傾斜角與斜率 2

1、 對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l,它的位置由 哪些條件確定? x y O l 思考思考 我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線. . 一點(diǎn)一點(diǎn)能確定一條直線的位置嗎？已知直線能確定一條直線的位置嗎？已知直線l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P，直線，直線l 的位置能夠確定嗎？的位置能夠確定嗎？ y x o l 過一點(diǎn)有無數(shù)條直線，故一點(diǎn)不能確定直線。過一點(diǎn)有無數(shù)條直線，故一點(diǎn)不能確定直線。 思考思考 45 1 L P y ox 2 L o 45Px問 題 2： 過 點(diǎn)與 軸 成的 直 線 有 幾 條 ？ . 45 思考思考 45 1 L P y ox . 的直線有幾條？軸正向成與過點(diǎn) 45xP

2、思考思考 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 與與x軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，軸作為基準(zhǔn)， x軸正向軸正向與與直線直線 l 向上方向向上方向之間所成的角之間所成的角 叫做叫做直直 線線 l 的傾斜角的傾斜角（angle of inclination） x y O l 當(dāng)直線當(dāng)直線l與與x軸平行或重合軸平行或重合 時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為 . 0 p o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 按傾斜角分類，直線可分幾類？按傾斜角分類，直線可分幾類？ 范圍范圍: 1800 a 45 135 1 L P y ox 2 L . 45 我們把 和 角就

3、叫做直線 與 的傾斜角。傾斜角。45 135 2 L 1 L O y x O y x y x O y x 0 l l l l O 思考思考 只知道直線的傾斜角只知道直線的傾斜角，不能確定一，不能確定一 條直線的位置。條直線的位置。 已知直線上的一個(gè)點(diǎn)不能確定一條已知直線上的一個(gè)點(diǎn)不能確定一條 直線的位置，那已知直線的直線的位置，那已知直線的傾斜角傾斜角， 能不能確定一條直線的位置？能不能確定一條直線的位置？ x y O 思考思考 45 1 L P y ox . 的直線軸正向成與過點(diǎn) 45xP 思考思考 確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾 何要素是：何要素是

4、： 直線上的一個(gè)直線上的一個(gè)定點(diǎn)定點(diǎn)以及它的以及它的傾斜角傾斜角， 二者二者 缺一不可缺一不可 x y O l P 日常生活中，還有沒有表示日常生活中，還有沒有表示 傾斜程度的量？傾斜程度的量？ 前進(jìn)量前進(jìn)量 升升 高高 量量 前進(jìn)量前進(jìn)量 升高量升高量 坡度（比）坡度（比） （即傾斜角（即傾斜角 的的正切值正切值） 思考思考 tank 一條直線的傾斜角一條直線的傾斜角的的正切值正切值叫做這條叫做這條直直 線的斜率線的斜率（slope）。通常用小寫字母通常用小寫字母k表示，表示， 即即 如果使用如果使用“傾斜角傾斜角”這個(gè)概念，那么這這個(gè)概念，那么這 里的里的“坡度（比）坡度（比）”實(shí)際就是實(shí)

5、際就是“傾斜角傾斜角的的 正切正切” y x o l 直線的斜率直線的斜率 一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線直線 的斜率的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即 tan k )90( 如:傾斜角=45時(shí),直線的斜率k=tan45 =1; 傾斜角=135時(shí),直線的斜率k=tan135 =1. 直線的斜率直線的斜率 tan)180tan( 補(bǔ)充： )180,90()90,0 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 銳角a 三角函數(shù) 304560 sin a cos a tan a 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 3 2 3 3 1

6、時(shí)， 2 a a k O 2 2 3 2 tan k 0a0k 2 0 a 0k a 2 0k k不存在 k ), 2 () 2 , 0 ),(k 傾斜角為銳角時(shí)傾斜角為銳角時(shí), ,k k0;0; 傾斜角為鈍角時(shí)傾斜角為鈍角時(shí), ,k k0;0; 傾斜角為傾斜角為0 0時(shí)時(shí), ,k k=0.=0. 傾斜角為直角時(shí)傾斜角為直角時(shí), ,k k不存在不存在 當(dāng)當(dāng)00,90,90) )時(shí)時(shí), ,斜率越大斜率越大, ,傾斜角越大傾斜角越大; ; 當(dāng)當(dāng)(90(90,180,180) )時(shí)時(shí), ,斜率越大斜率越大, ,傾斜角越大傾斜角越大. . 判斷正誤：判斷正誤： 任一條直線都有傾斜角，所以任一條直線都有

7、任一條直線都有傾斜角，所以任一條直線都有 斜率斜率. （ ） 直線的傾斜角為直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則直線的斜率為 （ ） tan 直線的傾斜角越大直線的傾斜角越大, ,則直線的斜率越大則直線的斜率越大 ( ( ) ) 兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等 ( ( ) ) 平行于平行于x軸的直線的傾斜角是軸的直線的傾斜角是 ( ( ) )或0 直線的斜率的范圍是直線的斜率的范圍是 （ ） ),( 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 對對 練習(xí)練習(xí):已知直線的傾斜角已知直線的傾斜角,求直線的斜率：求直線的斜率： 301a 3 3 30tan k 452a

8、145tan k 603a360tan k 1505a 1204a tan120 tan(18060 )tan603 k tan150 3 tan(18030 )tan30 3 k 想一想想一想 我們知道，兩點(diǎn)也可以唯一確定一條直線。我們知道，兩點(diǎn)也可以唯一確定一條直線。 問題：問題： 如果知道直線上的如果知道直線上的兩點(diǎn)兩點(diǎn)，怎么樣，怎么樣 來求直線的斜率來求直線的斜率( (傾斜角傾斜角) )呢？呢？ ),( 111 yxP ),( 222 yxP 2121 12 , , yyxx QPP 且 如圖，當(dāng)為銳角時(shí)， x y o 1 x2 x 1 y 2 y ),( 12 yxQ 中在QPPRt

9、 12 QP QP QPPk 1 2 12 tantan 12 12 xx yy 0 銳角 探究新知探究新知 ：由兩點(diǎn)確定的直線的斜率由兩點(diǎn)確定的直線的斜率 能不能構(gòu)造能不能構(gòu)造 一個(gè)直角三一個(gè)直角三 角形去求？角形去求？ tank x y o ),( 111 yxP ),( 222 yxP ),( 12 yxQ 如圖，當(dāng)為鈍角時(shí)， 2121 , ,180 yyxx 且 tan )180tan(tan 中在 12QP PRt QP QP 1 2 tan 21 12 xx yy 12 12 21 12 tan xx yy xx yy k 0 2 x 1 x 1 y 2 y 鈍角 x y o (3

10、) ),( 21 yxQ ),( 111 yxP ),( 222 yxP y ox (4) ),( 21 yxQ ),( 111 yxP ),( 222 yxP 21 pp 當(dāng) 的位置對調(diào)時(shí)， 值又如何呢? k 想一想想一想? ? 21 21 tan yy xx 。 同樣，當(dāng)同樣，當(dāng) 的方向向上時(shí)，也有的方向向上時(shí)，也有 21p p 經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn) 的直的直 線的斜率公式為：線的斜率公式為： )x)(xy,(xP),y,(xP 21222111 .tan 12 12 xx yy 直線的斜率公式直線的斜率公式 當(dāng)直線當(dāng)直線 與與 x x軸平行或重合時(shí)，軸平行或重合時(shí)， 上述式子還成立嗎？為什么

11、？上述式子還成立嗎？為什么？ 21p p 成立，因?yàn)榉肿訛槌闪?，因?yàn)榉肿訛?， 分母不為分母不為0，K=0。 x y o ),( 111 yxP),( 222 yxP 1 x 2 x 12 12 xx yy k 當(dāng)直線平行于當(dāng)直線平行于y軸，或與軸，或與y軸重合時(shí)，軸重合時(shí)， 上述公式還適用嗎？為什么？上述公式還適用嗎？為什么？ x y o ),( 111 yxP ),( 222 yxP 1 y 2 y 12 12 xx yy k 不存在 不存在 k )(90tan,90 答：斜率不存在答：斜率不存在, 因?yàn)榉帜笧橐驗(yàn)榉帜笧?。 例例1 如圖如圖,已知已知A(3,2),B(4,1),C(0,1

12、),求直線求直線AB,BC,CA 的斜率的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角. 解解:直線AB的斜率 ; 7 1 34 21 AB k ; 2 1 4 2 )4(0 11 BC k 直線BC的斜率 直線CA的斜率; 1 3 3 30 21 CA k 由 及 知,直線AB 與CA的傾斜角均為銳角; 由 知,直線BC的傾斜角為鈍角. 0 AB k0 CA k 0 BC k 例例2 在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分 別為別為1，-1，2及及-3的直線的直線 及及 321 ,lll 4 l , 0 0 1 1

13、1 x y 即即. 11 yx 解解：?。喝?上某一點(diǎn)為上某一點(diǎn)為 的的 坐標(biāo)是坐標(biāo)是 ，根據(jù)斜率公式，根據(jù)斜率公式 有有: 1 l ),( 11 yx 1 A 設(shè)設(shè) ，則，則 ，于是，于是 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 過過 原點(diǎn)及原點(diǎn)及 的直線即為的直線即為 1 1 x1 1 y 1 A)1 , 1( )1 , 1( 1 A 1 l x y 1 A 3 A 2 A 4 A 1 l 3 l 2 l 4 l 是過原點(diǎn)及是過原點(diǎn)及 的直線，的直線， 是過原點(diǎn)及是過原點(diǎn)及 的直線，的直線， 是過原點(diǎn)及是過原點(diǎn)及 的直線的直線 2 l),( 222 yxA ),( 333 yxA ),( 444 yxA 3 l 4