理論力學(xué)_第六章_變質(zhì)量動力學(xué)

1、第六章第六章 變質(zhì)量動力學(xué)變質(zhì)量動力學(xué) 6 61 1 變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程 1.1.變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程 質(zhì)點系在瞬時質(zhì)點系在瞬時t t的動量為的動量為 11 dpmvm v 質(zhì)點系在瞬時質(zhì)點系在瞬時t t+d+dt t的動量為的動量為 2 (d )(d )pmm vv 根據(jù)動量定理根據(jù)動量定理 (e) 21 ddpppFt (e) 1 (d )(d )(d)dmm vvmvm vFt 將上式展開得將上式展開得 (e) 1 ddddddm vm vmvm vFt 略去高階微量略去高階微量ddmv 并以并以d dt t除各項除各項得得 (e

2、) 1 ddd ddd vmm mvvF ttt 或或 (e) 1 dd () dd vm mvvF tt 式中式中 是微小質(zhì)量是微小質(zhì)量dm在并入前在并入前, , )( 1 對于質(zhì)點對于質(zhì)點m得相對速度得相對速度 r 令令d d m Fv t r (e) d d v mFF t 變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程 反推力反推力 2.2.常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律 （1 1）質(zhì)量按線性規(guī)律變化）質(zhì)量按線性規(guī)律變化 1)1 ( 0 ttmm， 由由 知知 0 d d m t m 其反推力為其反推力為 r0r d d m Fvmv t （2 2）質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化）

3、質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化 t mm e 0 由由 知知 t m t m e d d 0 其反推力為其反推力為 r0r d e d t m Fvmv t r F av m 單級火箭。單級火箭。 設(shè)火箭在真空中運動且不受任何外力作用，其噴射出的設(shè)火箭在真空中運動且不受任何外力作用，其噴射出的 氣體相對于速度氣體相對于速度 的大小不變，方向與火箭運動方向相反，的大小不變，方向與火箭運動方向相反， 此問題稱此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題。齊奧爾科夫斯基第一類問題。 r 例例 6 61 1 變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程，在運動方向上的投影為變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程，在運動方向上的投影為 t m t m r d

4、d d d 或或 m m r d d （a a） 設(shè)初始時刻設(shè)初始時刻t=0時時 0 0 mm 將式（將式（a a）積分得）積分得 m m r 0 0 ln（b b） 設(shè)火箭燃燒終了時質(zhì)量為設(shè)火箭燃燒終了時質(zhì)量為 f m速度為速度為v令令 f 0 m m N 質(zhì)量比質(zhì)量比 有些資料取有些資料取 為質(zhì)量比為質(zhì)量比 0f /mmN 令令 r lnvvN f 火箭的特征速度火箭的特征速度 它代表這一級火箭在初始速度它代表這一級火箭在初始速度 的基礎(chǔ)上所能增加的速度的基礎(chǔ)上所能增加的速度 0 r / 0 vv m N m f f e齊奧爾科夫斯基公式齊奧爾科夫斯基公式 它表明在它表明在 已知時，已知時

5、， r 0 欲使火箭達到特征速度欲使火箭達到特征速度 所應(yīng)具備的質(zhì)量比所應(yīng)具備的質(zhì)量比 運動微分方程在鉛直方向上的投影為運動微分方程在鉛直方向上的投影為 r vm mmgv tt dd dd 設(shè)初始時刻設(shè)初始時刻t t=0=0時時 0 vv 0 mm 且且 為常量為常量 r v 0 0r ln m vvgtv m 如果火箭在真空中且處于均勻重力場內(nèi)沿鉛直方向向上如果火箭在真空中且處于均勻重力場內(nèi)沿鉛直方向向上 運動，稱為運動，稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題齊奧爾科夫斯基第二類問題。 6 62 2 變質(zhì)量質(zhì)點的運動學(xué)普遍定理變質(zhì)量質(zhì)點的運動學(xué)普遍定理 1.1.變質(zhì)量質(zhì)點的動量定理變質(zhì)量質(zhì)點的動量定

6、理 dd()dd dddd pmvmv vm tttt r ddd ddd pmm vFv ttt d d m Fv t r (e) d d v mFF t 記并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度為記并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度為 1 v 即即 1r vvv 1 dd dd pm Fv tt 記記 a1 d d m Fv t 稱稱 為由于為由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力 a F a dd () dd p mvFF tt 變質(zhì)量質(zhì)點動量定理的微分形式變質(zhì)量質(zhì)點動量定理的微分形式 變質(zhì)量質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)，變質(zhì)量質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用其上

7、的外等于作用其上的外 力與由于并入（或放出），質(zhì)量的絕對速度而引起的反推力與由于并入（或放出），質(zhì)量的絕對速度而引起的反推 力的矢量和。力的矢量和。 設(shè)設(shè)t=0時質(zhì)點質(zhì)量為時質(zhì)點質(zhì)量為 0 m速度為速度為 0 得得 0 00a1 000 dddd tttm m mvm vF tFtF tv m 變質(zhì)量質(zhì)點動量定理的積分形式變質(zhì)量質(zhì)點動量定理的積分形式 如果并入或放出質(zhì)量的絕對速度如果并入或放出質(zhì)量的絕對速度0 1 d () d mvF t a dd () dd p mvFF tt 0 0 0 d t mvm vF t 顯然顯然即使即使0F v 也不是常量也不是常量 0 0 /vm vm 2.2

8、.變質(zhì)量質(zhì)點的動量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點的動量矩定理 變質(zhì)量質(zhì)點對任一點變質(zhì)量質(zhì)點對任一點O 的動量矩為的動量矩為 O Lrmv 式中式中 為從點為從點O 指向該質(zhì)點的矢徑指向該質(zhì)點的矢徑r 點點O 為定點為定點 ddddd ()()() ddddd O Lr rmvmvrmvrmv ttttt a dd () dd p mvFF tt a d d FrFr t LO 變質(zhì)量質(zhì)點的動量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點的動量矩定理 變質(zhì)量質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，變質(zhì)量質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作等于作 用于質(zhì)點上外力的合力對該點之矩與由于并入（或放出）用于質(zhì)點上外力的合力對該點之矩與由于并入（或

9、放出） 質(zhì)量的絕對速度引起的反推力對該點力矩的矢量和。質(zhì)量的絕對速度引起的反推力對該點力矩的矢量和。 3.3.變質(zhì)量質(zhì)點的動能定理變質(zhì)量質(zhì)點的動能定理 1 ddd ddd vmm mvFv ttt a dd () dd p mvFF tt 將上式各項點乘將上式各項點乘r d得得 1 ddddmvvmv vFrmv v 由于由于 2 2 1 dd()d 22 v mvvmvm 22 1 11 d()dd()d 22 mvvmFrv vm 或或 22 a 11 d()ddd 22 mvvmFrFr 變質(zhì)量質(zhì)點的動能定理變質(zhì)量質(zhì)點的動能定理 變質(zhì)量質(zhì)點動能的微分與放出（或并入）的元質(zhì)量由于變質(zhì)量質(zhì)點

10、動能的微分與放出（或并入）的元質(zhì)量由于其其 牽連速度而具有的動能的代數(shù)和等于作用于質(zhì)點上外力合力的牽連速度而具有的動能的代數(shù)和等于作用于質(zhì)點上外力合力的 元功與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力所作元功與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力所作 的元功之和。的元功之和。 2 1r v vvv v 22 r 11 d()ddd 22 dd mvvmFrv v m FrFr 變質(zhì)量質(zhì)點動能的微分與并入（或放出）的元質(zhì)量變質(zhì)量質(zhì)點動能的微分與并入（或放出）的元質(zhì)量由于牽連由于牽連 運動而具有的動能之差，等于作用于質(zhì)點上外力的合力與反推力運動而具有的動能之差，等于作用于質(zhì)點上外力的合

11、力與反推力 所作的元功之和。所作的元功之和。 例例 6 62 2 已知：圖為傳送砂子的裝置，砂子從漏斗鉛直流下，以速度已知：圖為傳送砂子的裝置，砂子從漏斗鉛直流下，以速度 流下傾角為流下傾角為的傳送帶上并沿斜面下滑的傳送帶上并沿斜面下滑l長度然后流出斜長度然后流出斜 面，設(shè)砂子以流量面，設(shè)砂子以流量q= =常數(shù)（常數(shù)（kg/s）從大漏斗中流下，斜面）從大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流動，其質(zhì)量保持不變，不計摩擦。上砂子是定常流動，其質(zhì)量保持不變，不計摩擦。 1 v 求：若使砂子在斜面上的速度求：若使砂子在斜面上的速度 為常數(shù)，傾角應(yīng)為多少？為常數(shù)，傾角應(yīng)為多少？v 解：解： 研究傳送帶上的砂

12、子研究傳送帶上的砂子 22 1122 d()ddd()d() 22 mvv mFrm v vm vv 式中式中 為漏斗流入到傳送帶上的砂子質(zhì)量元為漏斗流入到傳送帶上的砂子質(zhì)量元 1 dm 2 dm為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元 2 v 為為 流出時的絕對速度流出時的絕對速度 2 dm有有 2 2 mv 常數(shù)常數(shù)q t m t m d d d d 21 2 vv 0ddd 21 mmm 2 1 0sinddsindmgsq t v vq tv m qv l 或或 l mq v 因此有因此有 2 1 d sinsin0 d ls qgqv vqv vt 即即 2 1 ()

13、sinvlgv v 得得 2 1 arcsin()/lgv vv 例例 6 64 4 求：在如下兩種情況下，當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時求：在如下兩種情況下，當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時 留在桌面上的小方塊的速度。留在桌面上的小方塊的速度。 （1 1）忽略桌面上的摩擦力）忽略桌面上的摩擦力 （2 2）桌面與小方塊間的動滑動摩擦因數(shù)為）桌面與小方塊間的動滑動摩擦因數(shù)為f 已知：總質(zhì)量為已知：總質(zhì)量為 ，總長度為，總長度為l的一排方塊放在如圖所示水的一排方塊放在如圖所示水 平面上，設(shè)小方塊長度極短，數(shù)量很多，相鄰的小方平面上，設(shè)小方塊長度極短，數(shù)量很多，相鄰的小方 塊互相接觸而不連接，初始靜止，小方塊最外端在桌塊互相接觸而不連接，初始靜止，小方塊最外端在桌 邊，如圖加一水平的常力邊，如圖加一水平的常力 。 0 m F 解：解： 研究仍在桌面上的一群小方塊研究仍在桌面上的一群小方塊 小方塊離開桌面瞬時小方塊離開桌面瞬時 r 0v 選坐標(biāo)選坐標(biāo)Ox （1 1）由于）由于 r 0v 且無摩擦且無摩擦 將動量定理式投影到軸將動量定理式投影到軸Ox上，上，有有 d()d dd mvm vF tt 式中式中 l m t x l m t m x l m m 000 d d , d d ， 化簡后分離變量得化簡