夠減，則不 必恢復余數(shù)，根據(jù)余數(shù)符號，可以繼續(xù)往下運算，因此步數(shù)固定，控制簡單。原碼加減交替法的規(guī)則是：當余數(shù)為正時，商“ 1”，余數(shù)左移一位減除數(shù)；當余數(shù)為負 時，商“ 0”，余數(shù)左移一位，加除數(shù)。2.4.2 補碼一位除法補碼除法的被除數(shù)、除數(shù)用補碼表示，符號位和數(shù)值位一起參加運算，商的符號位與數(shù) 值位由統(tǒng)一的算法求得。1補碼加減交替法算法在補碼一位除法中也必須

11、比較被除數(shù) (余數(shù) )和除數(shù)的大小，并根據(jù)比較的結(jié)果來上商。另 外，為了避免溢出，商的絕對值不能絕對值大于 1，即被除數(shù)的絕對值一定要小于除數(shù)的絕對 值。補碼加減交替除法的算法規(guī)則如下：(1) 被除數(shù)與除數(shù)同號，被除數(shù)與減去除數(shù)；被除數(shù)與除數(shù)異號，被除數(shù)加上除數(shù)。(2) 余數(shù)和除數(shù)同號，商為 1，余數(shù)左移一位，下次減除數(shù)；余數(shù)和除數(shù)異號，商為0，余數(shù)左移一位，下次加除數(shù)。(3) 重復步驟 (2)，包括符號位在內(nèi)，共做 n+1 步。2商的校正補碼一位除法的算法是在商的末位“恒置 1”的舍入條件下推導的。按照這種算法所得到 的有限位商為負數(shù)時，是反碼形式。而正確需要得到的商是補碼形式，兩者之間至多

12、是相關(guān) 末位的一個“ 1”，這樣引起的最大誤差是 2 - n。在對商的精度沒有特殊要求的情況下，一般 采用商的末位“恒置 1”的方式進行舍入，這樣處理的好處是操作簡單，便于實現(xiàn)。如果要求 進一步提高商的精度，可以不用“恒置 1”的方式舍入，而按上述法則多求一位后，再采用如 下校正方法對商進行處理：(1) 剛好能除盡時，如果除數(shù)為正，商不必校正；如果除數(shù)為負，則商加2 - n。(2) 不能除盡時，如果商為正，則不必校正；如果商為負，則商加2 - n。2.5.1 邏輯非邏輯非也稱求反。對某數(shù)進行邏輯非運算，就是按位求它的反，常用變量上方加一橫來 表示。2.5.2 邏輯加對兩個數(shù)進行邏輯或，就是按位

13、求它們的“或” ，所以邏輯或又稱邏輯加，常用記號“ V “或“ +”來表示。2.5.3 邏輯乘對兩數(shù)進行邏輯與，就是按位求它們的“與” ，所以邏輯與又稱邏輯乘，常用記號“” 或“”來表示。2.5.4 邏輯異或?qū)蓴?shù)進行邏輯異或就是按位求它們的模 2 和，所以邏輯異或又稱按位加， 常用記號“” 來表示。2.6.1 多功能算術(shù) /邏輯運算單元 (ALU)了解 74181ALU 算術(shù) /邏輯運算功能表，并結(jié)合實驗內(nèi)容完成本部分的教學工作。2.6.2 內(nèi)部總線 由于計算機內(nèi)部的主要工作過程是信息傳送和加工的過程，因此在機器內(nèi)部各部件之間 的數(shù)據(jù)傳送非常頻繁。為了減少內(nèi)部數(shù)據(jù)傳送線并便于控制，通常將一些

14、寄存器之間數(shù)據(jù)傳 送的通路加以歸并，組成總線結(jié)構(gòu)，使不同來源的信息在此傳輸線上分時傳送。因此，所謂 總線，就是一個或多個信息源傳送信息到多個目的的數(shù)據(jù)通路，它是多個部件之間傳送信息 的一級傳輸線。根據(jù)總線所處的位置，總線分為內(nèi)部總線和外部總線兩類。內(nèi)部總線是指 CPU 內(nèi)各部件 的連線，而外部總線是指系統(tǒng)總線，即 CPU與存儲器、 IO 系統(tǒng)之間的連線。本節(jié)只討論內(nèi) 部總線。按總線的邏輯結(jié)構(gòu)來說，總線可分為單向傳送總線和雙向傳送總線。所謂單向總線，就 是信息只能向一個方向傳送。所謂雙向總線，就是信息可以向兩個方向傳送，即可以發(fā)送數(shù) 據(jù)，也可以接收數(shù)據(jù)?？偩€的邏輯電路往往是三態(tài)的，即輸出電平有三

15、種狀態(tài)：邏輯“ 1”、邏輯“ 0”和“浮空” 狀態(tài)。三態(tài)緩沖器是靠在“允許 /禁止”輸入端來禁止其操作的，禁止時，輸出呈現(xiàn)高阻抗狀 態(tài)。在高阻抗狀態(tài)下，可以認為輸出與電路的其他部分被斷開。2.6.3 定點運算器的基本結(jié)構(gòu)運算器包括 ALU 、陣列乘除器、寄存器、多路開關(guān)、三態(tài)緩沖器、數(shù)據(jù)總線等邏輯部件。 運算器的設(shè)計，主要是圍繞著 ALU 和寄存器同數(shù)據(jù)總線之間如何傳送操作數(shù)和運算結(jié)果而進 行的。在決定方案時，需要考慮數(shù)據(jù)傳送的方便性和操作速度，在微型機和單片機中還要考 慮在硅片上制作總線的工藝。計算機的運算器大體有如下三種結(jié)構(gòu)形式：1單總線結(jié)構(gòu)的運算器2雙總線結(jié)構(gòu)的運算器3三總線結(jié)構(gòu)的運算器2.6.4 浮點運算器實例(了解)2.7.1 浮點加法和減法完成浮點加減運算的操作過程大體分為四步：1. 0 操作數(shù)的檢查；2. 比較階碼