證明的必要性

1、教材的地位分析教材的地位分析 實(shí)驗(yàn)幾何實(shí)驗(yàn)幾何 實(shí)驗(yàn)向論證過渡實(shí)驗(yàn)向論證過渡 幾何證明幾何證明 實(shí)驗(yàn)與推理綜合運(yùn)用實(shí)驗(yàn)與推理綜合運(yùn)用 圖形的初步知識(shí)圖形的初步知識(shí) 七年級(jí)上七年級(jí)上 平行線、特殊三角形、平行線、特殊三角形、 直棱柱、圖形與坐標(biāo)直棱柱、圖形與坐標(biāo) 三角形的初步知識(shí)、圖形和變換三角形的初步知識(shí)、圖形和變換 命題與證明、平行四邊形、命題與證明、平行四邊形、 特殊平行四邊形與梯形特殊平行四邊形與梯形 圓的基本性質(zhì)、相似三角形、圓的基本性質(zhì)、相似三角形、 投影與三視圖、解直角三角形投影與三視圖、解直角三角形 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 七年級(jí)下七年級(jí)下 八年級(jí)上

2、八年級(jí)上 八年級(jí)下八年級(jí)下 九年級(jí)上九年級(jí)上 九年級(jí)下九年級(jí)下 數(shù)學(xué)( 北師大.七年級(jí) 下冊(cè) ) 一、教材內(nèi)容一、教材內(nèi)容 l4.1 4.1 定義與證明定義與證明 l4.2 4.2 證明證明 l閱讀材料（一元二次方程的發(fā)展）閱讀材料（一元二次方程的發(fā)展） l4.34.3反例與證明反例與證明 l4.44.4反證法反證法 與老教材比較：與老教材比較： （1）加強(qiáng)定義與命題的區(qū)別）加強(qiáng)定義與命題的區(qū)別 （2）突出反例與證明的關(guān)系）突出反例與證明的關(guān)系 （3）反證法教材內(nèi)容變化較大）反證法教材內(nèi)容變化較大 二、參考的教學(xué)建議二、參考的教學(xué)建議 1、 使學(xué)生經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會(huì)證明的必要性。

3、使學(xué)生經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會(huì)證明的必要性。 2、注重對(duì)證明思路的啟發(fā)，提倡證明方法的多樣性。注重對(duì)證明思路的啟發(fā)，提倡證明方法的多樣性。 3、要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法。要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法。 4、注意數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的啟發(fā)。、注意數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的啟發(fā)。 5、依據(jù)、依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基本要求，把握好證明的難易程和教材的基本要求，把握好證明的難易程 度。度。 在實(shí)驗(yàn)幾何中，我們讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)和歸納得出在實(shí)驗(yàn)幾何中，我們讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)和歸納得出 結(jié)論。而本章則要設(shè)置一些如課本結(jié)論。而本章

4、則要設(shè)置一些如課本4、2中的中的合作學(xué)習(xí)合作學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受，使學(xué)生感受 到憑實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納得出的結(jié)論不一定正確，從而讓學(xué)生理解證到憑實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納得出的結(jié)論不一定正確，從而讓學(xué)生理解證 明的必要性。明的必要性。 1、 使學(xué)生經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會(huì)使學(xué)生經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會(huì) 證明的必要性。證明的必要性。 在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們已經(jīng)歷了探索、并發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們已經(jīng)歷了探索、并發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過 程，但沒有給予嚴(yán)格的證明。在教學(xué)中，應(yīng)把證明作為探索活動(dòng)的程，但沒有給予嚴(yán)格的證明。在教學(xué)中，應(yīng)把證明作為探索活動(dòng)的 自然延續(xù)和必要發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，

5、根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)自然延續(xù)和必要發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié) 果，運(yùn)用歸納、類比的方法首先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，這將果，運(yùn)用歸納、類比的方法首先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，這將 有利于學(xué)生全面地理解證明。有利于學(xué)生全面地理解證明。 注意：在強(qiáng)調(diào)證明的必要性時(shí)，不要注意：在強(qiáng)調(diào)證明的必要性時(shí)，不要否定實(shí)驗(yàn)、歸納否定實(shí)驗(yàn)、歸納的重要的重要 性。在數(shù)學(xué)上，要判斷一個(gè)命題是否正確，需要經(jīng)過證明，但要性。在數(shù)學(xué)上，要判斷一個(gè)命題是否正確，需要經(jīng)過證明，但要 發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理，實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納始終是一條重要的途徑發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理，實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納始終是一條重要的途徑。 觀察下圖，先猜想結(jié)論，在動(dòng)

6、手驗(yàn)證：觀察下圖，先猜想結(jié)論，在動(dòng)手驗(yàn)證： 一組直線一組直線a，b，c，d是否都相互平行？是否都相互平行？ a d c b 2、注重對(duì)證明思路的啟發(fā)，提倡證明方法的 多樣性。 探索證明的思路與方法是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的重點(diǎn)探索證明的思路與方法是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的重點(diǎn) 教師在教學(xué)中應(yīng)注意在證明思路和方法上對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，幫教師在教學(xué)中應(yīng)注意在證明思路和方法上對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，幫 助學(xué)生分析輔助線的添加、輔助圖形的構(gòu)造。在這個(gè)過程中，原助學(xué)生分析輔助線的添加、輔助圖形的構(gòu)造。在這個(gè)過程中，原 來在進(jìn)行圖形的折疊、拼擺等探索圖形性質(zhì)時(shí)所使用的方法對(duì)證來在進(jìn)行圖形的折疊、拼擺等探索圖形性質(zhì)時(shí)所使用的方法對(duì)證 明的思路

7、也是很重要的，教師應(yīng)注意引導(dǎo)啟發(fā)。明的思路也是很重要的，教師應(yīng)注意引導(dǎo)啟發(fā)。 很多圖形性質(zhì)及很多圖形性質(zhì)及 結(jié)論的證明的方法和途徑是不唯一的，輔助線的添加方法也是多結(jié)論的證明的方法和途徑是不唯一的，輔助線的添加方法也是多 樣的。因此，教師在教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生探索證明的不同方法，樣的。因此，教師在教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生探索證明的不同方法， 提倡證明方法的多樣性，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中比較證明提倡證明方法的多樣性，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中比較證明 方法的異同，提高邏輯思維水平。方法的異同，提高邏輯思維水平。 如：例如：例3 求證：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于求證：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。 改為合

8、作學(xué)習(xí)：用多種方法證明：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于改為合作學(xué)習(xí)：用多種方法證明：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180 A B C 3、要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法。要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法。 在本章中，命題證明是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，因此教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)在本章中，命題證明是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，因此教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué) 生掌握推理證明的基本要求生掌握推理證明的基本要求（明確前提和結(jié)論、畫出圖形、能夠用（明確前提和結(jié)論、畫出圖形、能夠用 數(shù)學(xué)的符號(hào)語言正確表達(dá)；明確每一步推理的依據(jù)并能準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的符號(hào)語言正確表達(dá)；明確每一步推理的依據(jù)并能準(zhǔn)確地表達(dá) 推理的過程）推理的過程） 教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生著重分析證明的思路

9、和方法，通過一教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生著重分析證明的思路和方法，通過一 定數(shù)量的推理證明的訓(xùn)練，逐步使學(xué)生掌握證明方法和思路。定數(shù)量的推理證明的訓(xùn)練，逐步使學(xué)生掌握證明方法和思路。 注意：與圖形性質(zhì)的探索一樣，在命題的證明的教學(xué)中，教師注意：與圖形性質(zhì)的探索一樣，在命題的證明的教學(xué)中，教師 也要為學(xué)生對(duì)證明思路和方法的思考留有充分空間，同時(shí)還要注意也要為學(xué)生對(duì)證明思路和方法的思考留有充分空間，同時(shí)還要注意 學(xué)生的個(gè)體差異，對(duì)學(xué)習(xí)證明有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo)。學(xué)生的個(gè)體差異，對(duì)學(xué)習(xí)證明有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo)。 4、注意數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透以及對(duì)學(xué)生、注意數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透以及對(duì)

10、學(xué)生 學(xué)習(xí)方法的啟發(fā)。學(xué)習(xí)方法的啟發(fā)。 在命題的探索和證明過程中，蘊(yùn)涵著一些數(shù)學(xué)思想方在命題的探索和證明過程中，蘊(yùn)涵著一些數(shù)學(xué)思想方 法，法，如由特殊到一般的歸納思想方法、類比的思想方法、如由特殊到一般的歸納思想方法、類比的思想方法、 轉(zhuǎn)化的思想方法、反證法的思想方法、分析法的思想方法轉(zhuǎn)化的思想方法、反證法的思想方法、分析法的思想方法 等，教學(xué)中應(yīng)注重這些思想方法的強(qiáng)化和滲透，并運(yùn)用在等，教學(xué)中應(yīng)注重這些思想方法的強(qiáng)化和滲透，并運(yùn)用在 問題的解決過程中。同時(shí)，注意培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、邏輯問題的解決過程中。同時(shí)，注意培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、邏輯 思維等能力。思維等能力。 例：如圖，例：如圖，AD是是AB

11、C的高，的高，E是是AD上一點(diǎn)，若上一點(diǎn)，若 AD=BD，DE=DC求證：求證：BED=C D A B C E 分析：（分析：（1）執(zhí)因索果（）執(zhí)因索果（2）執(zhí)果索因）執(zhí)果索因 （1）執(zhí)果索因其實(shí)就是分析法，）執(zhí)果索因其實(shí)就是分析法， 它是一種重要的逆向思維的思考它是一種重要的逆向思維的思考 方法，它對(duì)于尋求證明途徑往往方法，它對(duì)于尋求證明途徑往往 非常有效非常有效 （2）對(duì)于復(fù)雜的問題，往往要把）對(duì)于復(fù)雜的問題，往往要把 兩種思維方式結(jié)合起來，從已知兩種思維方式結(jié)合起來，從已知 出發(fā)得到什么，從求證出發(fā)你需出發(fā)得到什么，從求證出發(fā)你需 要什么，從而溝通已知與未知的要什么，從而溝通已知與未知的

12、 聯(lián)系聯(lián)系 5、依據(jù)、依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基本要求，把握和教材的基本要求，把握 好證明的難易程度。好證明的難易程度。 對(duì)證明的基本方法掌握和過程的體驗(yàn)，需要對(duì)對(duì)證明的基本方法掌握和過程的體驗(yàn)，需要對(duì) 一定數(shù)量的命題的證明來實(shí)現(xiàn)，但是教學(xué)中要注意避免一一定數(shù)量的命題的證明來實(shí)現(xiàn)，但是教學(xué)中要注意避免一 味的追求所證命題的數(shù)量、證明的技巧，應(yīng)依據(jù)教材中的味的追求所證命題的數(shù)量、證明的技巧，應(yīng)依據(jù)教材中的 基本要求，控制好所證命題的難度。基本要求，控制好所證命題的難度。 數(shù)學(xué)( 北師大.七年級(jí) 下冊(cè) ) 一、教材地位一、教材地位 本章主要內(nèi)容有多邊形、平行四邊形、中心對(duì)稱、本章主要內(nèi)容有

13、多邊形、平行四邊形、中心對(duì)稱、 三角形的中位線、逆命題和逆定理。它是在學(xué)生小學(xué)三角形的中位線、逆命題和逆定理。它是在學(xué)生小學(xué) 學(xué)過的平行四邊形知識(shí)的基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的整理和探學(xué)過的平行四邊形知識(shí)的基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的整理和探 究，也是平行線和三角形知識(shí)的應(yīng)用和深化究，也是平行線和三角形知識(shí)的應(yīng)用和深化;是學(xué)習(xí)矩是學(xué)習(xí)矩 形、菱形、正方形的必備知識(shí)，是證明線段相等、角形、菱形、正方形的必備知識(shí)，是證明線段相等、角 相等，兩直線平行的重要依據(jù)。另外，通過本章的學(xué)相等，兩直線平行的重要依據(jù)。另外，通過本章的學(xué) 習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“類比、化歸類比、化歸”等方法，主動(dòng)探求等方法，主動(dòng)探求 新知識(shí)

14、的能力，滲透新知識(shí)的能力，滲透“幾何來源于實(shí)踐而又反過來服幾何來源于實(shí)踐而又反過來服 務(wù)于實(shí)踐務(wù)于實(shí)踐”的辯證唯物主義思想，以及數(shù)學(xué)內(nèi)容中相的辯證唯物主義思想，以及數(shù)學(xué)內(nèi)容中相 互運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)。互運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)。 二、教學(xué)內(nèi)容二、教學(xué)內(nèi)容 平行四邊形平行四邊形 四邊形四邊形 平行四邊形平行四邊形 多邊形多邊形 中心對(duì)稱中心對(duì)稱 平行四邊平行四邊 形的性質(zhì)形的性質(zhì) 平行四邊形平行四邊形 的判定的判定 中心對(duì)稱的性質(zhì)中心對(duì)稱的性質(zhì) 多邊形的內(nèi)角和與外角和多邊形的內(nèi)角和與外角和 1 1、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖如下、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖如下: : 正多邊形正多邊形

15、正多邊形的鑲嵌正多邊形的鑲嵌 三角形中 位線定理 逆命題與逆定理逆命題與逆定理 三、新舊教材對(duì)比三、新舊教材對(duì)比 （1）增加多邊形內(nèi)角和、外角和定理）增加多邊形內(nèi)角和、外角和定理 （2）增加平面圖形的密鋪）增加平面圖形的密鋪 （3）注重平行四邊形定義、性質(zhì)、判定等知識(shí)的生成過程）注重平行四邊形定義、性質(zhì)、判定等知識(shí)的生成過程 （4）平行四邊形的性質(zhì)）平行四邊形的性質(zhì) 中心對(duì)稱中心對(duì)稱 平行四邊形的判定平行四邊形的判定 三角形的中位線三角形的中位線 （5）平行四邊形獨(dú)立成章，突出平行四邊形承前啟后的作用）平行四邊形獨(dú)立成章，突出平行四邊形承前啟后的作用 四、教學(xué)說明及建議四、教學(xué)說明及建議 利用

16、師生互動(dòng)，探索新知，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)利用師生互動(dòng)，探索新知，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā) 生過程，獲得一些基本概念生過程，獲得一些基本概念. 通過學(xué)生動(dòng)手操作和主動(dòng)參與，讓他們?cè)谟^察、操作、通過學(xué)生動(dòng)手操作和主動(dòng)參與，讓他們?cè)谟^察、操作、 想像、交流等活動(dòng)中認(rèn)識(shí)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判想像、交流等活動(dòng)中認(rèn)識(shí)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判 定。定。 體現(xiàn)探索過程和思維方式的多樣性體現(xiàn)探索過程和思維方式的多樣性 -經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，進(jìn)經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，進(jìn) 一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)、主動(dòng)探究的習(xí)慣。一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)、主動(dòng)探究的習(xí)慣。 落實(shí)探索和交流落實(shí)探索和

17、交流 -經(jīng)歷探索多邊形鑲嵌條件的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)經(jīng)歷探索多邊形鑲嵌條件的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué) 生的合情推理能力、合作交流意識(shí)和一定的審美情趣生的合情推理能力、合作交流意識(shí)和一定的審美情趣 ，進(jìn)一步體會(huì)平面圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用性和，進(jìn)一步體會(huì)平面圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用性和 普遍存在性普遍存在性 。 任意畫一個(gè)任意畫一個(gè)ABC,以其中一條邊以其中一條邊AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O為旋為旋 轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針按逆時(shí)針(或順時(shí)針或順時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)180,所得的所得的 像像CDA與原像與原像ABC組成四邊形組成四邊形ABCD (1)找出圖中相等的角找出圖中相等的角; (2)你認(rèn)為四邊形你認(rèn)為

18、四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的兩組對(duì)邊AD與與BC,AB與與 CD有什么關(guān)系有什么關(guān)系?請(qǐng)說出你的理由請(qǐng)說出你的理由; (3)四邊形四邊形ABCD是什么四邊形是什么四邊形? A B C D O 兩組對(duì)邊分別平行的四兩組對(duì)邊分別平行的四 邊形叫做平行四邊形邊形叫做平行四邊形 B= D, BAC= DCA, ACB= CAD AD BC,AB CD 平行四邊形的定義平行四邊形的定義 1.如圖如圖1,點(diǎn)點(diǎn)O是等邊三角形是等邊三角形ABC的兩條高的交點(diǎn)的兩條高的交點(diǎn),以以O(shè) 為旋轉(zhuǎn)中心為旋轉(zhuǎn)中心,把等邊三角形把等邊三角形ABC按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180, 作出所得的像作出所得的像. 2.點(diǎn)點(diǎn)O是是 A

19、BCD的對(duì)角線的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)的交點(diǎn)(如圖如圖),以以O(shè) 為旋轉(zhuǎn)中心為旋轉(zhuǎn)中心,把把 ABCD按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180,作出所得作出所得 的像的像. AB C O O A B CD 如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180,所得到的所得到的 圖形和原來的圖形互相重合圖形和原來的圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫做那么這個(gè)圖形叫做 中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫對(duì)稱中心這個(gè)點(diǎn)叫對(duì)稱中心. 像與原像不重合像與原像不重合 像與原像重合像與原像重合 中心對(duì)稱圖形的定義中心對(duì)稱圖形的定義 C 任意畫一個(gè)任意畫一個(gè)ABC,以其中一條邊以其中一條邊AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心為

20、旋轉(zhuǎn)中心,按按 逆時(shí)針逆時(shí)針(或順時(shí)針或順時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)180,所得的像所得的像CDA與原像與原像 ABC組成四邊形組成四邊形ABCD (1)找出圖中相等的角找出圖中相等的角; (2)你認(rèn)為四邊形你認(rèn)為四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的兩組對(duì)邊AD與與BC,AB與與CD有什么有什么 關(guān)系關(guān)系?請(qǐng)說出你的理由請(qǐng)說出你的理由; (3)四邊形四邊形ABCD是什么四邊形是什么四邊形? A B D O 兩組對(duì)邊分別平行的四兩組對(duì)邊分別平行的四 邊形叫做平行四邊形邊形叫做平行四邊形 平行四邊形的對(duì)角相等平行四邊形的對(duì)角相等 平行四邊形的兩組對(duì)邊平行平行四邊形的兩組對(duì)邊平行 平行四邊形的兩組對(duì)邊相等平行四邊

21、形的兩組對(duì)邊相等推論 推論 夾在兩條平行線間的平行線相等夾在兩條平行線間的平行線相等 夾在兩條平行線的垂線段相等夾在兩條平行線的垂線段相等 平行四邊形的對(duì)角線互相平分平行四邊形的對(duì)角線互相平分 -通過操作性活動(dòng)探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)，通過操作性活動(dòng)探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)， 發(fā)展學(xué)生探究意識(shí)和合作交流的習(xí)慣。發(fā)展學(xué)生探究意識(shí)和合作交流的習(xí)慣。 B= D, BAC= DCA, ACB= CAD AD BC,AB CD 在過程中關(guān)注推理在過程中關(guān)注推理 -在分析平行四邊形判定條件的過程中，發(fā)展學(xué)生的合在分析平行四邊形判定條件的過程中，發(fā)展學(xué)生的合 情推理意識(shí)、主動(dòng)探究的習(xí)慣情推理意識(shí)、主

22、動(dòng)探究的習(xí)慣, -關(guān)注說理的基本方法。關(guān)注說理的基本方法。 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形 是平行四邊形是平行四邊形 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形 是平行四邊形是平行四邊形 剪一刀剪一刀,將一張三角形紙片剪成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰瑢⒁粡埲切渭埰舫梢粡埲切渭埰鸵粡執(zhí)菪渭埰?(1)如果要求剪得的兩張紙片能拼成平行四邊形如果要求剪得的兩張紙片能拼成平行四邊形,剪痕的位置有什剪痕的位置有什 么要求么要求? (2)要把所剪得的兩個(gè)圖形拼成一個(gè)平行四邊形要把所剪得的兩個(gè)圖形拼成一個(gè)平行四邊形,可將其中的三角可將其中的三角 形作怎樣的圖形變換形作怎樣的

23、圖形變換? A B C D E A BC D E F 三角形的中位線平行于第三邊三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半并且等于第三邊的一半 在一張紙上任意畫一個(gè)四邊形在一張紙上任意畫一個(gè)四邊形,剪下它的四個(gè)角剪下它的四個(gè)角,把它把它 們拼在一起們拼在一起(四個(gè)角的頂點(diǎn)重合四個(gè)角的頂點(diǎn)重合),你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么?其他其他 同學(xué)與你的發(fā)現(xiàn)相同嗎同學(xué)與你的發(fā)現(xiàn)相同嗎?你能把你的發(fā)現(xiàn)概括成一個(gè)你能把你的發(fā)現(xiàn)概括成一個(gè) 命題嗎命題嗎? 四邊形的內(nèi)角和等于四邊形的內(nèi)角和等于360 邊數(shù) 圖形 從某頂點(diǎn)出發(fā) 的對(duì)角線條數(shù) 劃分成的三 角形個(gè)數(shù) 多邊形的內(nèi) 角和 3 0 11180 4 1 2

24、2180 5 6 n 下面我們來探索任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的規(guī)律下面我們來探索任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的規(guī)律.請(qǐng)?zhí)顚懴抡?qǐng)?zhí)顚懴?表表: 你從表中得到了什么結(jié)論你從表中得到了什么結(jié)論? n邊形的內(nèi)角和為(n-2) 180(n3) 分別用若干個(gè)正三角形、正方形、正五邊分別用若干個(gè)正三角形、正方形、正五邊 形、正六邊形的紙片，在一張桌面上嘗試鑲形、正六邊形的紙片，在一張桌面上嘗試鑲 嵌平面。你發(fā)現(xiàn)這幾種正多邊形哪些能單獨(dú)嵌平面。你發(fā)現(xiàn)這幾種正多邊形哪些能單獨(dú) 鑲嵌平面，哪些不能？你能說明其中的原因鑲嵌平面，哪些不能？你能說明其中的原因 嗎？嗎？ 你注意到地磚的形狀大多你注意到地磚的形狀

25、大多 是幾邊形嗎？有沒是幾邊形嗎？有沒 有正五邊形地磚？你知道為什么嗎？有正五邊形地磚？你知道為什么嗎？ 1 2 3 4 1 2 3 正方形為什么能鑲嵌？正方形為什么能鑲嵌？ 啊!拼不了啦, 為什么呢?你 能說說道理 嗎? 1 2 3 1+2+3=? 正五邊形可以密鋪嗎？ 正六邊形可以密鋪嗎？ 鑲嵌的條件： 平面圖形能否密鋪，關(guān)鍵看 每個(gè)拼接點(diǎn)處的幾個(gè)內(nèi)角的和能否組合成 360。 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 用形狀、大小完全相同的任意三角形可 以密鋪嗎？ 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3

26、2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形狀、大小完全相同的任意四邊形可 以密鋪嗎？ 結(jié)論：用形狀、大小完全相同的一結(jié)論：用形狀、大小完全相同的一 種平面圖形能夠進(jìn)行密鋪的有：任種平面圖形能夠進(jìn)行密鋪的有：任 意三角形、任意四邊形、正六邊形。意三角形、任意四邊形、正六邊形。 正五邊形不能密鋪。正五邊形不能密鋪。 解：設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有解：設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有x個(gè)正四邊形，個(gè)正四邊形，y個(gè)正八邊形，則個(gè)正八邊形，則 x90+y135=360 即即2x+3y=8 這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解為：這個(gè)方程

27、的非負(fù)整數(shù)解為： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =1 y 2 =0 所以用正四邊形和正八邊形做平面密鋪有兩種可能：所以用正四邊形和正八邊形做平面密鋪有兩種可能： （1）在它的一個(gè)頂點(diǎn)周圍）在它的一個(gè)頂點(diǎn)周圍1個(gè)正四邊形配個(gè)正四邊形配2個(gè)正八邊形；個(gè)正八邊形； （2）在它的一個(gè)頂點(diǎn)周圍都用正四邊形。）在它的一個(gè)頂點(diǎn)周圍都用正四邊形。 例：用邊長相同的正四邊形和正八邊形做平面密鋪，例：用邊長相同的正四邊形和正八邊形做平面密鋪， 有幾種可能？為什么？有幾種可能？為什么？ 點(diǎn)撥：用幾種不同邊數(shù)的正多邊形鑲嵌，在重合的頂點(diǎn)處點(diǎn)撥：用幾種不同邊數(shù)的正多邊形鑲嵌，在重合的頂點(diǎn)處 正多邊形的內(nèi)角之和等于

28、正多邊形的內(nèi)角之和等于360；本題得到一個(gè)關(guān)邊數(shù)；本題得到一個(gè)關(guān)邊數(shù)x，y的的 不定方程，然后求它的整數(shù)解不定方程，然后求它的整數(shù)解 數(shù)學(xué)( 北師大.七年級(jí) 下冊(cè) ) 特特 殊殊 平平 行行 四四 邊邊 形形 與與 梯梯 形形 要求加強(qiáng)方面要求加強(qiáng)方面要求降要求降 低方面低方面 矩形、菱形、正方形有關(guān)性質(zhì)矩形、菱形、正方形有關(guān)性質(zhì) 的探索的探索 論論 證證 的的 技技 巧巧 四邊形是矩形、菱形、正方形四邊形是矩形、菱形、正方形 條件的探索條件的探索 梯形、等腰梯形有關(guān)性質(zhì)的探梯形、等腰梯形有關(guān)性質(zhì)的探 索索 新增探索并了解線段、矩形、新增探索并了解線段、矩形、 平行四邊形、三角形的重心及平行四

29、邊形、三角形的重心及 物理意義（如一根均勻木棒、物理意義（如一根均勻木棒、 一塊均勻的矩形木板的重心）一塊均勻的矩形木板的重心） 與 老 教與 老 教 材教學(xué)內(nèi)容材教學(xué)內(nèi)容 相比知識(shí)更相比知識(shí)更 具探索性，具探索性， 更加重視讓更加重視讓 學(xué)生親歷知學(xué)生親歷知 識(shí)的形成過識(shí)的形成過 程。程。 二、教學(xué)建議二、教學(xué)建議 1、重視學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作、探究問題結(jié)論能力的培養(yǎng)、重視學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作、探究問題結(jié)論能力的培養(yǎng) 3、提倡學(xué)生探索證明思路和不同的證明方法，關(guān)注、提倡學(xué)生探索證明思路和不同的證明方法，關(guān)注 命題的拓展、引申和問題解決的多樣化。并重視數(shù)學(xué)命題的拓展、引申和問題解決的多樣化。并重視數(shù)學(xué)

30、 思想在教學(xué)中的滲透思想在教學(xué)中的滲透 2、重視對(duì)證明思路的適當(dāng)啟發(fā)，不要把現(xiàn)成的證、重視對(duì)證明思路的適當(dāng)啟發(fā)，不要把現(xiàn)成的證 明思路教給學(xué)生明思路教給學(xué)生 探索用六根火柴擺平行四邊形，在解決問題的過程中使學(xué)探索用六根火柴擺平行四邊形，在解決問題的過程中使學(xué) 生逐步形成矩形的概念與性質(zhì)，再通過推理證明使學(xué)生明生逐步形成矩形的概念與性質(zhì)，再通過推理證明使學(xué)生明 白數(shù)學(xué)的科學(xué)嚴(yán)密性，同時(shí)進(jìn)一步提高推理演繹的能力。白數(shù)學(xué)的科學(xué)嚴(yán)密性，同時(shí)進(jìn)一步提高推理演繹的能力。 建議在教學(xué)中，給學(xué)生充分時(shí)間進(jìn)行動(dòng)手操作，小組建議在教學(xué)中，給學(xué)生充分時(shí)間進(jìn)行動(dòng)手操作，小組 討論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論討論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論. 八上是以實(shí)

31、驗(yàn)的方法得出。建議命題的證八上是以實(shí)驗(yàn)的方法得出。建議命題的證 明教師要幫助學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，寫明教師要幫助學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，寫 出已知與求證，提示線段倍分的證題思路，出已知與求證，提示線段倍分的證題思路， 盡量不要把現(xiàn)成的證題方法直接教給學(xué)生。盡量不要把現(xiàn)成的證題方法直接教給學(xué)生。 E “直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半” A BC D E E 例例1 1的教學(xué)可讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師提示輔助線的的教學(xué)可讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師提示輔助線的 添法，添法，讓學(xué)生讓學(xué)生 把自己的方法在課堂中展示把自己的方法在課堂中展示 對(duì)于課內(nèi)練習(xí)對(duì)于課內(nèi)練習(xí)3（第（第146頁）可拓展為探究活動(dòng)：頁）可拓展為探究活動(dòng)： （1）求證：依次連接正方形各邊中點(diǎn)所成的四邊形）求證：依次連接正方形各邊中點(diǎn)所成的四邊形 是正方形。是正方形。 （2）依次連接菱形或矩形各邊中點(diǎn)能得到一個(gè)什么）依次連接菱形或矩形各邊中點(diǎn)能得到一個(gè)什么 圖形先畫一畫，再證明。圖形先畫一畫，再證明。 （3）依次連接平行四邊形各邊