拋物線的對(duì)稱與對(duì)稱變換

1、探究拋物線的對(duì)稱 南昌市育新學(xué)校 駱文娟大家都知道拋物線是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是拋物線的增減性的分界線，即當(dāng)（）時(shí)，左側(cè)隨的增大而減小（增大），右側(cè)隨的增大而增大（減小），特別應(yīng)注意的是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱；若將拋物線以軸、或軸、或原點(diǎn)進(jìn)行對(duì)稱變換那更是妙趣橫生，給我們解決有關(guān)的拋物線問(wèn)題帶來(lái)明朗思路和簡(jiǎn)捷的方法.下面筆者將例舉說(shuō)明，供大家學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、當(dāng)拋物線與軸的兩交點(diǎn)為a（m，0）、b（n，0），對(duì)稱軸為=時(shí)，由對(duì)稱性可得m-h=h-n（mn）或n-h=h-m（nm），即.例1（a）（2007年江西）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖1所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為

2、解析：圖中只畫出拋物線的一部分，但拋物線的對(duì)稱軸直線=1已給出，故我們可以根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到點(diǎn)（3，0）關(guān)于直線=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），所以此題應(yīng)填，.點(diǎn)評(píng)：本題在理解二次函數(shù)的圖象與軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程兩根的前提下，已知一交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)充分利用拋物線的對(duì)稱性找出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).（b）（2008年福建省廈門）已知：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的值；（2）若，求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若，過(guò)點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)，且，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式（提示：請(qǐng)畫示意圖思考）解析：（1）由于點(diǎn)p在拋物線上，將點(diǎn)p的坐標(biāo)代入解析式便可得：，（2）略，（3）當(dāng)b3

3、時(shí)，拋物線對(duì)稱軸， 對(duì)稱軸在點(diǎn)p的左側(cè)（如圖2所示），p點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2b） pa=1，又bp=2pa，pb=2. 則b點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，即b（-3，2b），因?yàn)閽佄锞€是軸對(duì)稱圖形， 此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為，b=5，又b+c=-2， c=-7，這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是點(diǎn)評(píng)：本題是（a）的拓展，p、b兩點(diǎn)仍關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)于這一點(diǎn)能否理解，是解決本題的關(guān)鍵所在.變式1：已知拋物線y=a(x-2)2+c的圖象如圖3所示，該拋物線與x軸交于a、b兩點(diǎn)，b點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）,試求方程a(x-2)2+c=0的兩根.（答案：方程兩根為x1=, x2=4-）二、兩條拋物線關(guān)于軸或軸對(duì)稱

4、，則兩拋物線對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）與（-a，b）或（a，b）與（a，-b）.例2（2008年煙臺(tái)有改動(dòng)）如圖4，拋物線e：交x軸于a，b兩點(diǎn)，交y軸于m點(diǎn)，拋物線e關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線f交x軸于c、d兩點(diǎn).（1）求拋物線f對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線e或f在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)n，使以a，c，m，n為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，求出點(diǎn)n的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)p是拋物線e上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（p不與點(diǎn)a，b重合），那么點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)q是否在拋物線f上，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）因?yàn)閑、f兩條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)解析式中的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時(shí)，縱坐標(biāo)不變，即，所以拋物線

5、f的解析式為.（2）當(dāng)四邊形acnm是平行四邊形時(shí)，mnac，mn=ac，而m（0，3），ac=2，則拋物線e的軸上方有點(diǎn)n（-2，3）滿足條件，由于e、f兩條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)n（2，3）點(diǎn)也滿足條件，故存在滿足條件的點(diǎn)n的坐標(biāo)為（-2，3）或（2，3）.（3）設(shè)是e上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，且，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入f，得，點(diǎn)不在拋物線f上變式2：如圖5，拋物線e：yx24x3交x軸于a、b兩點(diǎn)，交y軸于m點(diǎn)，拋物線e關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線f交x軸于c、d兩點(diǎn).（1）求拋物線f的解析式； （2）若將拋物線f進(jìn)行關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形變換得到拋物線g，求拋物線g的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)p是拋物

6、線e上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（p不與點(diǎn)a，b重合），那么點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)q是否在拋物線g上，請(qǐng)說(shuō)明理由答案,（1）.拋物線，（2）（2，1）,（3）點(diǎn)q在拋物線g上，因?yàn)閽佄锞€e與拋物線g關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.點(diǎn)評(píng)：當(dāng)兩拋物線圖象關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，兩圖象上各對(duì)應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱，把原題中的（，）用（-，）代入，即可得結(jié)論.三、兩條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則兩條拋物線上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）與（-a，-b）例3（2008年江西有改動(dòng)）已知：如圖6所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）（1）請(qǐng)寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），觀察四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫出一個(gè)你所得到的正確結(jié)論，并說(shuō)明理由.解析：第（1）問(wèn)可從兩拋物線的形狀、開口方向、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和兩拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形等方面來(lái)找結(jié)論;.在（2）中由于點(diǎn)m、n、e、f都在軸上，所以它們的縱坐標(biāo)都為0，而拋物線、關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，m與f，e與n是對(duì)稱點(diǎn)，所以與，與互為相反數(shù)，即，或.點(diǎn)評(píng)：要尋找出題中拋物線不類型的正確結(jié)論，一是要從兩拋物線各自的特點(diǎn)進(jìn)行分析;二是要關(guān)注兩拋物線之間的相互位置關(guān)系.變式3：已知拋物線的頂點(diǎn)為p，且與軸交于a、b兩點(diǎn)，現(xiàn)將這條拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，