行程問題及答案

1、行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的， 它研究的是物體速度、 時(shí)間、 行程三者之間的關(guān)系。 基本公式：路程速度時(shí)間； 路程時(shí)間速度； 路程速度時(shí)間 關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置 相遇問題：速度和相遇時(shí)間相遇路程 相遇路程速度和=相遇時(shí)間 相遇路程相遇時(shí)間= 速度和 相遇問題： （直線） ：甲的路程+乙的路程=總路程 相遇問題： （環(huán)形） ：甲的路程 +乙的路程=環(huán)形周長(zhǎng) 追及問題：追及時(shí)間路程差速度差 速度差路程差追及時(shí)間 追及時(shí)間速度差路程差 追及問題： （直線） ：距離差=追者路程-被追者路程=速度差 X 追擊時(shí)間 追及問題： （環(huán)形） ：快的路程-慢的路程=曲線的周長(zhǎng) 流水問題： 順?biāo)谐?（船速

2、水速） 順?biāo)畷r(shí)間 逆水行程 （船速水速） 逆水時(shí)間 順?biāo)俣?船速水速 逆水速度船速水速 靜水速度=（順?biāo)俣饶嫠俣龋? 水速： （順?biāo)俣饶嫠俣龋? 流水速度流水速度2 水速：流水速度流水速度2 關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 列車過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 我們由淺入深看一些題目： 小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于相遇問題的應(yīng)用題 1、一列客車從甲地開往乙地，同時(shí)一列貨車從甲地開往乙地，當(dāng)貨車行了 180 千米時(shí)，客車行了全程的七分之四；當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之 七。甲乙兩地相距多少千米？ 2、甲、乙兩車同時(shí)從 A、B 兩地相對(duì)開出，2 小時(shí)相遇。相遇后

3、兩車?yán)^續(xù)前行， 當(dāng)甲車到達(dá) B 地時(shí)，乙車離 A 地還有 60 千米，一直兩車速度比是 3:2。求甲乙 兩車的速度。 3、甲、乙兩車分別同時(shí)從 A、B 兩成相對(duì)開出,甲車從 A 城開往 B 城,每小時(shí)行全 程的 10%,乙車從 B 城開往 A 城，每小時(shí)行 8 千米，當(dāng)甲車距 A 城 260 千米時(shí)， 乙車距 B 地 320 千米。A、B 兩成之間的路程有多少千米？ 4、一客車和一貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出,經(jīng)過 3 小時(shí)相遇,相遇后仍以原速 繼續(xù)行駛，客車行駛 2 小時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)貨車距離甲地 150 千米，求甲乙兩地 距離？ 5、甲乙兩車同時(shí)分別從兩地相對(duì)開出，5 小時(shí)正好行了全程的 2

4、/3，甲乙兩車的 速度比是 5：3。余下的路程由乙車單獨(dú)走完，還要多少小時(shí)？ 6、甲，乙兩輛汽車同時(shí)從東站開往西站，甲車每小時(shí)比乙車多行 12 千米。甲車 行駛 4.5 小時(shí)到達(dá)西站后沒有停留，立即從原路返回，在距西站 31.5 千米和乙 車相遇。甲車每小時(shí)行多少千米？ 7、 從甲地去乙地， 如車速比原來提高 1/9， 就可比預(yù)定的時(shí)間提前 20 分鐘趕到， 如先按原速行駛 72 千米，再將車速比原來提高 1/3，就比預(yù)定時(shí)間提前 30 分鐘 趕到。甲，乙兩地相距多少千米？ 8、 清晨 4 時(shí)， 甲車從 A 地， 乙車從 B 地同時(shí)相對(duì)開出， 原計(jì)劃在上午 10 時(shí)相遇， 但在 6 時(shí) 30

5、分，乙車因故停在中途 C 地，甲車?yán)^續(xù)前行 350 千米在 C 地與乙車 相遇，相遇后，乙車立即以原來每小時(shí) 60 千米的速度向 A 地開去。問：乙車幾 點(diǎn)才能到達(dá) A 地？ 9、AB 兩地相距 60 千米，甲車比乙車先行 1 小時(shí)從 A 地出發(fā)開往 B 地，結(jié)果乙 車還比甲車早 30 分到達(dá) B 地，甲乙兩車的速度比是 2:5，求乙車的速度。 10、小剛很小明同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走 52 米，小明每分鐘走 70 米，兩人在途中 A 處相遇。若小剛提前 4 分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分 鐘走 90 米，則兩人仍在 A 處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？ 11、客貨兩車分別從

6、甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開出，5 小時(shí)后相遇，相遇后兩車仍按原 速度前進(jìn)，當(dāng)他們相距 196 千米時(shí)客車行了全程的三分之二，貨車行了全程的 80%，問貨車行完全程用多少小時(shí) ？ 12、甲、乙兩輛車同時(shí)分別從兩個(gè)城市相對(duì)開出，經(jīng)過 3 小時(shí)，兩車距離中點(diǎn) 18 千米處相遇，這時(shí)甲車與乙車所行的路程之比是 2：3.求甲乙兩車的速度各是 多少？ 13、甲乙兩車同時(shí)從 AB 兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙的速度比是 4：5。兩車第 一次相遇后，甲的速度提高了 4 分之一，乙的速度提高了 3 分之一，兩車分別到 達(dá) BA 兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn) 48KM，AB 兩地相距 多少千米？ 14、

7、甲從 A 地往 B 地，乙丙從 B 地行往 A 地，三人同時(shí)出發(fā)。甲首先遇乙，15 分鐘后又遇丙。甲每份走 70m，乙走 60m 丙走 50m。問 AB 兩地距離、 15、甲乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速 度都是各自上山速度的二倍， 甲到山頂時(shí)乙距離山頂還有 500 米， 甲回到山腳時(shí)， 乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦獭?16、汽車從 A 地到 B 地，如果速度比預(yù)定的每小時(shí)慢 5 千米，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定 的多 1/8，如果速度比預(yù)定的增加 1/3，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的早 1 小時(shí)。求 A,B 兩地間的路程？ 17、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開出，第一

8、次在離東站 45 千米的地方相遇， 之后兩車?yán)^續(xù)以原來的速度前進(jìn)，各自到站后都立即返回，又在距離中點(diǎn)東側(cè) 9 千米處相遇，兩站相距多少千米？1、一列客車從甲地開往乙地，同時(shí)一列貨車從甲地開往乙地，當(dāng)貨車行了 180 千米時(shí)，客車行了全程的七分之四；當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之 七。甲乙兩地相距多少千米？180（1）=360 2、甲、乙兩車同時(shí)從 A、B 兩地相對(duì)開出，2 小時(shí)相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前行， 當(dāng)甲車到達(dá) B 地時(shí)，乙車離 A 地還有 60 千米，一直兩車速度比是 3:2。求甲乙 兩車的速度?？偮烦蹋?0（3-2）（3+2）=300速度和：3002=150甲速度：150=90

9、乙速度：150-90=60 3、甲、乙兩車分別同時(shí)從 A、B 兩成相對(duì)開出,甲車從 A 城開往 B 城,每小時(shí)行全 程的 10%,乙車從 B 城開往 A 城，每小時(shí)行 8 0千米，當(dāng)甲車距 A 城 260 千米時(shí)， 乙車距 B 地 320 千米。A、B 兩成之間的路程有多少千米？ 260（3208010%）=260=6504、一客車和一貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出,經(jīng)過 3 小時(shí)相遇,相遇后仍以原速 繼續(xù)行駛，客車行駛 2 小時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)貨車距離甲地 150 千米，求甲乙兩地 距離？由題意可知客車行2小時(shí)的路程貨車要3小時(shí)，則客車行3小時(shí)的路程，貨車要332=4.5小時(shí)貨車速度：150（4.

10、5-2）=60甲乙兩地距離 60（4.5+3）=450 5、甲乙兩車同時(shí)分別從兩地相對(duì)開出，5 小時(shí)正好行了全程的 2/3，甲乙兩車的 速度比是 5：3。余下的路程由乙車單獨(dú)走完，還要多少小時(shí)？速度和2/3 5=2/15乙速：=1/20乙行剩下1/31/20=20/36、甲，乙兩輛汽車同時(shí)從東站開往西站，甲車每小時(shí)比乙車多行 12 千米。甲車 行駛 4.5 小時(shí)到達(dá)西站后沒有停留，立即從原路返回，在距西站 31.5 千米和乙 車相遇。甲車每小時(shí)行多少千米？ 相遇時(shí)間：31.5212=5.25小時(shí)甲速：31.5（5.25-4.5）=42千米7、 從甲地去乙地， 如車速比原來提高 1/9， 就可比

11、預(yù)定的時(shí)間提前 20 分鐘趕到， 如先按原速行駛 72 千米，再將車速比原來提高 1/3，就比預(yù)定時(shí)間提前 30 分鐘 趕到。甲，乙兩地相距多少千米？解1：車速提高1/9，所用的時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的1（11/9）9/10， 所以預(yù)定時(shí)間是20（19/10）200分鐘。 速度提高1/3，如果行完全程，所用時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的1（11/3）3/4， 即提前200（13/4）50分鐘。 但卻提前了30分鐘，說明有30503/5的路程提高了速度。 所以，全程是72（13/5）180千米。 解2：如將車速比原來提高9分之1，速度比變?yōu)?0：9，所以時(shí)間比為9：10，原來要用時(shí)20/（109）*10200分。

12、 如一開始就提高3分之1，就會(huì)用時(shí)：200*3/4150分，這樣提前50分，而實(shí)際提前30分， 所以72千米占全程的130/5020/50， 所以全程72/（20/50）180千米。8、 清晨 4 時(shí)， 甲車從 A 地， 乙車從 B 地同時(shí)相對(duì)開出， 原計(jì)劃在上午 10 時(shí)相遇， 但在 6 時(shí) 30 分，乙車因故停在中途 C 地，甲車?yán)^續(xù)前行 350 千米在 C 地與乙車 相遇，相遇后，乙車立即以原來每小時(shí) 60 千米的速度向 A 地開去。問：乙車幾 點(diǎn)才能到達(dá) A 地？ 4點(diǎn)到6時(shí)30分是2.5時(shí)兩車每小時(shí)共行全程的1（10-4）=1/62.5小時(shí)兩車行全程的幾分之幾：2.5=全程：350（

13、1-）=600千米乙行全程所需時(shí)間：60060=10小時(shí)甲速：600（10-4）-60=40千米乙停留時(shí)間：35040=8.75小時(shí)=8時(shí)45分共用時(shí)間：10時(shí)+8時(shí)45分=18時(shí)45分到達(dá)時(shí)間：4時(shí)+18時(shí)45分=22時(shí)45分9、AB 兩地相距 60 千米，甲車比乙車先行 1 小時(shí)從 A 地出發(fā)開往 B 地，結(jié)果乙 車還比甲車早 30 分到達(dá) B 地，甲乙兩車的速度比是 2:5，求乙車的速度。乙行完全程時(shí)間：1.5(5-2) 2=1乙車速度： 601=60千米 10、小剛很小明同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走 52 米，小明每分鐘走 70 米，兩人在途中 A 處相遇。若小剛提前 4 分鐘

14、出發(fā)，且速度不變，小明每分 鐘走 90 米，則兩人仍在 A 處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？開始時(shí)，小剛和小明速度比為 52:70 = 26:35 ，則相遇時(shí)，小剛走的路程是兩家距離的 26/(26+35) = ；后來，小明的速度變成原來的 90/70 = 9/7 倍，即有：相遇時(shí)小明行走的時(shí)間變成原來的 ；則從小明出發(fā)后到兩人相遇，小剛走的路程是兩家距離的，所以，小剛和小明的家相距 524（-)= 2196 米。11、客貨兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開出，5 小時(shí)后相遇，相遇后兩車仍按原 速度前進(jìn)，當(dāng)他們相距 196 千米時(shí)客車行了全程的五分之三，貨車行了全程的 80%，問貨車行完全程用

15、多少小時(shí) ？客貨速度比3/5:80%=3:4全程長(zhǎng)： 196(3/5+80%-1)=490貨車速度：(4905)x4/(3+4)=56貨車行完全程需要多少小時(shí): 49056=8.75或時(shí)間相同，路程與速度成正比所以兩車速度比，客車：貨車=3/5：80%=3：4所以相遇時(shí)，客貨行程之比=3：4所以貨車行完全程要54（3+4）=8.75小時(shí)12、甲、乙兩輛車同時(shí)分別從兩個(gè)城市相對(duì)開出，經(jīng)過 3 小時(shí)，兩車距離中點(diǎn) 18 千米處相遇，這時(shí)甲車與乙車所行的路程之比是 2：3.求甲乙兩車的速度各是 多少？甲乙路程比是2:3，速度比也應(yīng)是2:3乙每小時(shí)多行路程為：18*23=12甲速：12（3-2）*2=

16、24乙速：242*3=36 13、甲乙兩車同時(shí)從 AB 兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙的速度比是 4：5。兩車第 一次相遇后，甲的速度提高了 4 分之一，乙的速度提高了 3 分之一，兩車分別到 達(dá) BA 兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn) 48KM，AB 兩地相距 多少千米？速度比：甲:乙=4：5全程：4+5=9份第一次相遇甲走4份，距離A 點(diǎn)4份相遇后速度比：甲：乙=4X（1+1/4）:5x(1+1/3)=3:4乙到A點(diǎn)，甲走到：（4/4）X3=3（份）甲到B點(diǎn)，乙走：（5-3）/3x4=8/3(份）還剩下：9-8/3=19/3（份）甲乙合走，需要：（19/3）/（3+4）=19/

17、21（時(shí)間）19/21時(shí)間乙走：19/21x4=76/21份乙距A點(diǎn)：76/21+8/3=132/21份第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)：132/21-4=48/21份第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)48千米每份：48/（48/21）=21（千米）全程：21x9=189(千米）或第一次相遇時(shí)，甲車行了全程的 4/(4+5)=4/9即第一次相遇點(diǎn)距A地 4/9第二次甲與乙的速度比為 （441/4):(5+51/3) =3：4 由于從第一次相遇到第二次相遇，兩人合行2個(gè)全程，所以兩人從第一次相遇到第二次相遇所需的時(shí)間為 2/(3+4)=2/7乙從第一次相遇后又行了 2/74=8/7第二次相遇點(diǎn)距A地 8/7-

18、4/9=44/63AB兩地距離 48/(44/63-4/9)=189千米 解： 將全部的路程看作單位 1 因?yàn)闀r(shí)間一樣，路程比就是速度比 所以相遇時(shí)，甲行了全程的 1x4/（5+4）=4/9 乙行了 1-4/9=5/9 此時(shí)甲乙提速，速度比由4:5變?yōu)?4（1+1/4） ：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是兩倍的 AB 距離，也就是 2 此時(shí)第二次相遇，乙行了全程的 2x4/（3+4）=8/7 第二次相遇點(diǎn)的距離占全部路程的 8/7-4/9=44/63 距離第一次相遇點(diǎn) 44/63-4/9=16/63 AB 距離=48/（16/63）=189 千米14、甲從 A 地往

19、 B 地，乙丙從 B 地行往 A 地，三人同時(shí)出發(fā)。甲首先遇乙，15 分鐘后又遇丙。甲每份走 70m，乙走 60m 丙走 50m。問 AB 兩地距離、解：乙丙的速度差=60-50=10 米/分 那么甲乙相遇時(shí)，距離丙的距離=（70+50）15=1800 米那么甲乙相遇時(shí)用的時(shí)間=1800/10=180 分鐘 那么 AB 距離=（70+60）180=23400 米15、甲乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速 度都是各自上山速度的二倍， 甲到山頂時(shí)乙距離山頂還有 500 米， 甲回到山腳時(shí)， 乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦?。解：下山速度是上山?2 倍，那就假設(shè)

20、一下， 把下山路也看做上山路，長(zhǎng)度為上山路的 1/2 速度都是上山的速度。 那么，原來上山的路程，占總路程的 2/3， 下山路程占總路程的 1/3 甲返回山腳，乙一共行了全程的： 2/3+1/31/2=5/6 乙的速度是甲的 5/6 甲到達(dá)山頂，即行了全程的 2/3， 乙應(yīng)該行了全程的：2/35/6=5/9 實(shí)際上乙行了全程的 2/3 減去 500 米 所以全程為：500（2/3-5/9）=4500 米 從山腳到山頂?shù)木嚯x為：45002/3=3000 米一、因?yàn)榧滓叶讼律降乃俣仁歉髯陨仙剿俣鹊?倍。所以乙上山500米的時(shí)間用來下山可以下到1000米。二、假設(shè)甲乙兩人同時(shí)下山，因?yàn)榧滓叶讼律?/p>

21、的速度是各自上山速度的2倍，所以，當(dāng)甲到山腳時(shí)，乙應(yīng)該距離山腳1000米。又因?yàn)?，甲到從山頂?shù)缴侥_的時(shí)間，與乙從500米處上山+下至半山腰處時(shí)間相等；總上，半山腰處距山腳應(yīng)該是500米+1000米=1500米，全程3000米16、汽車從 A 地到 B 地，如果速度比預(yù)定的每小時(shí)慢 5 千米，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定 的多 1/8，如果速度比預(yù)定的增加 1/3，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的早 1 小時(shí)。求 A,B 兩地間的路程？解： 將原來的時(shí)間看到單位 1 ，那么每小時(shí)慢 5 千米， 用的時(shí)間是 1 （1+1/8） =9/8 那么實(shí)際用的時(shí)間和原來的時(shí)間之比為 9/8：1=9：8 那么實(shí)際速度和原來速度之比為

22、8：9 那么實(shí)際速度是原來速度的 8/9 那么原來的速度=5/（1-8/9）=45 千米/小時(shí) 第二次速度增加 1/3，實(shí)際速度與原來的速度之比為為（1+1/3） ：1=4： 3 實(shí)際用的時(shí)間和原來的時(shí)間之比為 3：4 那么實(shí)際用的時(shí)間是原來的 3/4 原來所用的時(shí)間為 1/（1-3/4）=4 小時(shí) AB 距離=454=180 千米簡(jiǎn)析：此題反復(fù)利用路 程一定，時(shí)間和速度成反比，這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)中要注意。17、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開出，第一次在離東站 45 千米的地方相遇， 之后兩車?yán)^續(xù)以原來的速度前進(jìn)，各自到站后都立即返回，又在距離中點(diǎn)東側(cè) 9 千米處相遇，兩站相距多少千米？解：將全部路

23、程看作單位 1，第二次相遇時(shí)這輛車走了 1 又 1/2 還多 9 千米，我們拿從東站出來的車考慮在整個(gè)相遇過程中，兩車一共走了 3 個(gè)全程 第一次相遇時(shí)，從東站出來的車走了 45 千米那么整個(gè)過程走了 453=135 千米 此時(shí)這輛車走了 1.5 倍的全程還多 9 千米所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84 千米18、客貨兩車分別從甲乙兩地相對(duì)開出，相遇后兩車?yán)^續(xù)到達(dá)對(duì)方終點(diǎn)后， 兩車立即返回，又在途中相遇，兩次相遇的地點(diǎn)相距 3000 米。已知貨車的速度 是客車速度三分之二，求甲乙兩地距離是多少米？（要算式和解題過程） 解：將全部的路程看作單位 1 貨車和客車的速度比=2：3 第一次

24、相遇貨車行了全程的 2/5，客車行了全程的 3/5 因?yàn)槭?2 次相遇， 所以兩車走的路程一共是 3 倍甲乙兩地距離， 也就是 1x3=3 貨車行了整個(gè)過程的 3x2/5=6/5 因此第二次相遇是在距離甲地 6/5-1=1/5 處 第一次相遇是在距離甲地 3/5 處 那么兩處相距 3/5-1/5=2/5 甲乙兩地距離 3000/（2/5）=7500 米二、追及問題 1、已知甲乙兩船的船速分別是 24 千米/時(shí)和 20 千米/時(shí),兩船先后從漢口港 開出,乙比甲早出 1 小時(shí)，兩船同時(shí)到達(dá)目的地 A，問兩地距離？解：距離差=20 1=20 千米速度差 24-20=4 千米/小時(shí)甲追上乙需要 204

25、=5 小時(shí) 兩地距離=245=120 千米 2、某校組織學(xué)生排隊(duì)去春游，步行速度為每秒 1 米，隊(duì)尾的王老師以每秒 2.5 米的速度趕到排頭,然后立即返回隊(duì)尾,共用 10 秒,求隊(duì)伍的長(zhǎng)度是多少米?解：速度差=2.5-1=1.5 米/秒速度和=1+2.5=3.5 米/秒 設(shè)隊(duì)伍長(zhǎng)度為 a 米 a/1.5+a/3.5=10 5a=3.5x1.5x10 a=10.5 米 或者這樣做 第一次追及問題，第二次相遇問題 速度比=1.5：3.5=3：7 我們知道，路程一樣，速度比=時(shí)間的反比 因此整個(gè)過程，追及用的時(shí)間=10x7/10=7 秒 那么隊(duì)伍長(zhǎng)度=1.5x7=10.5 米假設(shè)隊(duì)伍長(zhǎng)為1 老師從隊(duì)

26、尾走到隊(duì)頭用的時(shí)間是總時(shí)間的1（2.5-1）=再?gòu)年?duì)頭走到隊(duì)尾用的時(shí)間是總時(shí)間的1（2.5+1）=總時(shí)間是10秒 那么總路程即隊(duì)伍長(zhǎng)是10（+）=10.5米 3、在一個(gè)圓形跑道上,甲從 A 點(diǎn),乙從 B 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6 分鐘后兩人 相遇,再過 4 分鐘甲到 B 點(diǎn),又過 8 分鐘兩人再次相遇,甲、 乙環(huán)形一周各需多少分 鐘？ 解：將全部路程看作單位 1 第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是 1 那么相遇時(shí)間=4+8=12 分鐘 甲乙的速度和=1/12，也就是每分鐘甲乙行駛?cè)痰?1/12 6 分鐘行駛?cè)痰?1/126=1/2 也就是說 AB 的距離是 1/2 那么 6+4=10 分

27、鐘甲到達(dá) B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20 甲環(huán)形一周需要 1/（1/20）=20 分鐘 乙的速度=1/12-1/20=1/30 乙行駛?cè)绦枰?1/（1/30）=30 分鐘 4、甲乙兩人環(huán)湖同向競(jìng)走,環(huán)湖一周是 400 米,乙每分鐘走 80 米,甲的速度是 乙的一又四分之一倍，問甲什么時(shí)候追上乙？ 解：設(shè)甲用 a 分鐘追上乙 （805/4-80）a=400 （100-80）a=400 a=400/20 a=20 分 算術(shù)法 速度差=80（5/4-1）=20 米/分 追及時(shí)間=400/20=20 分 甲用 20 分鐘追上乙 5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它 8 米遠(yuǎn)的地方有只奔跑的野兔子，立刻追。獵

28、犬包 6 步的 路程野兔要跑 11 步，但是兔子跑的 4 步的時(shí)間獵犬只能奔跑 3 步。獵犬至少要 跑多少米才能追上野兔？解：將獵犬跑一步的距離看作單位 1（或者設(shè)一步的距 離為 a 米） 那么野兔跑一步的距離為 6/11 根據(jù)題意 兔子跑 4 步的距離=46/11=24/11 獵犬跑 3 步的距離=13=3 那么獵犬和野兔的速度差=3-24/11=9/11 所以獵犬追上野兔的時(shí)間=8/（9/11）1=88/9 米（必須乘以單位 1，否則算 12 式?jīng)]有意義） 6、一只野兔跑出 85 步獵犬才開始追它，兔子跑 8 步的路程獵犬只需跑 3 步，獵犬跑 4 步的時(shí)間野兔能跑 9 步。問獵犬至少要跑

29、多少步才能追上兔子？ 解：將獵犬一步的距離看作單位 1（或者設(shè)獵犬一步距離為 a） 那么兔子一步的距離=3/8（3/8a） 二者的速度差=14-3/89=32/8-27/8=5/8 那么獵犬需要跑 85/（5/8）1=136 步 三、特殊的追及問題 我們?cè)谌粘Ｗ鲱}的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到求幾點(diǎn)幾分時(shí)針和分針?biāo)Q的角度， 還有時(shí)針和分針?biāo)啥嗌俣冉菚r(shí)，是幾點(diǎn)幾分。解此類題，似乎與追及問題格格 不入， 但是我們恰恰可以看作是追及問題的一個(gè)變形。 首先我們對(duì)鐘面熟悉以后， 知道鐘面被分作 60 個(gè)小格，每個(gè)小格所對(duì)的圓心角的度數(shù)=360/60=6 度，分針 每分鐘走 1 格，時(shí)針每分鐘走 5/60=1/

30、12 格，由此我們?cè)诮忸}之前就知道了這些 隱含條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時(shí)針?biāo)俣嚷?，分針?biāo)俣瓤?，在解題之 前，大致畫一個(gè)圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因?yàn)樗俣炔钗?們已經(jīng)知道了，是 1-1/12=11/12 格，將來我們學(xué)會(huì)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就可以把時(shí)針看 作參照物，分針的速度變?yōu)?11/12 格/分，問題變得更加簡(jiǎn)單。看下面的例題： 1、7 點(diǎn)與 8 點(diǎn)之間,時(shí)針與分針成 30 度角的時(shí)刻? 鐘面一共 60 格，一定要對(duì)鐘面熟悉 每一格對(duì)應(yīng)的度數(shù) 360/60=5 度 分針每分鐘走 1 格，時(shí)針每分鐘走 5/60=1/12 格 此時(shí)我們就把分針和時(shí)針的運(yùn)動(dòng)看作追及問題 分針的

31、速度快，是 1 格/分，時(shí)針的速度慢是 1/12 格/分 速度差=1-1/12=11/12 格/分 此時(shí)如果看作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，時(shí)針靜止，那么分針的速度就是 11/12 格/分 此題中，7 點(diǎn)時(shí)，分針和時(shí)針相差 35 格，題目要求成 30 度角及相差 30/6=5 格時(shí)鐘表的時(shí)間，那就是分針以 11/12 格/分的速度追趕時(shí)針，相差 5 格，也就是 路程上追上了 30 格，求的就是分針以 11/12 格/分走 30 格的時(shí)間，第二次成 30 度就是分針超過時(shí)針 5 格即分針以 11/12 格/分的速度走的 35+5=40 格的時(shí)間 算術(shù)式如下： 第一次成 30 度時(shí)，時(shí)針和分針的路程差=6030/3

32、60=5 格 7 點(diǎn)時(shí)時(shí)針和分針的距離是 35 格 第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11 分32 分 44 秒 第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11 分43 分 38 秒 方程：舉一例 設(shè) a 分鐘分針和時(shí)針第一次成 30 度 分針 a 分走 a 格， 時(shí)針 a 分走 a/12 格 開始時(shí)的路程差=35 格 那么 a/12+35=a+5 a=360/11 分32 分 44 秒 第二次成 30 度的時(shí)候 分針走 a 格 13 時(shí)針走 a/12 格，加上開始的路程差=35 格 那么此時(shí)時(shí)針的位置是 a/12+35 格 分針此時(shí)超過時(shí)針

33、 5 格 那么 a-5=a/12+35 a=480/11 分43 分 38 秒 也就是在 7 點(diǎn) 32 分 44 秒和 7 點(diǎn) 43 分 38 秒的時(shí)候分針和時(shí)針成 30 度 2、張華出去辦事兩個(gè)多小時(shí)，出門時(shí)他看了看鐘，到家時(shí)又看了看鐘，發(fā) 現(xiàn)時(shí)針和分針互相換了位置，他離家多長(zhǎng)時(shí)間？ 此問題關(guān)鍵在于求具體多少分鐘，因?yàn)榭隙ㄊ浅^ 2 個(gè)小時(shí) 我們把表盤看作一個(gè)環(huán)形路，那么每一格就是距離單位，一圈是 60 格 分針每分鐘走 1 格，時(shí)針每分鐘走 5/60=1/12 格 鐘表按照順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，此題出門時(shí)時(shí)針在分針之后 時(shí)針和分針的路程差不變 整個(gè)過程分針走的路程是 2x60+60-路程差，時(shí)針走的

34、路程是路程差 所以時(shí)針和分針走過的路程和=3x60=180 格 二者的速度和=1+1/12=13/12 格/分 那么經(jīng)過的時(shí)間=180/（13/12）=2160/13 分=36/13 小時(shí)2 小時(shí) 46 分 離家時(shí)間為 2 小時(shí) 46 分 四、工程問題 工程問題是我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的， 這里通過實(shí)踐總結(jié)出了一些 工程實(shí)際問題和變形的工程問題，解此類問題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位 1，其次要把 握住最基本的運(yùn)算公式工程總量=工作效率工作時(shí)間，萬(wàn)變不離其宗。 1、 王師傅加工一批零件，計(jì)劃在六月份每天都能超額完成當(dāng)天任務(wù)的 15%，后來因機(jī)器維修，最后的 5 天每天只完成當(dāng)天任務(wù)的八成，就這樣，

35、 六月份共超額加工 660 個(gè)零件，王師傅原來的任務(wù)是每天加工多少個(gè)零件？ 解：首先我們知道 6 月有 30 天將額定每天完成的任務(wù)看作單位 1 每天超額 15%，一共工作 30-5=25（天） ，25 天共超額 2515%375%每天完成八成，5 天少完成 5(1-80%)=100%這個(gè)月共超額完成 375%-100%=275%660 27.5%=240(個(gè)） 2、一堆飼料,3 牛和 5 羊可以吃 15 天,5 牛和 6 羊可以吃 10 天,那 8 牛和 11 羊可以吃幾天？將這堆飼料的總量看作單位1那么3牛和5羊可以吃15天，吃的是單位1的量，相當(dāng)于每天吃1/155牛和6羊可以吃10天，吃

36、的是單位1的量，相當(dāng)于每天吃1/10我們此時(shí)把3牛5羊看作一個(gè)整體，5牛6羊看作1個(gè)整體，每天吃飼料的1/15+1/10=1/6那么這堆飼料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天 3、甲、乙合作完成一項(xiàng)工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高 了十分之一，乙的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了五分之一，甲、乙兩人合作 4 小時(shí)， 完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨(dú)做了 4 小時(shí)，還剩下這件工作的三十分 14 之十三沒完成。這項(xiàng)工作甲獨(dú)做需要幾個(gè)小時(shí)才能完成？ 解： 乙獨(dú)做 4 小時(shí)完成全部工程的 1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6 乙的工作效率= （1/6）/4=1/24 乙獨(dú)做需要

37、 1/（1/24）=24 小時(shí)乙工作效率提高 1/5 后為（1/24） x（1+1/5）=1/20 甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10 那么甲提高后的工作 效率=1/10-1/20=1/20 甲原來的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22 甲單獨(dú)做需要 1/（1/22）=22 小時(shí) 4、一項(xiàng)工程 A、B 兩人合作 6 天可以完成。如果 A 先做 3 天，B 再接著做 7 天，可以完成，B 單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ 解：AB 合作，每天可以完成 1/6A 先做 3 天，B 再做 7 天，可以看做 AB 合 作 3 天，B 再單獨(dú)做 7-3=4 天 AB 合作 3 天

38、，可以完成：1/63=1/2B 單獨(dú)做 4 天，完成了 1-1/2=1/2B 單獨(dú)做，每天完成：1/24=1/8B 單獨(dú)完成，需要：1 1/8=8 天 5、某工程，由甲乙兩隊(duì)承包，2.4 天可以完成，需支付 1800 元，由乙丙兩 隊(duì)承包，3 又 3/4 天可以完成，需支付 1500 元，由甲丙兩隊(duì)承包，2 又 6/7 天可 以完成，需支付 1600 元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包 費(fèi)用最少？ 解： 甲乙工效和： 1/(2 又 5 分之 2)=5/12 乙丙工效和： 1/(3 又 4 分之 3） =4/15 甲丙工效和：1/(2 又 7 分之 6）=7/20 甲乙丙工效和：

39、(5/12+4/15+7/20)/2=31/60 甲工效：31/60-4/15=1/4 乙工效：31/60-7/20=1/6 丙工效：31/60-5/12=1/10 能在一 星期內(nèi)完成的為甲和乙甲乙每天工程款：1800/（2 又 5 分之 2）=750 元乙丙每天 工程款：1500/（3 又 4 分之 3）=400 元甲丙每天工程款：1600/（2 又 7 分之 6） =560 元甲乙丙每天工程款： 750+400+560） （ /2=855 元甲每天工程款： 855-400=455 元乙每天工程款：855-560=295 元 甲總費(fèi)用：4554=1820 元乙總費(fèi)用：295 6=1770 元

40、所以應(yīng)將工程承包給乙。 6、甲、乙二人同時(shí)開始加工一批零件，加單獨(dú)做要 20 小時(shí)，乙單獨(dú)做 30 小時(shí)。現(xiàn)在兩人合作，工作了 15 小時(shí)后完成任務(wù)。已知甲休息了 4 小時(shí)，則乙 休息了幾小時(shí)？ 解：總的工作量為單位 1 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=1/30 甲乙工作 效率和=1/20+1/30=1/12 甲休息 4 小時(shí)，那么甲工作 15-4=11 小時(shí)，甲完成 1/20 11=11/20 乙完成 1-11/20=9/20 完成這些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2 小 時(shí)那么乙休息 15-27/2=3/2 小時(shí)=1.5 小時(shí) 7、一間教室如果讓甲打掃需要 10 分鐘，

41、乙打掃需要 12 分鐘。丙打掃需要 15 分鐘。有同樣的兩間教室 A 和 B。甲在 A 教室，乙在 B 教室同時(shí)開始打掃， 丙先幫助甲打掃，中途又去幫助乙打掃教室，最后兩個(gè)教室同時(shí)打掃完，丙幫助 甲打掃了多長(zhǎng)時(shí)間？（中途丙去乙教室的時(shí)間不計(jì)） 解：將工作量看作單位 1 甲的工作效率=1/10 乙的工作效率=1/12 丙的工作 效率=1/15 甲乙丙合干完成 1 間教室需要 1/（1/10+1/12+1/15）=4 分鐘設(shè)丙幫甲 a 分鐘 a 分鐘甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6 那么剩下的 1-a/6 需要甲獨(dú)自完成乙 a 分鐘完成 a/12 那么剩下的 1-a/12 需要乙丙完成需要

42、的時(shí)間= 1-a/12） （ （1/12+1/15） / =（1-a/12）/（3/20）根據(jù)題意（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20） 10a/6=20/3-5/9a30a=120-10a40a=120a=3 分鐘丙幫乙 3 分鐘 算術(shù)解法 兩間教室都是一樣的工作量，那么實(shí)際就是甲乙丙三人共同完成，上面已經(jīng) 解出完成 1 間需要 4 分鐘，那么完成 2 間需要 42=8 分鐘，甲 8 分鐘完成 1/10 15 8=4/5，那么丙需要完成 1-4/5=1/5 所以丙幫甲（1/5）/（1/15）=3 分鐘那么丙 幫乙 8-3=5 分鐘 8、裝配自行車 3 個(gè)工人 2 小時(shí)裝配車

43、架 10 個(gè)，4 個(gè)工人 3 小時(shí)裝配車輪 21 個(gè)。 現(xiàn)有工人 244 人， 為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排 244 名工人最合適？ 解：裝配車架的工作效率=10/（32）=5/3 個(gè)/人小時(shí)裝配車輪的工作效 率=21/（43）=7/4 個(gè)/人小時(shí)設(shè) a 個(gè)工人裝配車架，則有 244-a 人裝配車輪 a 5/3： （244-a）7/4=1：2427-7/4a=10a/340a/12+21/12a=42761a/12=427a=84 人 裝配車架 84 人裝配車輪 244-84=160 人簡(jiǎn)析：我們要知道在實(shí)際生活中，一輛自 行車需要一個(gè)車架和二個(gè)車輪，那么車架和車輪比為 1：2，可以稱為

44、隱含條件， 大家要注意。 9、光明村計(jì)劃修一條公路，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包，甲工程隊(duì)先修 完公路的 1/2 后，乙工程隊(duì)再接著修完余下的公路，共用 40 天完成。已知乙工 程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修 8 千米，后 20 天比前 20 天多修了 120 千米。求乙工程 隊(duì)共修路多少天？ 解：因?yàn)橐业墓ぷ餍矢哂诩?，所以?20 天里乙沒有修實(shí)際乙工作了 120/8=15 天此題問題不難，但是關(guān)鍵在于處理前 20 天內(nèi)是否有乙工作，如果乙 在前 20 天工作，那么工期肯定少于 40 天，所以借助畫圖會(huì)更好的理解。 10、張師傅計(jì)劃加工一批零件，如果每小時(shí)比計(jì)劃少加工 2 個(gè)，那么所用的 時(shí)間是原來

45、的 3 分之 4；如果每小時(shí)比計(jì)劃多加工 10 個(gè)，那么所用的時(shí)間比原 來少 1 小時(shí)，這批零件共有多少個(gè)？ 解：張師傅比計(jì)劃少加工 2 個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來的 3 分之 4，也就是 原計(jì)劃用的時(shí)間和實(shí)際用的時(shí)間之比為 1：4/3=3：4 那么原來的工作效率和實(shí)際 的工作效率之比為 4：3 實(shí)際工作效率是原來的 3/4 那么原計(jì)劃每小時(shí)加工 2/ （1-3/4） 個(gè)如果每小時(shí)多加工 10 個(gè)， =8 那么實(shí)際每小時(shí)加工 8+10=18 個(gè)原計(jì)劃 的工作效率和實(shí)際工作效率之比=8：18=4：9 那么原計(jì)劃與實(shí)際所用時(shí)間之比為 9：4 實(shí)際用的時(shí)間是原來的 4/9 那么原計(jì)劃用的時(shí)間=1/（1-4/9）=9/5=1.8 小時(shí) 那么這批零件有 81.8=14.4 個(gè) 或者列方程 我們?cè)O(shè)時(shí)針和分針之間距離為 a 格 （120+60-a）/1=a/（1/12） 13a=180 a=180/13 格