2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)案北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)案北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)案北師大版必修5年級(jí)：姓名：2.2一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)應(yīng)用一元二次不等式解決恒成立問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)2.會(huì)解簡(jiǎn)單的分式不等式與簡(jiǎn)單的高次不等式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.如何解分式不等式?2.如何求解高次不等式的解集?1.分式不等式的解法(1)分式不等式的概念及其標(biāo)準(zhǔn)形式.分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.各種不等式經(jīng)過(guò)同解變形,都可化為標(biāo)準(zhǔn)形式0(0)或0與或同解;與f(x

2、)g(x)0同解0與或同解;與f(x)g(x)0的不等式解法穿針引線法(1)設(shè)函數(shù):設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(2)求交點(diǎn):函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(2,0),(3,0).(3)穿針引線:把函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)形象地看成“針眼”,函數(shù)f(x)的圖像看成“線”從右到左從上到下進(jìn)行穿針引線.分別畫出y=x-a,y=(x-a)(x-b),y=(x-a)(x-b)(x-c)(ab0,(x-a)(x-b)0,(x-a)(x-b)(x-c)0的關(guān)系.提示:圖像y0的解集(a,+)(-,a)(b,+)(a,b)(c,+)不等式的解集恰是對(duì)應(yīng)圖像當(dāng)y0時(shí)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)

3、的集合.1.辨析記憶(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)不等式0與(x+1)(x+2)0同解.()(2)不等式0與(x+1)(x+2)0同解.()(3)不等式ax2+bx+c0恒成立的條件為0與(x+1)(x+2)0同解.(2).因?yàn)榉质降姆帜覆粸?,所以不等式0與(x+1)(x+2)0不同解.(3).當(dāng)a0時(shí),也有0不恒成立.2.(2020蕪湖高一檢測(cè))不等式0的解集為.【解析】根據(jù)0與同解可得0與同解,解得x0,可得其解集為.【解析】原不等式可化為x(x-1)0,b=,則ab=()a.(-,1)(2,+)b.(-,0)(4,+)c.(2,4)d.(4,+)2.不等式2的解集是()a.b.c.(

4、1,3 d.(1,33.(2020保定高一檢測(cè))如果不等式1對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解析】1.選b.由x2-5x+40,可得(x-1)(x-4)0,解得x4,故a=x|x4.由1,可得-10,即0,解得x2,故b=x|x2,故ab=x|x4.2.選d.因?yàn)?x-1)20,由2可得x+52(x-1)2且x1.所以2x2-5x-30且x1,所以-x3且x1.所以不等式的解集是(1,3.3.由x2+2x+7=(x+1)2+60對(duì)一切xr恒成立,可知原不等式等價(jià)于2x2+mx+2mx2+2x+7恒成立,即x2+(m-2)x+(2m-7)0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,故=(m-2)2-4(2

5、m-7)0,整理得(m-4)(m-8)0,解得4m5或x.所以原不等式的解集為.答案:類型二“穿根法”解高次不等式(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】解下列不等式:(6x2-17x+12)(2x2-5x+2)0.四步內(nèi)容理解題意求出滿足該不等式的所有x的取值.思路探求不等式的左邊分解成幾個(gè)因式的積,然后依據(jù)乘積的正負(fù)確定不等式的解.書寫表達(dá)原不等式可化為(2x-3)(3x-4)(2x-1)(x-2)0,進(jìn)一步化為(x-2)0,如圖所示,得原不等式的解集為.題后反思高次不等式的求解需要先找出對(duì)應(yīng)方程的根,然后利用穿針引線法求解穿針引線法解不等式的步驟(1)轉(zhuǎn)化:就是先把不等式化為一端為零,再對(duì)另一端分解因式,將

6、f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式之積,各因式的x系數(shù)要為正.(2)標(biāo)點(diǎn):將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上(注意虛實(shí)點(diǎn)).(3)畫線:用一條光滑的曲線,從x軸的右端上方起,依次穿過(guò)這些零點(diǎn),穿線時(shí)注意是從上到下,從右到左(注意重根情況,偶次方根穿而不過(guò),奇次方根既穿又過(guò)).(4)寫解集:大于零的不等式的解對(duì)應(yīng)著曲線在x軸上方的實(shí)數(shù)x的取值集合;小于零的不等式的解對(duì)應(yīng)著曲線在x軸下方的實(shí)數(shù)x的取值集合.(2020榆林高一檢測(cè))解不等式:(2x-1)(x+1)(2-x)0.【解析】因?yàn)?2x-1)(x+1)(2-x)0,又因?yàn)榉匠?x+1)(x-2)=0的根是x1=-1,x2=,x3=

7、2.畫出數(shù)軸、標(biāo)出根,再穿針引線如圖所示.所以原不等式的解集為(2,+).類型三一元二次不等式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】遨游于精彩的網(wǎng)絡(luò)世界,可以進(jìn)行網(wǎng)上購(gòu)物,收發(fā)郵件,在線交流上網(wǎng)獲取信息已成為人們生活的組成部分,網(wǎng)絡(luò)服務(wù)公司將用戶的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng),并收取一定的費(fèi)用.公司a每小時(shí)收費(fèi)1.5元;公司b一次上網(wǎng)x小時(shí)收費(fèi)x(35-x)20元,上網(wǎng)一般不超過(guò)17小時(shí),選擇哪一家公司上網(wǎng)費(fèi)用較少?【思路導(dǎo)引】將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式解決,注意分類討論,再解決.【解析】由1.5x=得x2-5x=0,得x=5或x=0(舍去);由1.5x得x2-5x0,解得0x得x2-5x0,解得x5.可見,上網(wǎng)

8、少于5小時(shí)公司a收費(fèi)少;上網(wǎng)恰好5小時(shí)公司a、b收費(fèi)一樣;上網(wǎng)超過(guò)5小時(shí)公司b收費(fèi)少.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x(單位:m)的取值范圍是.【解析】設(shè)矩形高為y,由三角形相似得:=,且x0,y0,x40,y200,所以(n-2 020)lg 1.12lg 2-lg 1.3,所以n-2 020=3.8,所以n2 023.8,因?yàn)閚z,所以2024年開始超過(guò)200萬(wàn)元.2.一輛汽車總重量為,時(shí)速為v(km/h),設(shè)它從剎車到停車行走的距離l與,v之間的關(guān)系式為l=kv2(k是常數(shù)).這輛汽車空車以50 km/h行駛時(shí),從剎車到停

9、車行進(jìn)了10 m,求該車載有等于自身重量的貨物行駛時(shí),若要求司機(jī)在15 m距離內(nèi)停車(包含15 m),并且司機(jī)從得到剎車指令到實(shí)施剎車時(shí)間為1 s,汽車允許的最大時(shí)速是多少?(結(jié)果精確到1 km/h)【解析】根據(jù)已知當(dāng)l=10,v=50時(shí),10=k502k=.又司機(jī)反應(yīng)時(shí)間1 s內(nèi)汽車所走路程與汽車從剎車到停止所走路程之和為kv22+1.依題意得kv22+115,即+15,所以18v2+625v-33 7500,解得0v29(近似值).故汽車允許最大時(shí)速為29 km/h.3.國(guó)家原計(jì)劃以2 400元/噸的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品m噸.按規(guī)定,農(nóng)戶向國(guó)家納稅為:每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個(gè)百

10、分點(diǎn),即8%).為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),制定積極的收購(gòu)政策.根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律,稅率降低x個(gè)百分點(diǎn),收購(gòu)量能增加2x個(gè)百分點(diǎn).試確定x的范圍,使稅率調(diào)低后,國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.【解析】設(shè)稅率調(diào)低后,“稅收總收入”為y元,則y=2 400m(1+2x%)(8-x)%=-m(x2+42x-400)(0x8).依題意,得y2 400m8%78%,即-m(x2+42x-400)2 400m8%78%,整理得x2+42x-880,解得-44x2.根據(jù)x的實(shí)際意義,知0x8,所以x的范圍為(0,2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3 860萬(wàn)元,六月份的銷售額為500萬(wàn)元,七月份的銷售

11、額比六月份增加x%,八月份的銷售額比七月份增加x%,九、十月份的銷售總額與七、八月份的銷售總額相等,若一月份至十月份的銷售總額至少為7 000萬(wàn)元,則x的最小值為.【解析】由題意得七月份的銷售額為500(1+x%),八月份的銷售額為500(1+x%)2,所以一月份至十月份的銷售總額為3 860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)27 000,解得1+x%-(舍去)或1+x%,即x%20%,所以xmin=20.答案:20課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知集合a=,則集合a中的元素個(gè)數(shù)為()a.1b.2c.3d.4【解析】選d.因?yàn)榧蟖=xn|2x7=3,4,5,6,所以集合a中元素個(gè)數(shù)為4.2.不等式5的解集是()a.2,3b.(-,-16,+)c.(-,0)2,3d.(0,2)(3,+)【解析】選c.由5,可得0,即即解得x0或2x3,即(-,0)2,3.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)若產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是()a.100臺(tái)b.120臺(tái)c.150臺(tái)d.180臺(tái)【解析】選c.y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,所以x2+50x-30 0000,x150.4.不等式0的解集為(-,