泊松過程的應(yīng)用

1、 應(yīng)用隨機過程課程論文題 目: 淺談泊松過程及其應(yīng)用 姓 名: 學(xué) 院: 理 學(xué) 院 學(xué) 號: 2013年7月 1 日淺談泊松過程及其應(yīng)用摘要： 本文論述了泊松過程的有關(guān)定義，并對其進行相應(yīng)的推廣，闡述了時齊泊松過程、非時齊泊松過程、復(fù)合泊松過程以及條件泊松過程，從中很容易看出它們之間的聯(lián)系。同時，本文也在排隊論、數(shù)控機床可靠性、保險、航空備件需求上簡單描述了泊松過程的應(yīng)用。另外，泊松過程在物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、金融和可靠性理論等領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泊松過程；復(fù)合泊松過程；排隊論一、泊松過程 1時齊泊松過程定義：一隨機過程，若滿足如下條件：（1） 它是一個計數(shù)過程，且;（2） 它

2、是獨立增量過程;（3） 是參數(shù)為的泊松分布，即則稱此隨機過程為時齊泊松過程。2非時齊泊松過程定義：一隨機過程，若滿足如下條件：（1） 它是一個計數(shù)過程，且;（2） 它是獨立增量過程;（3） 滿足其中，則稱此隨機過程為具有強度函數(shù)為的非時齊泊松過程。3復(fù)合泊松過程定義：設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列，為泊松過程，且與獨立，記，則稱為復(fù)合泊松過程。4條件泊松過程定義：設(shè)為一正的隨機變量，分布函數(shù)為，當(dāng)給定的條件下，是一個為泊松過程，即，有 則稱是條件泊松過程。注：這里不再是增量獨立的過程，由全概率公式，可得二、泊松過程的部分應(yīng)用泊松過程是一類較為簡單的時間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機過程。泊松過程在物理學(xué)、地

3、質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、金融和可靠性理論等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。下面就談?wù)劜糠值膽?yīng)用。1時齊泊松過程在排隊論中的應(yīng)用泊松過程在排隊論中應(yīng)用很廣泛，下面就一個例子來簡單說明下：假設(shè)顧客到達服務(wù)站的人數(shù)服從強度為的泊松過程, 到達的顧客很快就可以接受服務(wù), 并且假設(shè)服務(wù)時間是獨立的并且服從一個普通的分布, 記為。為了計算在時刻已完成服務(wù)和正在接受服務(wù)的顧客的聯(lián)合分布, 把在時刻完成服務(wù)的顧客稱為第一類, 在時刻未完成服務(wù)的顧客稱為第二類顧客, 現(xiàn)在如果第一個顧客到來的時間為, , 如果他的服務(wù)時間少于, 那么他就是第一類顧客, 并且因為服務(wù)時間服從分布, 所以服務(wù)時間少于的概率為。因而, 設(shè)表示的是到時間t

4、 為止發(fā)生的第i 類事件的數(shù)量分別表示的是參數(shù)為和的獨立泊松隨機變量。利用齊次泊松過程分解定理。我們得到的分布。到時間t 為止, 已完成服務(wù)和仍然在接受服務(wù)的顧客的數(shù)目都服從泊松分布, 可利用期望算出參數(shù)值。2. 非時齊泊松過程在數(shù)控機床可靠性的應(yīng)用基于試驗總時間法對多樣本隨機截尾的數(shù)控機床現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行趨勢檢驗，在故障過程為浴盆曲線的趨勢條件下，構(gòu)建了數(shù)控機床的非齊次泊松過程的可靠性模型。使用極大似然估計法對非齊次泊松過程的強度函數(shù)進行參數(shù)估計，得到了該模型的可靠性指標(biāo)。以6臺加工中心的現(xiàn)場數(shù)據(jù)為例，建立了非齊次泊松過程的可靠性模型。3. 非時齊泊松過程在航空備件需求的應(yīng)用在應(yīng)用非齊次泊松過程

5、計算航空備件需求量時, 需要假設(shè)：1、航空設(shè)備的故障為系列隨機點；2、故障后用備用件替換；3、當(dāng)設(shè)備為可修件時, 維修方式為最小維修( 修復(fù)如舊)；4、計算更換復(fù)雜系統(tǒng)的故障次數(shù), 該系統(tǒng)滿足更換新件但不影響系統(tǒng)故障特性。這時, 備件需求量可采用隨機點過程中的非齊次泊松過程, 利用該方法不僅可以進行故障發(fā)生時間點以及時間間隔模擬, 而且可以計算一定時間內(nèi)故障次數(shù)的期望。對于維修方式為最小維修的可修件來說, 應(yīng)用非齊次泊松過程不僅可以預(yù)測備件的需求量而且還可以預(yù)計下次故障的時間期望, 在這些方面, 非齊次泊松過程適宜應(yīng)用于這類備件需求分析和決策。同時針對故障率隨時間變化的特點將非齊次泊松過程應(yīng)用

6、到特定的航空裝備故障預(yù)測和需求量的計算上, 精度得到很大提高。4. 復(fù)合泊松過程在人壽保險問題中的應(yīng)用設(shè)表示在時間區(qū)間內(nèi)死亡的“保險單持有者”的人數(shù), 由于服從參數(shù)為的負指數(shù)分布的更新計數(shù)過程, 故隨機過程為時齊泊松過程。同時, 若表示保險公司在時間區(qū)間 內(nèi), 對所有“持保險單”的死亡者支付的總金額, 而表示第k個保險單持有者, 在時刻死亡時, 總共向保險公司索取的保險金, 顯然是隨機序列, 且有以下關(guān)系式成立:又是相互獨立的隨機序列, 但不論哪一個“保險單持有者”死亡時, 總共向保險公司索取的保險金額分別為等, 都必須服從同一個概率密度分布函數(shù)( 其中為“保險單持有者”終生領(lǐng)取保險金的時間間

7、隔)，總之:是相互獨立, 同分布的隨機序列。又因為保險公司支付給某死亡者的款數(shù),與當(dāng)時對應(yīng)的第個死亡者無關(guān), 故可認為:與也是相互獨立。綜上所述,人壽保險過程屬于復(fù)合泊松過程的范疇。可由上面的結(jié)論，計算出的數(shù)字特征。（1）的特征函數(shù) 說明保險公司支付的總金額的特征函數(shù)與每一個“保險單持有者”死亡時一共所索取的保險金額的特征函數(shù)有關(guān)。（2）的數(shù)學(xué)期望 說明是非穩(wěn)恒過程, 其均值隨時間t 而隨機變化, 有一定的風(fēng)險性。與成正比，比例常數(shù)為泊松流強度。（3）的方差 說明與成正比，比例常數(shù)為泊松流強度。 顯示了隨機變量在人壽保險過程中的一切可能之值在其均值周圍的分散程度，越大，t 越長，則 也越分散,

8、之值越小越好, 否則在漫長的歲月里, 公司所支付的總金額, 漲落起伏變化較大, 不好進行宏觀調(diào)控, 所以一般而言, 所歷時間取三年或五年為一次單位結(jié)算為宜。而概率密度分布函數(shù)可用負指數(shù)分布模擬。另外，復(fù)合泊松過程也具有復(fù)合泊松分布的可加性。在多險種風(fēng)險模型中, 由于索賠過程的復(fù)雜化, 使得在經(jīng)典風(fēng)險模型中的一些較好的結(jié)論,如破產(chǎn)概率的漸進性、上界、破產(chǎn)瞬間盈余分布等難以在新的模型中得到類似證明。這樣可以把兩個復(fù)合泊松過程描述的索賠過程化簡為一個復(fù)合泊松過程描述的索賠過程。對于復(fù)合泊松過程來說，如果較大，可以用正態(tài)過程近似，就可以運用正態(tài)過程的很多特性, 從而更好的解決問題。5. 復(fù)合泊松過程在

9、系統(tǒng)損傷模型中的應(yīng)用在工程實際中, 許多設(shè)備系統(tǒng)在其工作環(huán)境中往往會承受到各種沖擊損傷。顯然, 系統(tǒng)每次承受沖擊而造成的損傷是不同的, 它是一個隨機變量. 并且根據(jù)實際問題, 在大多數(shù)情況下可以認為每次沖擊引起的系統(tǒng)損傷程度是獨立同分布的。 另外, 各次沖擊引起系統(tǒng)的損傷有累積的效應(yīng), 即沖擊引起的系統(tǒng)損傷是可以疊加的。為了建立系統(tǒng)的沖擊模型, 做出如下假設(shè): 設(shè) 時間內(nèi)系統(tǒng)受到?jīng)_擊的次數(shù)形成參數(shù)為k的泊松過程, 且第n 次沖擊造成的損害為, 并設(shè)相互獨立, 且服從均值為的指數(shù)分布。設(shè)損害會累加, 且當(dāng)損害超過一定極限a 時, 系統(tǒng)將停止運行。由于系統(tǒng)在t 時的損傷是時間 內(nèi)的累積損傷, 根據(jù)上面的假設(shè)和記號, 可以知道, 故為復(fù)合泊松過程。參考文獻：1 林元烈.應(yīng)用隨機過程m.清華大學(xué)出版社,2002.11. 2 王東升,劉玉堂.泊松過程在排隊論中的應(yīng)用 j.河南機電離等?？茖W(xué)校學(xué)報,2007,15(4).3 許彬彬等.非齊次泊松過程的數(shù)控機床可靠性建模j. 吉林大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版）,2011,41.4 陳鳳騰等.基于非齊次泊松過程的航空備件需求研究和應(yīng)用j.