數學分析曲線積分

1、數學分析曲線積分 17.3 17.3 Green (I)(I) （George Green，17931841） 數學分析曲線積分 一、一、 Green公式及簡單應用公式及簡單應用 二、二、 曲線積分與路徑無關性曲線積分與路徑無關性 三、三、 二元函數的全微分求積二元函數的全微分求積 主主 要要 內內 容容 數學分析曲線積分 一、一、 Green公式及簡單應用公式及簡單應用 復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域 區(qū)區(qū)域域連連通通性性的的分分類類 . 1 , 為平面區(qū)域為平面區(qū)域設設 D內內任任一一閉閉曲曲線線如如果果 D , D所圍成的部分都屬于所圍成的部分都屬于為平面單連為平面單連則稱則稱

2、 D ;通區(qū)域通區(qū)域.否則稱為復連通區(qū)域否則稱為復連通區(qū)域 D D 數學分析曲線積分 公公式式Green . 2 定理定理1 1 則有則有 L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 公公式式 Green 函數函數 數學分析曲線積分 注：注：的的正正方方向向的的邊邊界界曲曲線線LD ,當當人人沿沿邊邊界界行行走走時時.)(的左側的左側他他總在她總在她區(qū)域區(qū)域D 負方向負方向 ? 右側右側 D D 數學分析曲線積分 L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 待證表達式待證表達式 L D Qdydxdy x Q L D Pdxdxdy y P 等價于證明等價于證明 型區(qū)域型區(qū)域y

3、型區(qū)域型區(qū)域x 分析：分析： 證明依賴于區(qū)域的形狀證明依賴于區(qū)域的形狀 單連通單連通 復復連連通通 型型又又既既yx 一般區(qū)域一般區(qū)域 數學分析曲線積分 ox y D a b )( 1 xy )( 2 xy c d )( 2 yx )( 1 yx A B C E 證明證明: : ),()(),( 21 bxaxyxyxD ),()(),( 21 dycyxyyxD 數學分析曲線積分 o x y D c d )( 2 yx )( 1 yx A B C E D dxdy x Q d c d c dyyyQdyyyQ),(),( 12 CAECBE dyyxQdyyxQ),(),( EACCBE d

4、yyxQdyyxQ),(),( L dyyxQ),( dx x Q dy y y d c )( )( 2 1 同理可證同理可證 L D dxyxPdxdy y P ),( 兩式相加得兩式相加得 L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 數學分析曲線積分 L D 1 D 2 D3 D 321 )()( DDDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q 型型型型又又是是分分成成三三個個既既是是用用光光滑滑曲曲線線將將 yxD ., 321 DDD的區(qū)域的區(qū)域 數學分析曲線積分 L D 1 L 2 L 3 L 1 D 2 D3 D 321 )()()( DDD dxdy y P

5、 x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q 321 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx L QdyPdx 數學分析曲線積分 G F C E 3 L 2 L 1 L A B , 2 BALABD的的邊邊界界線線由由則則 CGAEC及及 , 3 LCEAFC .構成構成 D dxdy y P x Q )( CEAFCBALAB 2 CGAECL QdyPdx)( 3 , 2 知知由由 數學分析曲線積分 L QdyPdx 231 )( LLL QdyPdx . L D QdyPdxdxdy QP yx :便于記憶的形式便于記憶的形式 數學分析曲線積分 D 簡簡單單應應用用

6、 . 3 x y o L A B BOABOAL L D xdydxdy BOABOA xdyxdyxdy . 4 1 2 rdxdyxdy D AB 簡簡化化曲曲線線積積分分 )1( 數學分析曲線積分 1987年考研試卷一，一年考研試卷一，一(4) 18 L xx dyaxyedxyxbyeI)cos()(sin( 3 求求例例 ).00(2)0 ,2( 2 ，到到沿沿曲曲線線從從點點其其中中OxaxyaAL .)4()22( , 9 2 2 22 L dyxxdxyxyI yxL 求求 取正向的圓周取正向的圓周設設例例 1999年考研試卷一，四年考研試卷一，四 數學分析曲線積分 解解 數學

7、分析曲線積分 x y o L D . 0 22 L yx ydxxdy L 1 D r l y x o 數學分析曲線積分 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 2222 x y o r 1 D l L 0 2222 lL yx ydxxdy yx ydxxdy .2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) d r rr 2 2222 sincos 2 0 所以所以 數學分析曲線積分 . , )1( ,)01(, 4 5 22 取取逆逆時時針針方方向向為為半半徑徑的的圓圓周周 為為中中心心，是是以以點點其其中中計計算算例例 RR L yx ydxxdy L 解解. )0 , 0(),(

8、 , )4( 4 222 22 yx x Q yx xy y P ,4: 222 ayxlL 內內取取一一小小橢橢圓圓在在 2000年考研試卷一、五年考研試卷一、五 .方方向向為為逆逆時時針針方方向向并并取取l 數學分析曲線積分 lL yx ydxxdy yx ydxxdy I 2222 44 l ydxxdy a 2 1 222 4 2 2 1 ayx dxdy a :公公式式知知由由Green . 數學分析曲線積分 Green公式應用技巧公式應用技巧: : , )(內無奇點內無奇點Di 則則所所圍圍區(qū)區(qū)域域為為是是封封閉閉曲曲線線如如, , . 1DL ;直直接接用用 , )(內內有有奇奇

9、點點Dii ;挖挖掉掉再再用用 , . 2是是非非封封閉閉曲曲線線如如L.先先補補再再用用 不閉則補，出奇則挖不閉則補，出奇則挖 數學分析曲線積分 計算二重積分計算二重積分 )2( x y o A B 1 1 D BOABOA y D y dyxedxdye 22 1 0 22 dxxedyxe x OA y ).1( 2 1 1 e 數學分析曲線積分 計計算算平平面面面面積積 )3( 格林公式格林公式 LD yQxPyx y P x Q dddd 推論推論: : 正向閉曲線正向閉曲線L L所圍區(qū)域所圍區(qū)域D D的面積的面積 ,dd 2 1 L xyyxA, L xdyA. L ydxA 例如

10、例如, , 橢圓橢圓 20, sin cos : by ax L所圍面積所圍面積. L xyyxAdd 2 1 ab 數學分析曲線積分 解解 L ydxxdyA 2 1 AMOONA ydxxdyydxxdy 2 1 2 1 )0 ,(aA N M AMO ydxxdy 2 1 . 6 1 4 2 0 adxx a a 數學分析曲線積分 L l 例例8 為平面上封閉曲線為平面上封閉曲線, 為任意方向向量為任意方向向量， 0),cos( L dsnln L 則則 的外法線方向。的外法線方向。 為為 ( , )la b (cos( , ),cos( , )nn xn y L (cos( , ),c

11、os( , )( cos( , ),cos( , )t xt yn xn y 證明：設證明：設 ， 的切線方向的切線方向 2222 cos( , )cos( , )cos( , ) LL ab l n dsn xn y ds abab 22222222 cos( , )cos( , ) 0 LL abab t yt x dsdydx abababab = 數學分析曲線積分 G uv uv dxdydsnn uv uv 例例 (coscos)(coscos) uv uuvv dsvudsnn xyxy uv (coscos)(coscos) ()cos()cos ()cos( , )()cos(

12、 , ) uuvv vuds xyxy uvvv vuvuds xxyy uvvv vut yvut x ds xxyy 證明：證明： = 數學分析曲線積分 ()() ()() D uvuv vudxvudy yyxx uvuv vuvudxdy xxxyyy 2222 2222 D v uuu vvv uuu vv vuvudxdy x xxx xxy yyy yy () DG uv v uu v dxdyd uv 數學分析曲線積分 ),(yxuD D 0 (0,0)D 22 xy D xuyu dxdy xy D 2222 11 (0,0) 22 xy DD xuyu xdyydx uudxdy xyxy 例例7 7：設：設 在分段光滑閉曲線在分段光滑閉曲線 圍成的有界閉區(qū)域圍成的有界閉區(qū)域 上連續(xù)一階偏導數上連續(xù)一階偏導數 在在 上可積證明上可積證明 222 ( , )Dx y xy DDD 設設 ， 證明證明： 222222 2222 22 DDD D D xdyydxuxuy udxdy xyyxyxxy uxuy dxdy yxyxxy xuxyuy dxdy xy = 數學分析曲線積分 2 sin 0 222 2sin * , sin() 2cos, sin x y D ucon