高中數(shù)學(xué)案例：捕捉節(jié)外生枝激發(fā)課堂靈氣——《余弦定理》教學(xué)有感

1、捕捉節(jié)外生枝，激發(fā)課堂靈氣 余弦定理教學(xué)有感常言道：“教學(xué)有法，教無定法”。教師在每節(jié)課上課前都會對本節(jié)課內(nèi)容預(yù)先作一精心設(shè)計(jì)，但課堂教學(xué)實(shí)際上是師生之間的一種數(shù)學(xué)思想和文化的交流，課堂上往往會碰撞出很多思想的火花，出現(xiàn)一些“節(jié)外生枝”的突發(fā)事件。處理這些突如其來的事件吧，原來的教學(xué)計(jì)劃可能就會受到影響；不處理吧，又怕打擊學(xué)生的積極性，不利于學(xué)生自主探索精神的培養(yǎng)，同時可能也會失去一次鍛煉學(xué)生思維的好機(jī)會，這些與新課程的理念又是相違背的。特別是對于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不豐富的年輕教師而言，這是一種兩難。下面借自己在本學(xué)期初剛上過的一堂課余弦定理的實(shí)錄片段談?wù)勛约旱母邢?。一、探究定理招來?jié)外生枝課堂實(shí)錄（片

2、段）：師：（開門見山）上節(jié)課我們學(xué)了正弦定理，正弦定理可解決哪幾類解三角形問題？生：（齊聲）兩角一邊。 師：還有呢？ 生：（齊聲）兩邊一角。 師：（在黑板上畫出一個abc，如圖）已知邊b、c，那這個角是a、b、c中任意一個？生：不是。b、c可以，a不可以。師：這說明正弦定理不是萬能的。那如果知道邊b、c以及夾角a，該如何求邊a呢？生：（探究）稍作思考，突然有個平時學(xué)習(xí)態(tài)度很認(rèn)真的同學(xué)女a(chǎn)喊道：“向量”。當(dāng)時我心想：這不正是書上的推導(dǎo)方法嗎？既然她已說出向量，那我順?biāo)浦壑v下去就可以了。師：怎么想到向量的？生（女a(chǎn)）：線段bc長度就是向量的模。師：求模通常用什么方法？生（女a(chǎn)）：平方，| |2=

3、2 。師：這里有哪幾個向量是已知的？生（女a(chǎn)）：、。師：接下來怎么辦？生（女a(chǎn)）：把未知的向量用已知的向量、表示。師：很好！接下來請同學(xué)們自己完成求解過程。（女a(chǎn)，板書）板書完成后，我適當(dāng)?shù)刈隽它c(diǎn)評，并提出：“求邊a，同學(xué)們還有不同方法嗎？”我的本意是想讓同學(xué)們能想到上學(xué)期學(xué)過的兩點(diǎn)距離公式。誰知這時，突然有個平時成績不是很好的男同學(xué)b冒出了一句：“過點(diǎn)b作ac的垂線?！蓖蝗婚g，站在講臺上的我有點(diǎn)懵了，這種方法不在我的預(yù)設(shè)當(dāng)中，在各類參考書上也沒有見過，它能行嗎？于是我追問道：“作垂線怎么解？能解？”誰知生b也沒有考慮好，這只不過是他的直覺。（我要不要按他的想法試一試呢？他的想法行得通?就算行

4、得通，計(jì)算量大?會不會影響到本節(jié)課教學(xué)任務(wù)的完成?是讓學(xué)生下課自己去完成還是現(xiàn)在講？）二、積極回應(yīng)枝上開花既然學(xué)生提出了自己的想法,我決定試一試.師：給同學(xué)們一點(diǎn)時間，看看b的方法能解嗎？（趁機(jī)與學(xué)生們一起思考）（學(xué)生探究，過了一會兒部分學(xué)生得出答案）師：求線段長度往往把它放到什么圖形中去求？生：直角三角形。師：這里沒有直角三角形，所以必須先構(gòu)造，也就是作垂線，要求bc，必須先求哪兩條？生：是bd和cd。師：bd怎么求？生：bd放在rtabd中bd=csina.師：那cd呢？生：求cd先轉(zhuǎn)化成求ad。ad=ccosa由勾股定理得bd2 +dc2 =bc2 即c2sin2a+b2-2bccosa

5、+ c2cos2a=a2生：（豁然開朗，全班情緒高漲） a2=b2+c2-2bccosa 接下來我又用原來準(zhǔn)備好的兩點(diǎn)距離公式對問題進(jìn)行了求解，得出了同樣的結(jié)論。當(dāng)問題得到解決后，不等于教學(xué)就此結(jié)束。于是我引導(dǎo)學(xué)生對以上三種方法進(jìn)行了反思，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)。（探究成功，教學(xué)有序進(jìn)入下一環(huán)節(jié)）三、深入反思花謝果現(xiàn)我們都知道課堂教學(xué)是一個有目的、有計(jì)劃的活動，教師必須在課前對自己的教學(xué)有一清晰、理性的思考和安排，這是無可非議的。但實(shí)際上課堂上可能發(fā)生的一切，不是由教師單方面決定的，不可能都在備課時預(yù)料到，我們都有過這樣體會：課堂上經(jīng)常會發(fā)生一些意料之外的、有意義的或無意義的，重要的或不重要的新情況、新

6、思維、新方法。特別是當(dāng)學(xué)生的主動性被充分調(diào)動的時候，實(shí)際的教學(xué)過程遠(yuǎn)遠(yuǎn)比預(yù)料的要豐富的多。這是因?yàn)槊鎸ν粏栴}，不同的學(xué)生由于知識結(jié)構(gòu)、思維方式及經(jīng)驗(yàn)的不同，就會進(jìn)行不同的思考。而一旦學(xué)生認(rèn)知的介入，整個教學(xué)進(jìn)程就常會偏離原來預(yù)定的方向。但事實(shí)上，學(xué)生的這種節(jié)外生枝，靈機(jī)一動，很有可能就是一個新的珍貴的課堂教學(xué)資源。在本課中，生a、生b具備的解題經(jīng)驗(yàn)是不同的，生a對向量的方法理解比較到位，但生b提出的傳統(tǒng)方法也很不錯，而且從某種程度上講更自然，更直接。兩種方法都很寶貴。通過“節(jié)外生枝”，學(xué)生獲得了解幾何題的兩大方法：傳統(tǒng)法和向量法，就達(dá)到了“枝上開花”的目的。那么既然課堂教學(xué)存在這么多的不確定

7、性，我們是否就可以在預(yù)設(shè)上少花功夫呢？答案當(dāng)然是否定的。因?yàn)橐霃膶W(xué)生提出的突發(fā)事件中發(fā)現(xiàn)新思維、新方法，一個重要的前提條件就是對本節(jié)課的內(nèi)容有深入的了解，在此基礎(chǔ)上，還要對新方法有靈敏的感知性。要想做到以上兩點(diǎn)，我想應(yīng)該從以下幾方面進(jìn)行努力：首先，教師要更加加強(qiáng)課前教學(xué)設(shè)計(jì)的研究力度。1.要充分考慮學(xué)生的主體地位。我們教學(xué)的對象是學(xué)生，那么在設(shè)計(jì)時應(yīng)考慮不同的學(xué)生會有哪些不同的思考，設(shè)想出他們可能出現(xiàn)的思維走向，超前預(yù)估以便提前制定出有針對性的教學(xué)方案。在本課中，很遺憾本人沒事先充分預(yù)設(shè)學(xué)生的解法。一般來說，教師的解題能力高于學(xué)生，這樣的話往往一開始就能從正確的思路出發(fā)，沿正確的途徑去解，這

8、種“順利流暢”往往掩蓋了很多曲折與失誤。這就要求教師在進(jìn)行解題設(shè)計(jì)時，應(yīng)“稚化”自己的思維，通過“心理換位”，既要預(yù)設(shè)正確的解法，又要預(yù)設(shè)錯誤的解法，使解題設(shè)計(jì)更貼近學(xué)生的實(shí)際，這樣才能更有利于學(xué)生個體知識的建構(gòu)與生成。2.要充分預(yù)設(shè)定理和公式的探索過程。一個定理或公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程往往是復(fù)雜、豐富的，其中可能包含大量的直覺、猜想、類比等思維方法。而教材不可能把問題的求解全過程展示出來，因此在教學(xué)時，我們應(yīng)該把這一空白填補(bǔ)起來，充分暴露問題的探究過程。其次，要有“動態(tài)生成”意識。有了教學(xué)設(shè)計(jì)上的“精雕細(xì)琢”，在很大程度上提高了教學(xué)效率。但在課堂教學(xué)活動中涌現(xiàn)出意想不到的信息時，教師就不能機(jī)械地按原計(jì)劃強(qiáng)行實(shí)施，而應(yīng)該隨著課堂信息的整理、分析、反思而不斷進(jìn)行演變，并根據(jù)學(xué)生具體情況適當(dāng)調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)，動態(tài)生成學(xué)習(xí)內(nèi)容。比如在本節(jié)課中，我根據(jù)學(xué)生提出的新想法，適時調(diào)整教學(xué)進(jìn)程，以學(xué)定教，對余弦定理的推導(dǎo)采用了比較傳統(tǒng)的方法，而不是拘泥于原先預(yù)設(shè)的向量方法，這樣通過兩方面探究，學(xué)生既學(xué)會了用向量進(jìn)行推導(dǎo)的新方法，也復(fù)習(xí)了原來比較傳統(tǒng)的推導(dǎo)方法，課堂動態(tài)生成教學(xué)，使整個課