本科畢業(yè)論文關(guān)于函數(shù)極限的多種求法

1、目錄1 一元函數(shù)極限的求法11.1 一元函數(shù)極限的定義11.2 一元函數(shù)極限求解方法21.2.1 利用定義求極限21.2.2 利用cauchy求極限21.2.3 利用單調(diào)有界原理求極限31.2.4 利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限31.2.5 利用極限的運(yùn)算法則求極限41.2.6 利用等價(jià)代換求極限41.2.7 利用初等變形求極限51.2.8 利用夾逼性準(zhǔn)則求極限51.2.9 利用兩個(gè)重要極限求極限61.2.10 利用變量替換求極限71.2.12 利用洛必達(dá)法則求極限81.2.13 利用toylor公式求極限91.2.14 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限101.2.15 利用微分中值定理求極限

2、111.2.16 利用積分定義求極限121.2.17 利用積分中值定理求極限131.2.18 利用級(jí)數(shù)求極限131.2.19 利用黎曼引理求極限142 二元函數(shù)極限的求法142.1 二元函數(shù)極限的定義142.2 二元函數(shù)極限的若干求法162.2.1 利用定義求極限162.2.2 利用多元函數(shù)的洛必達(dá)法則求極限162.2.3 利用連續(xù)性求極限172.2.4 利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限182.2.5 通過對(duì)分式的分子或分母有理化求極限182.2.6 利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限182.2.7 利用等價(jià)無窮小變換求極限192.2.8 利用變量替換, 將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極

3、限求極限192.2.9 利用取對(duì)數(shù)法求極限192.2.10 用三角變換法求極限202.2.11 利用一元函數(shù)中的極限推廣求極限202.2.12 利用無窮小的性質(zhì)求極限202.2.13 利用()法求極限21參考文獻(xiàn)22關(guān)于函數(shù)極限的多種方法作者 楊松 指導(dǎo)教師 馬玲副教授（湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湛江 524048）摘 要 本文較為全面地總結(jié)了一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的若干求法，并通過例題加以說明.關(guān)鍵詞 極限；方法 about the number of methods solution functional limityangsong( mathematics and computat

4、ional science school, zhanjiang normal universityzhanjiang,524048 china)abstract the paper more comprehensively summarizes the number of methods of solution of functional limit about the functions of one variable and binary function limit ,and examples to illustrate.keywords limit;methods1 一元函數(shù)極限的求法

5、1.1 一元函數(shù)極限的定義1定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù), 為定數(shù), 若對(duì)任給的, 存在正數(shù)(）, 使得當(dāng)時(shí)有 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限,記作 或定義2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義, 為定數(shù).若對(duì)任給的, 存在正數(shù), 使得當(dāng)時(shí)，有 , 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限, 記作 1.2 一元函數(shù)極限求解方法1.2.1 利用定義求極限 例12 用極限的定義證明 證 ，要（此式解出n有困難），記，此式可改寫成，得 （當(dāng)n1時(shí)）至此要.只要,即，故令.則nn時(shí)有.注意 用極限的定義時(shí), 只需要證明存在, 故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立. 在求解的過程中往往采用放大、縮小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式

6、的另一邊再放大, 而是應(yīng)該直接對(duì)要證其極限的式子一步一步放大, 有時(shí)還需加入一些限制條件, 限制條件必須和所求的(或)一致, 最后結(jié)合在一起考慮.1.2.2 利用cauchy求極限 例22 設(shè)，試證收斂.證 因?yàn)?= = ，（只要（即），故令，則nn時(shí)，有，收斂獲證. 注意 在事先不知道極限的猜測(cè)值時(shí)可選擇cauchy準(zhǔn)則.1.2.3 利用單調(diào)有界原理求極限 定理11 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.例32 設(shè)，證明存在.證 利用不等式，得（有下界）. = ，即. 單調(diào)下降，有下界.故收斂.注意 利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在, 主要方面的性質(zhì): 單調(diào)性和有界性. 解題的難點(diǎn)在于判斷單調(diào)性, 一

7、般通過數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項(xiàng)1.2.4 利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限2例4 證明從任一數(shù)列中必可選出一個(gè)（不一定嚴(yán)格）單調(diào)的子數(shù)列. 證 （我們來證明：如果不存在遞增子序列，則必存在嚴(yán)格遞減的子序列）假若中存在（不一定嚴(yán)格的）遞增子序列，則問題已被解決.若中無遞增子序列，那么，使得，恒有.同樣在中也無遞增子序列.于是又，使得，恒有.如此無限進(jìn)行下去，我們便可以找到一嚴(yán)格遞增的子序列.1.2.5 利用極限的運(yùn)算法則求極限 定理2 已知, 都存在, 極限值分別為, , 則 (1) ；(2) ；(3) （此時(shí)需成立). 例 5 求.解: 原式 . 注意1 對(duì)于和、差、積、商形

8、式的函數(shù)求極限, 可以采用極限運(yùn)算法則, 使用時(shí)需要先對(duì)函數(shù)做某些恒等變換或化簡, 變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數(shù)的恒等變化、拆項(xiàng)消去法、比較最高次冪法等.注意2 運(yùn)用極限法則時(shí), 必須注意只有各項(xiàng)極限都存在(對(duì)商, 還要分母極限不為零)時(shí)才能適用.1.2.6 利用等價(jià)代換求極限 例6 求 解 因?yàn)椋试? . 要點(diǎn)：在求乘除式極限里，其因子可用等價(jià)因子代替，極限不變.最常用的等價(jià)關(guān)系如：當(dāng)時(shí)，（其中a0,b0）.還有.1.2.7 利用初等變形求極限 例7 求,設(shè).解 乘以. (當(dāng)時(shí))（）. 要點(diǎn)：用初等數(shù)學(xué)的方法將變形，然后求極限.1.2.8 利用夾逼

9、性準(zhǔn)則求極限 定理31 設(shè), 且在某一空心鄰域內(nèi)有 ,則 . 例8 求.解: 當(dāng)時(shí), 有 ,從而 ,由夾逼準(zhǔn)則得 ,所以 .注意1 夾逼準(zhǔn)則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小, 而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限. 基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限.注意2 利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限的關(guān)鍵：（1）構(gòu)造函數(shù), , 使；（2）, 由此可得.1.2.9 利用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限:（1)； (2). 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則, 可將以上兩個(gè)公式針對(duì)遞推數(shù)列, 必須驗(yàn)證數(shù)列兩個(gè)進(jìn)行推廣：(1) ()； (2) .例9 .解: 1.2.10 利用變量替換求

10、極限 要點(diǎn)：為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程.例10 若，試證解 令，則時(shí)，.于是= =. （1） 當(dāng)時(shí)第二、三項(xiàng)趨向零.現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零.事實(shí)上，因(當(dāng) 時(shí))，故有界，即，使得（），故從而（1）式以為極限.1.2.11 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應(yīng)用下列結(jié)果：(1)若f(x)在處連續(xù)，則 f(x)= f()；(2)若（x）=a，y=f(u)在u=a處連續(xù)則f(x)=f(a);(3)若f(x)=a0, g(x)=b,則=例11：

11、解 .由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù)，原極限.1.2.12 利用洛必達(dá)法則求極限 洛比達(dá)法則是求“”型和“”未定式極限的有效方法，但是非未定極限卻不能求。（0-，-，型未定式可以轉(zhuǎn)化為“”型和“”未定式）定理4：若 （i） f(x)=0，g（x）=0 （ii）f與g在的某空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且g（x）0 （iii）=a（a可為實(shí)數(shù)，也可為或），則=a此定理是對(duì)“”型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其他類型，均有類似的法則。例122 求極限解 .故原式=. 注意 (1)每次在使用法則之前，務(wù)必考察它是否屬于七種不定型，否則不能用;(2)一旦用法則算不出結(jié)果，不等于極限不存在.例如，就是如此.這是因?yàn)榉▌t只是充

12、分條件，不是必要條件.(3) 型的法則使用時(shí)，只需檢驗(yàn)分母趨向無窮大即可，分子不趨向無窮大也沒關(guān)系.1.2.13 利用toylor公式求極限 例13 求極限解 原式=1.2.14 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 定義3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 若極限 存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù), 記作. 例14 設(shè)存在, 求. 解 . 例15 求. 解 這是型極限,先轉(zhuǎn)化成, 其指數(shù)是型極限, 由數(shù)列極限于函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的定義知,因此由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得原式. 注意 對(duì)于一般抽象函數(shù)求極限時(shí), 如果已知它的導(dǎo)數(shù)是存在的, 則經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限.1.2.15 利用微分中值定理

13、求極限1.2.15.1 用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理）定理51 (拉格朗日中值定理)若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間上可導(dǎo),則在上至少存在一點(diǎn),使得 . 例16 求,其中.解 由題意, 可對(duì)和分別應(yīng)用拉格朗日中值定理, 則 原式= = =（其中 例17 計(jì)算.解 設(shè), 由于在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). 于是, 由微分中值定理知 ,當(dāng) , 所以 .1.2.15.2 用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式) 例18 計(jì)算 .解 因?yàn)? ,所以 .注意1 常用展式： , 等. 注意2 在計(jì)算過程中, 要注意高階無窮小的運(yùn)算及處理.1.2.16 利用積分定義求極限定義41 設(shè)在

14、上的一個(gè)函數(shù), 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù). 若對(duì)任給的正數(shù), 總存在某一正數(shù), 使得對(duì)的任何分割, 以及其上任意選取的點(diǎn)集, 只要, 就有 ,則稱函數(shù)在區(qū)間上可積, 數(shù)稱為在上的定積分, 記作 . 若用極限符號(hào)表達(dá)定積分, 可寫作. 例19 求極限 .解 因?yàn)?，時(shí)，左端極限=時(shí)，右端極限= 故 原式= （兩邊夾法則）. 注意 由定積分的定義我們知道, 定積分是某一和式的極限, 因此, 如果關(guān)于的某一和式可以表示成某一積分的形式時(shí), 則可利用定積分, 求出這個(gè)和式的極限, 顯然, 若要利用定積分求極限, 其關(guān)鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式.1.2.17 利用積分中值定理求極限 定理 61 設(shè)與都在上

15、連續(xù), 且在上不變號(hào), 則至少存在一點(diǎn), 使得 . 例 21 求極限.解 取, , , 則在上的最小值, 最大值, 由積分中值定理知 .因?yàn)? 所以.1.2.18 利用級(jí)數(shù)求極限1.2.18.1 利用級(jí)數(shù)展開式求極限例22 解 利用冪級(jí)數(shù)的展開式, 可得原式 =.注意 從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積定義法等直接或間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.1.2.18.2 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求 極限 定理7 若級(jí)數(shù)收斂, 則它的一般項(xiàng)趨于零.例23 求.解 研究級(jí)數(shù) , 令,用比值法: 所以級(jí)數(shù)收斂, 從而 .注意 對(duì)某些極限可將函數(shù)作為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng), 只需證明此級(jí)數(shù)收

16、斂, 便有.1.2.19 利用黎曼引理求極限 定理81 若在上可積, 是以為周期的函數(shù), 且在上可積, 則有 . 例24 計(jì)算.解 因?yàn)榈闹芷跒? 2 二元函數(shù)極限的求法2.1 二元函數(shù)極限的定義定義51 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記作 . 在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡單記作. 當(dāng)，分別用坐標(biāo)，表示時(shí)，式也常寫作. 二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別 在極限運(yùn)算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個(gè)數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限變得更加復(fù)雜, 它實(shí)質(zhì)上是包含任意方

17、向的逼近過程, 是一個(gè)較為復(fù)雜的極限, 對(duì)于二元函數(shù)的二重極限, 其重點(diǎn)是研究極限的存在性以及具體的求解方法 其中, 求解方法非常多樣, 靈活性和隨機(jī)性很強(qiáng), 我在這里總結(jié)了幾種具有代表性的求解方法. 引例 求 原解法 因?yàn)閷?duì), 取,當(dāng), , 且()(0,0)時(shí), 有, 由極限的定義得 . 新解法：令當(dāng)（)(0,0)有, 因?yàn)? 所以 兩者相對(duì)比, 我們就會(huì)發(fā)現(xiàn), 此例用極坐標(biāo)代換求極限比用定義求解簡單的多, 那么, 選擇一個(gè)正確的解題方法就顯得尤為重要了 下面, 我會(huì)對(duì)各類方法進(jìn)行探索.2.2 二元函數(shù)極限的若干求法2.2.1 利用定義求極限 例26 討論，在的極限.解 令以為此路徑為特殊路

18、徑，故不能說明.再利用定義判定：，取，當(dāng)時(shí)，有,由于,即有：，故.2.2.2 利用多元函數(shù)的洛必達(dá)法則求極限 定理93 設(shè)函數(shù)f與g在點(diǎn)的某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且滿足條件： （1） （2）函數(shù)f和g在內(nèi)可微，并且 （3）則 注意1 上述定理對(duì)于同樣成立. 注意2 對(duì)非有限點(diǎn)（中至少有一個(gè)為的極限問題，只要采用適當(dāng)變了替換就可以轉(zhuǎn)化為有限點(diǎn)的情形 例25 求 解2.2.3 利用連續(xù)性求極限例27 求解 原式.例28 .解 原式.例29 求.解 原式.2.2.4 利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限例30 求.解 原式=例31 求.解 原式.因?yàn)槭怯薪缱兞浚譃闊o窮小量，所以原式.2.2.5 通過對(duì)分式的分子或分母有理化求極限 例32 求.解 原式.（這里是無窮小量，為有界變量）2.2.6 利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限 例33 求 .解 由，而，故可知2.2.7 利用等價(jià)無窮小變換求極限 例34 求.解 當(dāng)時(shí)，原式=.2.2.8 利用變量替換, 將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限求極限 例35 求 . 解 原