2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版必修5年級(jí)：姓名：2.1.2 余弦定理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)(20分鐘35分)1.設(shè)abc中內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a+c=2b,3sin b=5sin a,則c=()a.b.c.d.【解析】選b.因?yàn)?sin b=5sin a,所以由正弦定理可得3b=5a,所以a=b.因?yàn)閍+c=2b,所以c=,所以cos c=-,因?yàn)閏(0,),所以c=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在abc中,sin2a-sin2c-sin2b=sin

2、csin b,則a等于()a.60b.45c.120d.30【解析】選c.由正弦定理得a2-c2-b2=bc,結(jié)合余弦定理得cos a=-,又a(0,),所以a=120.2.在abc中,角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列結(jié)論不正確的是()a.a2=b2+c2-2bccos ab.asin b=bsin ac.a=bcos c+c cos bd.acos b+bcos a=sin c【解析】選d.選項(xiàng)a,是余弦定理,所以該選項(xiàng)正確;選項(xiàng)b,實(shí)際上是正弦定理=的變形,所以該選項(xiàng)是正確的;選項(xiàng)c,由于sin a=sin(b+c),所以sin a=sin bcos c+cos bsin c,所

3、以a=bcos c+ccos b,所以該選項(xiàng)正確;選項(xiàng)d,acos b+bcos a=2r(sin acos b+sin bcos a)=2rsin c(r為abc的外接圓半徑),不一定等于sin c,所以該項(xiàng)是錯(cuò)誤的.3.在abc中,a,b,c為角a,b,c的對(duì)邊,且b2=ac,則b的取值范圍是()a.b.c.d.【解析】選a.cos b=+,因?yàn)?b,所以b.4.已知在abc中,ab=7,bc=5,ca=6,則=.【解析】在abc中,分別用a,b,c表示邊bc,ca,ab,則=cacos b=ca=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.答案:195.已知銳角三角形的邊長分別為1

4、,3,a,則a的范圍是.【解析】只需讓3和a所對(duì)的邊均為銳角即可.故解得2a.答案:2a6.在abc中,若ccos b=bcos c,cos a=.(1)求sin b的值.(2)若b=2,求a.【解析】方法一:(1)由ccos b=bcos c,結(jié)合正弦定理得sin ccos b=sin bcos c,故sin(b-c)=0,因?yàn)?b,0c,所以-b-c,所以b-c=0,b=c,故b=c.因?yàn)閏os a=,所以由余弦定理得3a2=2b2,再由余弦定理得cos b=,故sin b=.(2)由(1)知b=c=2,所以a2=b2+c2-2bccos a=4+4-222=,則a=.方法二:(1)由余弦

5、定理和ccos b=bcos c得c=b,化簡得b=c,cos a=,故3a2=2b2,即a=b,又由cos a=,知sin a=,由正弦定理得sin b=.(2)因?yàn)閏os a=,所以sin a=,由正弦定理得a=.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在abc中,a,b,c分別是角a,b,c的對(duì)邊,且cos2=,則abc是()a.直角三角形b.等腰三角形或直角三角形c.等邊三角形d.等腰直角三角形【解析】選a.因?yàn)閏os2=及2cos2-1=cos a,所以cos a=,即=,所以a2+b2=c2,則abc是直角三角形.2.已知abc的內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,

6、c,且a=2,=,則a=()a.b.c.d.【解析】選b.因?yàn)?,所以由正弦定理得=,化簡得b2+c2-a2=bc,所以cos a=.又因?yàn)?a0,所以sin b-cos b=0,即tan b=,解得b=,由余弦定理得b2=a2+c2-2acosb=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3b2,即4b2=(a+c)2,解得=2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在abc中,a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c.若c=b,cos b=cos c,a=,則sabc=.【解析】因?yàn)閏os b=cos c,所以=,結(jié)合c=b,化簡得a=b,從而有b2+c2=a2,即abc為直角三角形

7、,將c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以sabc=bc=.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c.若a2=b2+c2,則的值為.【解析】因?yàn)閍2=b2+c2,所以b2=a2-c2.所以cos b=.所以=.答案:7.在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=3,b=4,c=6,則bccos a+accos b+abcos c的值是.【解析】因?yàn)閏os a=,所以bccos a=(b2+c2-a2).同理accos b=(a2+c2-b2),abcos c=(a2+b2-c2),所以bccos a+accos b+abcos c=(a2

8、+b2+c2)=.答案:8.若abc為鈍角三角形,三邊長分別為2,3,x,則x的取值范圍是.【解析】若x3,則x所對(duì)角的余弦值x,解得x5.若x3,則3所對(duì)角的余弦值3,解得1x.故x的取值范圍是(1,)(,5).答案:(1,)(,5)三、解答題(每小題10分,共20分)9.在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(a+b)(a-b)=c(c-b).(1)求角a的大小;(2)若a=bcos c,c=2,求abc的面積s.【解析】(1)由a2-b2=c2-bc,可得cos a=,又a(0,),所以a=.(2)由正弦定理得sin a=sin(b+c)=sin bcos c,即cos b

9、sin c=0.因?yàn)閟in c0,故cos b=0,所以b=,又c=2,所以a=2,所以s=2.10.(2020全國卷)abc中,sin2a-sin2b-sin2c=sin bsin c.(1)求a;(2)若bc=3,求abc周長的最大值.【解析】(1)因?yàn)閟in2a-sin2b-sin2c=sin bsin c,所以由正弦定理得:bc2-ac2-ab2=acab,所以cos a=-,因?yàn)閍(0,),所以a=.(2)由(1)知a=,又bc=3,所以由余弦定理得:bc2=ac2+ab2-2acabcos a=ac2+ab2+acab=9,即(ac+ab)2-acab=9.因?yàn)閍cab(當(dāng)且僅當(dāng)a

10、c=ab時(shí)取等號(hào)),所以9=(ac+ab)2-acab(ac+ab)2-=(ac+ab)2,解得:ac+ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ac=ab時(shí)取等號(hào)),所以abc的周長=ac+ab+bc3+2,所以abc周長的最大值為3+2.1.在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,s為abc的面積,sin(a+c)=,且a,b,c成等差數(shù)列,則c的大小為.【解析】在abc中,由a,b,c成等差數(shù)列,可得2b=a+c=-b,即b=,sin(a+c)=,即為sin b=,即有b2=c2+ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos b=a2+c2-ac,即有a=2c,b=c,cos c=,又因?yàn)閏為三角形的內(nèi)角,所以c=.答案:2.如圖,abc的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(3,4),b(0,0),c(c,0).(1)若c=5,求sin a的值;(2)若a為鈍角,求c的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閍(3,4),b(0,0),所以ab=5,當(dāng)c=5時(shí),bc=5