第六章 彎曲應(yīng)力

1、第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言 基本結(jié)論：基本結(jié)論：一般情況下，梁的橫截面上同時(shí)存 一般情況下，梁的橫截面上同時(shí)存 在著剪力在著剪力FS和彎曲和彎曲M， 所以橫截面所以橫截面 上同時(shí)存在正應(yīng)力上同時(shí)存在正應(yīng)力 和彎曲切應(yīng)和彎曲切應(yīng) 力力 。 其中，其中，彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 與彎矩與彎矩 M 相關(guān)；彎曲切應(yīng)力 相關(guān)；彎曲切應(yīng)力 與與剪力剪力FS 相關(guān)。相關(guān)。 S F M dA 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁CD段任一橫截面上，剪力等段任一橫截面上，剪力等 于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎 曲就是曲就是純彎曲純彎曲. . 若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常

2、量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為 純彎曲純彎曲. + + F F + Fa FF aa C D AB F F B 第三節(jié)第三節(jié) 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 bb aa m m n n OO M M bb a a m m n n O O 中性軸中性軸 d y O O dx y OO 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 bb bb 考察距中性層為考察距中性層為 y 、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為 dx 的縱的縱 向向“纖維纖維” 原長(zhǎng)：原長(zhǎng)：ddbbxOO 變形后長(zhǎng)度：變形后長(zhǎng)度：dbby 線應(yīng)變：線應(yīng)變： 1bbbb y bb 式中，式中， 為中性層的曲率半徑為中性層的曲率半徑 結(jié)論：結(jié)論

3、：梁橫截面上任意點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性層的距離梁橫截面上任意點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性層的距離 成正比成正比 y x z y物理關(guān)系物理關(guān)系 1 y 結(jié)論：結(jié)論： 梁橫截面上任意點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力與該點(diǎn)的縱坐標(biāo)梁橫截面上任意點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力與該點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 成正比，成正比， 根據(jù)胡克定律根據(jù)胡克定律 1 EEy 即彎曲正應(yīng)力沿截面高度方向呈線性分布。即彎曲正應(yīng)力沿截面高度方向呈線性分布。 存在兩個(gè)待定問(wèn)題：存在兩個(gè)待定問(wèn)題： 1）中性軸的位置？）中性軸的位置？ 2）中性層的曲率（曲率半徑）？）中性層的曲率（曲率半徑）？ O y z x O Me z y 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 橫截面上內(nèi)力系

4、為垂直于橫截面的橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的 空間平行力系，這一力系向橫截面形心空間平行力系，這一力系向橫截面形心 簡(jiǎn)化得到簡(jiǎn)化得到: FR M 0 （1） M （2 2） y R Fd A F O Md A M d A A d A y A dFd A dM dA d0 R A y FEA 0d A Ay E 0d A Ay z S z IE M 1 d O A y MyEAM MI E z MAy E A d 2 2d z A yAI z EI M 1 y E z I My 討論討論 I yM z max max W M max max y I W z b h z y z d y z D

5、d y 32 2 2 12 h h bh ybdy 2 z A Iy dA 32 /12 / 2/ 26 z Ibhbh W hh 43 /64 / 2/ 232 z Idd W dd 4 64 z d I 4 4 (1) 64 z D I 3 4 (1) 32 Dd W D z y y maxc y maxt M y maxt y maxc z I My maxc tmax I My z maxc maxc I My z maxt maxt ( ) z M x y I 5/ hl max max W M max M W max WM max W M ct maxcmaxt tmaxt cma

6、xc 例例1 圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的 尺寸見(jiàn)圖b。已知F=150 kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng) 力max和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處(圖b)的正 應(yīng)力a。 第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 解：解： max 150 10 375 44 kN m Fl M 375kN m SF 75kN 75kN 75kN AB FF 由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 m102342 mN10375 36 3 max max z W M 3 max 8 0.56 375 100.021 2 148 6558

7、6 10 MPa a a z My I 于是有 危險(xiǎn)截面上點(diǎn)a 處的正應(yīng)力為 顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為 而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)?MPa7 .165Pa107 .165 m102342 mN10388 6 36 3 max MPa7 . 5MPa1607 .165 遠(yuǎn)小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。 mkN388mkN13mkN375 84 2 max qlFl M 如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險(xiǎn)截面未變， 但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?80 y1 y2 20 20120 z 例例2 T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.

8、鑄鐵的許用拉鑄鐵的許用拉 應(yīng)力為應(yīng)力為 t = 30MPa ，許用壓應(yīng)力為許用壓應(yīng)力為 c =160MPa. 已知截面對(duì)已知截面對(duì) 形心軸形心軸z的慣性矩為的慣性矩為 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的強(qiáng)度校核梁的強(qiáng)度. F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kNm 2.5kNm 解：解：1）求解約束反力）求解約束反力 - + 4kN 2.5kN + 6.5kN 解得解得 2）剪力圖、彎矩圖）剪力圖、彎矩圖 最大彎矩在截面最大彎矩在截面B上上 10 5 R kN B F. 2 5 R

9、 kN A F. 12 2110 RA FFF 0 BM 12 1230 RB FFF 0 AM 4kN m BM FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m 80 y1 y2 20 20120 z 3）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 B截面：截面： 3 8 4000 52 10 27.2 763 10 MPa 1 maxt B z y M I 2 maxc B z y M I 3 8 40001405210 46.2 763 10 MPa t c FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kNm 2.5kNm 80 y1 y2 20 20120

10、 z 最大正彎矩在截面最大正彎矩在截面C上上 2.5kN m CM 2 maxt C z y M I C截面：截面： 33 8 2.5 101405210 28.8 763 10 MPa 1 maxc C z y M I 3 8 2500 52 10 763 10 c t 該梁強(qiáng)度足夠該梁強(qiáng)度足夠 (a) 例例3 3 圖a所示工字鋼制成的梁，其計(jì)算簡(jiǎn)圖可取為如圖b所示 的簡(jiǎn)支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力=152 MPa 。試選擇工字 鋼的號(hào)碼。 FAFB 解：（1）求支座反力）求支座反力 112.5kN AB FF 由對(duì)稱性可得由對(duì)稱性可得 mkN375 max M （2）在不考慮梁的自重的情況下，

11、）在不考慮梁的自重的情況下， 該梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示：該梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示： 強(qiáng)度條件 要求： z W M max 36 6 max m102460 Pa10152 mkN375 M Wz （3）選擇工字鋼。）選擇工字鋼。 FAFB - + 112.5kN 37.5kN 37.5kN 112.5kN 112.5kN AB FF 363 m102447cm2447 z W 此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。 由型鋼規(guī)格表查得56b號(hào)工字鋼的Wz為 第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 由型鋼規(guī)格表查得56c可選。 63 2460 10m z W 例例4 4 圖

12、a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截 面對(duì)于中性軸z 的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖a中， b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力t=30 MPa，許用壓應(yīng)力 c=90 MPa 。試求梁的許可荷載F。 第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 (a)(b) RA F BR F 解：解：1）求解約束反力）求解約束反力 解得解得 7 4 RB FF 4 RA F F 20 2 RA Fb FbFbb b 0 BM 5 20 2 RB Fb FbFbb b 0 AM 4 RA F F B 7 4 R F F 2）剪力圖、彎矩圖）剪力圖、彎矩圖 最大彎矩在截面最大彎矩在截面B上上 2 B Fb M

13、 - + / 4F 3/ 4F F B截面： 3 3 4124 286 10 86 10 2 5493 1010 t,max mm m m B z F M I 強(qiáng)度條件 要求： maxz MW 3）確定）確定梁的許可荷載F 3 3 4124 2134 10 86 10 2 5493 1010 c,max mm m m B z F M I 6 90 10 c Pa 6 30 10 t Pa 19161NF 36893NF 3 3 4124 286 10 86 10 4 5493 1010 c,max mm m m c z F M I C截面： 3 3 4124 2134 10 134 10 4

14、5493 1010 t,max mm m m C z F M I 6 90 10 c Pa 6 30 10 t Pa 24596NF 114970NF 該梁的許可荷載為F=19.2 kN。 第五節(jié)第五節(jié) q(x) F1F2 z 在中性軸上各點(diǎn)處，切應(yīng)力達(dá)到最大值在中性軸上各點(diǎn)處，切應(yīng)力達(dá)到最大值 式中，式中，A=bh為矩形截面的面積為矩形截面的面積. d 腹板的厚度腹板的厚度 最大切應(yīng)力也在中性軸上最大切應(yīng)力也在中性軸上 2.2.工字形截面梁工字形截面梁（工（工-section beam) o z y h 腹板 翼緣翼緣 SS max 33 22 FF bhA maxmin S F dh oz

15、 y h b S * : zz F d IS 或或 y d z O y r0 S max 4 3 F A 2 4 d A max 2 S F A A A A A 1 4 3 1.5 2 k S max F k A 三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況 （1 1）梁的跨度較短，）梁的跨度較短，M 較小，而較小，而FS較大時(shí)較大時(shí), ,要校核切應(yīng)力；要校核切應(yīng)力； （2 2）鉚接或焊接的組合截面）鉚接或焊接的組合截面, ,其腹板的厚度與高度比小于型鋼其腹板的厚度與高度比小于型鋼 的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力；的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力； （3 3）各向異性材料各向異性材料

16、( (如木材如木材) )的抗剪能力較差，的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力要校核切應(yīng)力. . 二、強(qiáng)度條件二、強(qiáng)度條件（Strength condition） （4 4）集中外力靠近約束端，集中外力靠近約束端，要校核切應(yīng)力要校核切應(yīng)力. . max F 例例5 一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示.起重量起重量 (包含電葫蘆自重包含電葫蘆自重)F = 30 kN. 跨長(zhǎng)跨長(zhǎng)l = 5 m. 吊車大梁吊車大梁AB由由20a工字鋼制成工字鋼制成.其許其許 用彎曲正應(yīng)力用彎曲正應(yīng)力 =170MPa,許用彎曲切許用彎曲切 應(yīng)力應(yīng)力 = 100MPa ，試校核梁的強(qiáng)度，試校核梁的強(qiáng)度. a F 5m

17、AB 解：此吊車梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，解：此吊車梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁， F在任意位置在任意位置a時(shí)時(shí) A F B F 5 5 A Fa F 5 B Fa F 1）求解約束反力）求解約束反力 2）剪力圖、彎矩圖）剪力圖、彎矩圖 + - 5/5Fa /5Fa + 5/5Faa 2 max 55 55 FaaFaFa M F + 37.5 kNm 彎矩最大時(shí)，彎矩最大時(shí)，F(xiàn)位置位置 （1）正應(yīng)力強(qiáng)度校核）正應(yīng)力強(qiáng)度校核 由型鋼表查得由型鋼表查得20a工字鋼的工字鋼的 所以梁的最大正應(yīng)力為所以梁的最大正應(yīng)力為 5m AB 2.5m F C 2 F 2 F d52 d5 MFFa a 0 2.5ma max 3

18、7.5kN m M 3）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 3 237cm zW max max 9 37500 158 237 10 MPa z M W F在中間位置，彎矩最大 + FSmax （2）切應(yīng)力強(qiáng)度校核）切應(yīng)力強(qiáng)度校核 在計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)，應(yīng)取荷載在計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)，應(yīng)取荷載F 在緊靠任一支座例如支座在緊靠任一支座例如支座A處所示，因處所示，因 為此時(shí)該支座的支反力最大，而梁的最為此時(shí)該支座的支反力最大，而梁的最 大切應(yīng)力也就最大大切應(yīng)力也就最大. 查型鋼表中，查型鋼表中，20a號(hào)工字鋼，有號(hào)工字鋼，有 d=7mm 以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁

19、是安全的. 5m AB F C RA FF RB F0 max 30 SR kN A FFF * max 17.2cm z z I S max max 32* max 30000 24.9 7 1017.2 10: S =MPa z z F d I S 例例6 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁AB如圖所示如圖所示. l2m，a0.2m. 梁上的載荷為梁上的載荷為q為為 10kN/m，F(xiàn)200kN.材料的許用應(yīng)力為材料的許用應(yīng)力為 =160MPa， 100MPa，試選擇工字鋼型號(hào)，試選擇工字鋼型號(hào). 解：（解：（1）計(jì)算支反力做內(nèi)力圖）計(jì)算支反力做內(nèi)力圖. q B A CDE l F F a a 8kN 210kN

20、 208kN 41.8 kNm 41.8 kNm 45 kNm （2）根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào)）根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào) 查型鋼表，選用查型鋼表，選用22a工字鋼，其工字鋼，其 Wz309cm3 3 3 max 6 45 10 281 160 10 cm z M W （3）校核梁的切應(yīng)力）校核梁的切應(yīng)力 腹板厚度腹板厚度 d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為，由剪力圖知最大剪力為210kN 查表得查表得 ,cm9 .18 * max z z S I MPa100MPa148 1075. 0109 .18 10210 22 3 maxmaxS max bI SF z z max超過(guò)超過(guò) 很

21、多，應(yīng)重新選擇更大的截面很多，應(yīng)重新選擇更大的截面.現(xiàn)已現(xiàn)已25b工字鋼進(jìn)工字鋼進(jìn) 行試算行試算 查表得查表得,cm9 .18 * max z z S I d=1cm MPa100MPa6 .98 101103 .21 10210 22 3 max 所以應(yīng)選用型號(hào)為所以應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼的工字鋼. 2.2m 200 z 220 120 10 4 cm2370 z I 62.5kNm 2.2m F 1.41m 2.5m 5m A B CD 1.4m FRBFRA mkN5 .62 max M 200 z 220 120 10 48 m105020 10)5110(120 10 2102730 12 8 z I m10 456 36 max y I W z z max cmax 137MPa z M W 2.2m F 1.41m 2.5m 5m A B CD 1.4m FRBFRA 50.4 kNm mkN4 .50 l Fab MD cm237 3 Wz MP213 max a W M z D D Smax FF 第六節(jié)第六節(jié) 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 一、降低梁的最大彎矩值一、降低梁的最大彎矩值 1.1.合理地布置梁的荷載合理地布置梁的荷載 按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度