2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)第三冊(cè)教案：第5章5.25.2.1　第2課時(shí)　等差數(shù)列的性質(zhì)含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教b版選擇性必修第三冊(cè)教案：第5章 5.2 5.2.1第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)含解析第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解等差中項(xiàng)的概念（重點(diǎn))2掌握等差數(shù)列中兩項(xiàng)及多項(xiàng)之間的關(guān)系(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題（難點(diǎn))1。借助等差數(shù)列中項(xiàng)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)2通過(guò)等差數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。高斯怎么計(jì)算123100這道題目的？推廣到一般的等差數(shù)列，你有什么猜想？1等差中項(xiàng)如果x，a，y是等差數(shù)列,那么稱a為x與y的等差中項(xiàng)，且a.在一個(gè)等差數(shù)列中，中間的每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一

2、項(xiàng)的等差中項(xiàng)思考1：在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)都有等差中項(xiàng)嗎？提示是2等差數(shù)列的性質(zhì)an是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)s，t，p,q滿足stpq，則asatapaq.特別地,當(dāng)pq2s(p，q，sn）時(shí)，apaq2as.對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1ana2an1akank1.思考2：在等差數(shù)列an中,2anan1an1（n2)成立嗎？2anankank（nk0）是否成立?提示令stn，pn1,qn1，可知2anan1an1成立;令stn，pnk，qnk,可知2anankank也成立拓展:(1）從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列（2）

3、若an是公差為d的等差數(shù)列，則can(c為任一常數(shù)）是公差為d的等差數(shù)列；can(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；anank(k為常數(shù)，kn)是公差為2d的等差數(shù)列(3)若an,bn分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列panqbn(p，q是常數(shù)）是公差為pd1qd2的等差數(shù)列（4)an的公差為d，則d0an為遞增數(shù)列；d0an為遞減數(shù)列；d0an為常數(shù)列1思考辨析(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“”）（1）等差數(shù)列an中，必有a10a1a9.()（2）若數(shù)列a1,a3，a5，和a2,a4，a6,都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2,a3，a4，是等差數(shù)列（）(3）若an是等差數(shù)列，則|an|

4、也是等差數(shù)列（)(4)若an是等差數(shù)列,則對(duì)任意nn都有2an1anan2.（）答案（1)（2)（3)（4）2在等差數(shù)列an中，若a35，a57，則a7()a1 b9 c1 d6b由題意可知a3a72a5，a72a5a31459，故選b.3在等差數(shù)列an中，已知a4a816,則a2a10(）a12 b16 c20 d24b在等差數(shù)列中，由性質(zhì)可得a2a10a4a816.417，13的等差中項(xiàng)為_(kāi)15設(shè)a為其等差中項(xiàng)，則a15。等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【例1】（1）在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列；(2）已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nn,p，q為常數(shù)）

5、，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求p，q的值解（1）1，a,b,c,7成等差數(shù)列，b是1與7的等差中項(xiàng)b3.又a是1與3的等差中項(xiàng)，a1。又c是3與7的等差中項(xiàng)，c5.該數(shù)列為1,1，3，5，7。(2）由x13,得2pq3，又x424p4q,x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q,即q1,將代入，得p1.所以pq1.三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b，可用來(lái)解決等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問(wèn)題.如若證an為等差數(shù)列，可證2an1anan2(nn).1已知a，b，則a，b的等差中項(xiàng)為（）a。 b。 c。 d。a因?yàn)閍b2,所以a，b的等差中項(xiàng)為。等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例2

6、】在公差為d的等差數(shù)列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534,a2a552，求d.思路點(diǎn)撥解答本題可以直接轉(zhuǎn)化為基本量的運(yùn)算，求出a1和d后再解決其他問(wèn)題，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解決解法一：(1)化成a1和d的方程如下:（a1d）（a12d）(a122d)(a123d）48，即4(a112d)48。4a1348。a1312。(2）化成a1和d的方程如下：解得或d3或3。法二：(1）根據(jù)已知條件a2a3a23a2448,及a2a24a3a232a13.得4a1348，a1312.（2）由a2a3a4a534，及a3a4a2a5得2（a2a5)34,

7、即a2a517。解得或d3或d3.1利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列關(guān)于a1和d的方程組，求出a1和d，進(jìn)而解決問(wèn)題是處理等差數(shù)列問(wèn)題的最基本方法2巧妙地利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程3通項(xiàng)公式的變形形式anam（nm）d（m，nn），它又可變形為d，應(yīng)注意把握,并學(xué)會(huì)應(yīng)用2設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列若a1b17，a3b321,則a5b5_。35法一:設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3b3(a12d1）（b12d2）（a1b1)2(d1d2）72（d1d2)21,所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2（d1d2)212735.法二:數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，數(shù)列anbn

8、也構(gòu)成等差數(shù)列，2（a3b3）(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.等差數(shù)列的設(shè)法與求解探究問(wèn)題1對(duì)于三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，某班同學(xué)給出了以下三種設(shè)法：(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a，b,c.（2）設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為d，則這三個(gè)數(shù)分別為a,ad，a2d。(3)設(shè)該數(shù)列的中間項(xiàng)為b，公差為d，則這三個(gè)數(shù)分別為bd，b，bd。那么，哪種方法在計(jì)算中可能更便捷一些？提示方法(3）可能更便捷一些2如果四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，如何設(shè)更方便運(yùn)算?提示可以設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a3d，ad,ad，a3d.【例3】已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為26，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個(gè)數(shù)解法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為

9、a,b，c,d，根據(jù)題意,得解得或這四個(gè)數(shù)分別為2,5，8，11或11,8，5，2.法二：設(shè)此等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d，根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)，得解得或這四個(gè)數(shù)分別為2,5，8，11或11，8，5，2。法三：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a3d，ad,ad，a3d，根據(jù)題意,得化簡(jiǎn)，得解得這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8，11或11,8，5,2。1當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項(xiàng)、公差有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，可直接設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，利用已知條件建立方程組求出a1和d，即可確定數(shù)列2當(dāng)已知數(shù)列有2n項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a（2n1）d,a3d，ad,ad,a3d，a（2n1)d，此時(shí)公差為2d.3當(dāng)已知數(shù)列有2n1項(xiàng)時(shí),可設(shè)為and,a（n

10、1)d，ad,a，ad，a（n1）d，and，此時(shí)公差為d.3三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)解設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為ad，a，ad,則解得這三個(gè)數(shù)為4,3，2。1若數(shù)列an滿足2anankank(n，kn，nk）an為等差數(shù)列2等差數(shù)列的性質(zhì):(1)在等差數(shù)列an中，當(dāng)mn時(shí)，d為公差公式,利用這個(gè)公式很容易求出公差，還可變形為anam(nm）d。(2)等差數(shù)列an中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列（3)等差數(shù)列an中,若mnpq,則amanapaq(n,m，p，qn），特別地，若mn2p,則aman2ap.3等差數(shù)列an中，首

11、項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題,如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成有關(guān)a1、d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量1在等差數(shù)列an中，a25，a633，則a3a5（)a36b37c38d39ca3a5a2a653338。2已知等差數(shù)列an,則使數(shù)列bn一定為等差數(shù)列的是（）abnanbbnacbndbna數(shù)列an是等差數(shù)列，an1and(常數(shù)）對(duì)于a：bn1bnanan1d,正確；對(duì)于b不一定正確,如ann，則bnan2，顯然不是等差數(shù)列;對(duì)于c，d：及不一定有意義，故選a。3若5，x,y，z,21成等差數(shù)列，則xyz_.395,x，y，z,21成等差數(shù)列，y是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng),5212y，y13，xz2y26,xyz39。4已知等差數(shù)列an中，a7a916,a41,則a12_。15在等差數(shù)列an中，由于a7a9a4a12，所以a12(a7a9)a416115。5在等差數(shù)列an中,已知a2a5a89，a3a5a721，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式解因?yàn)閍2a5a89，a3a5a721，a2a8a3a72a5，所以a53.法一：a3a72a56。所以a3a77。由解得a31,a77或a37,a71。當(dāng)a31時(shí)，d2;當(dāng)a37時(shí)，d2.由ana3（n3）d，得an2n7或an2n