高等數(shù)學(xué)第11-6

1、 一般說來一般說來,一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦 項(xiàng)項(xiàng),又含有余弦項(xiàng)又含有余弦項(xiàng).但是但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng). 的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為的的奇奇函函數(shù)數(shù), , 上上, ,是是 上上的的偶偶函函數(shù)數(shù), , ,是是 則則的的奇奇函函數(shù)數(shù), ,) )是是周周期期為為( (設(shè)設(shè) )( cos)( sin)(2 xf llx l n xfll x l n xflxf ,sin)( 1 n n l xn bxf 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù). . , ), 2 , 1 , 0(

2、cos)( 2 0 2 0 l nn ndx l xn xf l a,b lxf 有有周周期期的的偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,是是當(dāng)當(dāng)) )( ( ,cos 2 )( 1 0 n n l xn a a xf 余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù). . ,2100cos)( 1 ),(ndx l xn xf l a l l n 奇函數(shù)奇函數(shù) ,ndx l xn xf l b l n 0 )210(sin)( 2 ( (1 1) )當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 時(shí)時(shí), ,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 特別的特別的 ( (2 2) )當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的偶偶函函數(shù)數(shù))(

3、xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)( 2 ), 2 , 1 , 0(0 0 nnxdxxfb na n n ), 2 , 1(0 ), 2 , 1 , 0(cos)( 2 0 nb nnxdxxfa n n 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在 ), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為xxf )(,將將)(xf展開成展開成 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù). 解解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn),), 2, 1, 0()12( kkx 2

4、 )0()0( ff 收斂于收斂于 2 )( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn) 2 2 3 3 x y 0 ,2)()12(為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時(shí)時(shí) xfkx 和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 ), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0 sin)( 2 nxdxxfbn 0 sin 2 nxdxx 0 2 sincos 2 n nx n nxx n n cos 2 ,)1( 2 1 n n ), 2 , 1( n )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2)( xxxxf .sin )1( 2 1 1 n n nx n ),3,;( xx )5sin

5、 5 1 4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxxxxy xy 觀觀 察察 兩兩 函函 數(shù)數(shù) 圖圖 形形 例例 2 2 將將周周期期函函數(shù)數(shù)tEtusin)( 展展開開成成傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 其其中中E是是正正常常數(shù)數(shù). . 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個(gè)在整個(gè) 數(shù)軸上連續(xù)數(shù)軸上連續(xù). ,)( 為偶函數(shù)為偶函數(shù)tu , 0 n b 0 0 )( 2 dttua t )(tu 0 2 2 E 0 sin 2 tdtE, 4 E ), 2 , 1( n 0 cos)( 2 ntdttuan 0 cossin 2 ntdttE

6、 0 )1sin()1sin(dttntn E 12, 0 2, 1)2( 4 2 kn kn k E 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) ), 2 , 1( k 0 1 )1cos( 1 )1cos( n tn n tnE )1( n 01 cos)( 2 tdttua 0 cossin 2 tdttE, 0 )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 ( 4 )( ttt E tu )( t . 14 2cos 21 2 1 2 n n nxE 任意延拓任意延拓 . )(, 0)( 成成傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 展展開開將將上上有有定定義義僅僅在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xflxf ., 0 ,(

7、)( 上上即即可可展展開開式式在在區(qū)區(qū)間間 再再限限制制上上展展開開在在 按按前前節(jié)節(jié)所所講講方方法法，可可把把 l llxF , 0),( ),0 ,(),( )( ,()( lxxf lxxg xF llxf上上的的函函數(shù)數(shù)延延拓拓成成區(qū)區(qū)間間把把 g(x) x O ll y f(x) .0 ),( , 0 , 0 , 0),( )( lxxf x xlxf xF .0 ),( , 0 ),( )( lxxf xlxf xF x O ll y f(x) x O ll y f(x) . )(,0, ,(, ,0, 集集合合上上即即得得所所求求展展式式 的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)上上限限制制在在區(qū)區(qū)間間

8、再再把把余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 上上正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)或或者者把把函函數(shù)數(shù)展展成成或或者者偶偶延延拓拓 上上函函數(shù)數(shù)進(jìn)進(jìn)行行奇奇延延拓拓可可考考慮慮對(duì)對(duì)為為了了展展開開簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單 xflx ll l 偶延拓偶延拓 奇延奇延拓拓 g(x) g(x) ).( 2,0)( xF xf 函數(shù) 為周期的延拓成以上定義在設(shè) , 0)( 0)( )( xxg xxf xF令令 ),()2(xFxF 且且 特別地，特別地， 奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)( 00 0)( )( xxf x xxf xF則則 x y 0 的傅氏正弦級(jí)數(shù)的傅氏正弦級(jí)數(shù))(xf 1 sin)( n n nxbxf )0( x 偶延拓偶延

9、拓:)()(xfxg 0)( 0)( )( xxf xxf xF則則 的傅氏余弦級(jí)數(shù)的傅氏余弦級(jí)數(shù))(xf 1 0 cos 2 )( n n nxa a xf )0( x x y 0 例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)( xxxf分分別別展展開開成成 正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 解解 (1)(1)求正弦級(jí)數(shù)求正弦級(jí)數(shù). . ,)(進(jìn)行奇延拓進(jìn)行奇延拓對(duì)對(duì)xf 0 sin)( 2 nxdxxfbn 0 sin)1( 2 nxdxx )coscos1( 2 nn n , 6 , 4 , 2 2 , 5 , 3 , 1 22 n n n n 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 3sin)2( 3 1 2s

10、in 2 sin)2( 2 1 xxxx )0( x 5sin)2( 5 1 4sin 4 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 xxxxxy 1 xy (2)(2)求余弦級(jí)數(shù)求余弦級(jí)數(shù). . ,)(進(jìn)行偶延拓進(jìn)行偶延拓對(duì)對(duì)xf 0 0 )1( 2 dxxa, 2 0 cos)1( 2 nxdxxan )1(cos 2 2 n n , 5 , 3 , 1 4 , 6 , 4 , 20 2 n n n 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 1 2 1 22 xxxx )0( x 1 xy )7cos 7 1 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos

11、4 1 2 222 xxxxy 小小 結(jié)結(jié) 1、基本內(nèi)容、基本內(nèi)容: 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級(jí)數(shù)與余正弦級(jí)數(shù)與余 弦級(jí)數(shù)弦級(jí)數(shù);非周期函數(shù)的奇偶延拓非周期函數(shù)的奇偶延拓; 2、需澄清的幾個(gè)問題、需澄清的幾個(gè)問題.(誤認(rèn)為以下三情況正確誤認(rèn)為以下三情況正確) a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級(jí)數(shù)只有周期函數(shù)才能展成傅氏級(jí)數(shù); ;2, 0.的的傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)唯唯一一展展成成周周期期為為上上在在 b ).( ,. xf c 級(jí)數(shù)處處收斂于級(jí)數(shù)處處收斂于 值點(diǎn)時(shí)值點(diǎn)時(shí)上連續(xù)且只有有限個(gè)極上連續(xù)且只有有限個(gè)極在在 是是否否周周期期函函數(shù)數(shù)）（要要考考慮慮fff),()( ?

12、 思考題思考題 . ,)()(, ,)( 定義的函數(shù)定義的函數(shù) 上上成為成為才能使才能使 應(yīng)如何選擇應(yīng)如何選擇上定義的函數(shù)上定義的函數(shù)是在是在設(shè)設(shè) BAtftFBA baxf 思考題解答思考題解答 ,)(bBAaBA 應(yīng)使應(yīng)使 . 2 , 2 ab B ab A 即即 一、一、 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,它在它在), 上的表上的表 達(dá)式為達(dá)式為 x xx x xf 2 , 2 22 , 2 , 2 )(. . 二、二、 將函數(shù)將函數(shù))0(2)( 2 xxxf分別展開成正弦級(jí)數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù) 和余弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) . . 練習(xí)題練習(xí)題 三、三、 將以將以 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù) 2 )( x xf 在在),( 內(nèi)展開成內(nèi)展開成 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù), ,并求級(jí)數(shù)并求級(jí)數(shù) 0 1 12 1 )1( n n n 的和的和 . . 四、四、 證明證明: :當(dāng)當(dāng) x0時(shí)時(shí), , 1 22 2 624 cos n xx n nx . . 一、一、nx n nn xf