現(xiàn)代控制原理精華總結(jié)

1、機電工程系 2021/3/10講解：XX1 1.狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間表達式：狀態(tài)方程和輸出方程的總和即稱為狀態(tài)空間表達式。它構(gòu)成對一個系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述。 Y:輸出向量 u:輸入向量 A:系數(shù)矩陣 B:控制矩陣（輸入矩陣） C:輸出矩陣D:直接矩陣 狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量與輸入變量之間的關(guān)系構(gòu)成的一階微分方程組。 狀態(tài)變量：能完全表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量，系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的 如果矩陣A, B, C, D中的所有元素都是實常數(shù)時，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（線性定常（LTI）系統(tǒng)。系統(tǒng)。 如果這些元素中有些是時間 t 的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時

2、變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)。 2.2.由系統(tǒng)微分方程求其狀態(tài)空間表達式步驟由系統(tǒng)微分方程求其狀態(tài)空間表達式步驟 1）假設(shè)初始條件為零，將系統(tǒng)微分方程的拉氏變換 2）移項變?yōu)橄到y(tǒng)的傳遞函數(shù) 3）拼湊分開輸入輸出變量 4）反拉氏變換，寫出輸入輸出微分方程 5）用X替換Z，寫出X和Y的含X的微分方程 6）將微分方程改寫為矩陣形式 7）畫模擬結(jié)構(gòu)圖。 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。 1.3.3 傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描

3、述的比較 1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入-輸出間的關(guān)系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應(yīng)用這種描述；狀態(tài)空間輸出間的關(guān)系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應(yīng)用這種描述；狀態(tài)空間 表達式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。表達式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。 2）傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時變系統(tǒng)中應(yīng)用。）傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時變系統(tǒng)中應(yīng)用。 3）對于數(shù)學(xué)模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間表達式；用實驗法獲得頻率特性，

4、進而可以獲得傳遞函）對于數(shù)學(xué)模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間表達式；用實驗法獲得頻率特性，進而可以獲得傳遞函 數(shù)。數(shù)。 綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間表達式這兩種描述各有所長，在系統(tǒng)分析和設(shè)計中都得到廣泛應(yīng)用。綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間表達式這兩種描述各有所長，在系統(tǒng)分析和設(shè)計中都得到廣泛應(yīng)用。 機電工程系 2021/3/10講解：XX2 2. 化矩陣化矩陣 A 為約當(dāng)形為約當(dāng)形 如果矩陣如果矩陣 A 有重特征值，并且獨立特征向量的個數(shù)小于有重特征值，并且獨立特征向量的個數(shù)小于n , 這時不能化為對角陣，只能化為約當(dāng)形。這時不能化為對角陣，只能化為約當(dāng)形。 機電工程系

5、2021/3/10講解：XX3 例例1-71-7 將矩陣將矩陣 化為對角陣化為對角陣 32 10 A 解解 0)2)(1( 32 1 detdet AI 1 1 2 2 解出解出 1 1 1 q 2 1 2 q 21 11 21 qqQ 變換矩陣變換矩陣 11 12 21 11 1 1 QP 20 01 21 11 32 10 11 12 1 PAP 求線性變換的目的：將求線性變換的目的：將 系統(tǒng)矩陣變成為標準形，系統(tǒng)矩陣變成為標準形， 便于求解狀態(tài)方程。便于求解狀態(tài)方程。 機電工程系 2021/3/10講解：XX4 系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)

6、矩陣 DHGICG yu 1 )(zz 例例1-61-6 已知線性定常離散系統(tǒng)方程為已知線性定常離散系統(tǒng)方程為 )( 1 0 )( 3 . 04 . 0 10 ) 1(kukk xx)( 10 11 )(kkxy 求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣 解解 1 0 3 . 04 . 0 1 10 11 )( 1 1 z z zzHGICGyu )5 . 0)(8 . 0( )5 . 0)(8 . 0( 1 zz z zz z 脈沖傳遞函數(shù)矩陣脈沖傳遞函數(shù)矩陣 機電工程系 2021/3/10講解：XX5 狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 buaxx一階標量微分方程 的結(jié)構(gòu)模擬圖 1 從狀態(tài)空間表達

7、式畫系統(tǒng)模擬框圖 機電工程系 2021/3/10講解：XX6 例例1-41-4 系統(tǒng)狀態(tài)方程式為系統(tǒng)狀態(tài)方程式為 u 1 0 56 10 x x x11y 求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 解解： 1 0 56 1 11)( 1 1 s s ssgbAIC 22 151 adj 00656 1 1 11 1 1115656 det 65 ss sss sssss s 機電工程系 2021/3/10講解：XX7 例例1-51-5 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 uxx 10 01 00 211 340 010 xy 100 001 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

8、矩陣。 解解 10 01 00 211 340 01 100 001 )( 1 1 s s s ssBAICG yu )4()1( 32 3116 1 23 sss s sss 機電工程系 2021/3/10講解：XX8 機電工程系 2021/3/10講解：XX9 機電工程系 2021/3/10講解：XX10 機電工程系 2021/3/10講解：XX11 例例2-12-1 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為 2 1 2 1 32 10 x x x x 求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 t t A e)( 解 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2

9、2 13 )2)(1( 1 32 1 1 1 ssss ssss s s sss s sAI 于是于是 t t A e)( L L tttt tttt s 22 22 11 e2ee2e2 eeee2 AI 機電工程系 2021/3/10講解：XX12 機電工程系 2021/3/10講解：XX13 機電工程系 2021/3/10講解：XX14 機電工程系 2021/3/10講解：XX15 機電工程系 2021/3/10講解：XX16 機電工程系 2021/3/10講解：XX17 機電工程系 2021/3/10講解：XX18 機電工程系 2021/3/10講解：XX19 機電工程系 2021/3

10、/10講解：XX20 機電工程系 2021/3/10講解：XX21 機電工程系 2021/3/10講解：XX22 機電工程系 2021/3/10講解：XX23 例例3-16 系統(tǒng)方程如下，要求按能控性進行結(jié)構(gòu)分解。系統(tǒng)方程如下，要求按能控性進行結(jié)構(gòu)分解。 u 1 1 21 12 x x x10y 解解 21 11 11 rankrankrank nAbbQC 系統(tǒng)不能控系統(tǒng)不能控 1 1 1 p C Q由于由于 的秩為的秩為1。說明。說明 中線性獨立的列向量只有一列。中線性獨立的列向量只有一列。 選擇選擇 ，再補充一個列向量，且與其線性無關(guān)，再補充一個列向量，且與其線性無關(guān)， C Q 1 0

11、2 p 11 01 11 01 1 1 21 ppP C 1 CC APPABPB C 1 C CPC 經(jīng)過線性變換后經(jīng)過線性變換后 u 0 1 30 11 C C C C x x x x C C x x 11y 機電工程系 2021/3/10講解：XX24 機電工程系 2021/3/10講解：XX25 機電工程系 2021/3/10講解：XX26 機電工程系 2021/3/10講解：XX27 例例4-24-2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 )( 212 21 xxx xx 解解 而而 22112121 2)()(xxxxxxxxV x 將狀態(tài)方程代

12、入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得 )()( 2 2 2 1 xxVx 2 2 2 1 2 21 2 1 )( 2 1 )(xxxxVx 選取選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足函數(shù)，顯然是正定的，即滿足 00)( 00)( xx xx V V 可見，可見， 是負定的，即滿足是負定的，即滿足)(xV 00)( 00)( xx xx V V 因此，因此， 是一致漸進穩(wěn)定的。是一致漸進穩(wěn)定的。 0 e x 當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。0 e xx)(xV 機電工程系 2021/3/10講解：XX28 例例4-34-3 系統(tǒng)的

13、狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 12 2 22 21 )1 (xxxax xx 其中，其中， a 為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0 e x 選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)： 2 2 2 1 )(xxVx 00)( 00)( xx xx V V 顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足 而而 2211 22)(xxxxV x 將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得 2 2 2 2) 1 (2)(xxaVx 21 xx 1 x 可見，當(dāng)可見，當(dāng) 和任意的和任意的 時，有時，有 ，而，而 和任意和任

14、意 時，時， 。又因為。又因為 ，只要，只要 變化變化 就不為零，因此就不為零，因此 在整條狀態(tài)軌線上不會有在整條狀態(tài)軌線上不會有 。 0 2 x 1 x 0)(xV 0 2 x 1 x 0)(xV 21 xx 0)(xV 因此，因此， 是一致漸進穩(wěn)定的。是一致漸進穩(wěn)定的。 0 e x 當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。0 e xx)(xV 機電工程系 2021/3/10講解：XX29 例例4-44-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 12 21 xx kxx 其中，其中， k 為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)

15、平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0 e x 選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)： 2 2 2 1 )(kxxVx 00)( 00)( xx xx V V 顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足 而而 02222)( 21212211 xkxkxxxkxxxV x 由定理由定理4-3可知，可知， 為為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。意義下一致穩(wěn)定。 0 e x 機電工程系 2021/3/10講解：XX30 定理定理4-44-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(xfx 0 e x )(xV )(xV 0 e x 在在 的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)

16、 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)， 并且滿足：并且滿足： 1） 為正定；為正定； 2） 為正定或半正定；為正定或半正定； 則則 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。 )(xV 例例4-54-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 212 21 xxx xx 分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0 e x 選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)： 2 2 2 1 )(xxVx 00)( 00)( xx xx V V 顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足 而而 2 2 2 221212211 222222)(xxxxxxxxxxV x 由定理

17、由定理4-4可知，可知， 是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。 0 e x 機電工程系 2021/3/10講解：XX31 例例4-64-6 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xx 11 10 - 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0 e x 為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。 IPAPA T 10 01 11 10 11 10 2221 1211 2221 1211 PP PP PP PP 解得解得 1 2 1 2 1 2 3 2221 1211 PP PP 0 2221 1211 PP PP 0 11 P有有 可

18、見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0 e x 機電工程系 2021/3/10講解：XX32 例例4-74-7 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。 )( 0 2 1 10 ) 1(kkxx 解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0 e x 為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。 IPPGG T 解得解得 10 01 0 2 1 10 01 2 1 0 2221 1211 2221 1211 PP PP PP PP 3 8 0 0 3 5 P 0 3 5 P 的各階主子式均大于零，即的各階主子式均大于零，即 0 3 8 0 0 3 5 可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸