2021-2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 新人教A版必修5

1、2021-2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 新人教a版必修52021-2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 新人教a版必修5年級：姓名：第二章 數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第1課時數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.學(xué)會用列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法表示數(shù)列.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列.(數(shù)學(xué)抽象)必備知識自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.數(shù)列的定義是什么?2.數(shù)列是怎樣分類的?3.數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系?4.數(shù)列的通項(xiàng)公式的含義是什么?1.數(shù)列及其有關(guān)

2、概念2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義按項(xiàng)的個數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動數(shù)列 從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),關(guān)系如表:定義域正整數(shù)集n*(或它的有限子集1,2,3,n)解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域由自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法);(2)列表法;(3)圖象法數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)?提示:數(shù)列的圖象是一

3、系列孤立的點(diǎn).4.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)定義:如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)本質(zhì):數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際就是數(shù)列的函數(shù)解析式.(3)作用:寫出數(shù)列的任意一項(xiàng);判斷一個數(shù)是否是數(shù)列的項(xiàng);分析數(shù)列的性質(zhì).1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”).(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列.()(2)所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式且一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的.()(3)數(shù)列3,1,-1,-3,-5,-10的通項(xiàng)公式為an=5-2n.()提示:(1).兩個數(shù)列相同,每一項(xiàng)都必須相同,而且數(shù)列具有順序性.(2).有的數(shù)列就沒有通項(xiàng)公式,而

4、且有的數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.(3). 第六項(xiàng)為-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2+1,則122是該數(shù)列的()a.第9項(xiàng)b.第10項(xiàng)c.第11項(xiàng)d.第12項(xiàng)【解析】選c.令n2+1=122,則n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).3.(教材二次開發(fā):例題改編)數(shù)列1,2,的一個通項(xiàng)公式為an=.【解析】因?yàn)閍1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,所以an=.答案:關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一數(shù)列的概念以及分類(數(shù)學(xué)抽象)1.(2020蘭州高二檢測)下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()a.-1,-2,-3,

5、-4,b.-1,-,-,-,c.-1,-2,-4,-8,d.1,2.若數(shù)列an滿足an=2n,則數(shù)列an是()a.遞增數(shù)列b.遞減數(shù)列c.常數(shù)列d.擺動數(shù)列3.已知下列數(shù)列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1,;1,-,;1,0,-1,sin,;2,4,8,16,32,;-1,-1,-1,-1.其中,有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是,遞增數(shù)列是,遞減數(shù)列是,常數(shù)列是,擺動數(shù)列是(填序號).【解析】1.選b.a,b,c中的數(shù)列都是無窮數(shù)列,但是a,c中的數(shù)列都是遞減數(shù)列.2.選a.an+1-an=2n+1-2n=2n0,所以an+1an,即an是遞增數(shù)列.3.為有窮

6、數(shù)列且為遞增數(shù)列;為無窮數(shù)列、遞減數(shù)列;為無窮數(shù)列、擺動數(shù)列;為擺動數(shù)列,也是無窮數(shù)列;為遞增數(shù)列,也是無窮數(shù)列;為有窮數(shù)列,也是常數(shù)列.答案:理解數(shù)列概念要注意的三點(diǎn)(1)區(qū)分集合:數(shù)列an表示數(shù)列a1,a2,a3,an,不是表示一個集合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別.(2)項(xiàng)的理解:從數(shù)列的定義可以看出,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列;在定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).(3)規(guī)律性:數(shù)列中各項(xiàng)的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列的關(guān)鍵.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 1.下列數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是() a.1,b.sin ,

7、sin ,sin ,sin ,c.-1,-,-,-,d.1,2,3,4,30【解析】選c.數(shù)列1,是無窮數(shù)列,但它不是遞增數(shù)列,而是遞減數(shù)列;數(shù)列sin ,sin ,sin ,sin ,是無窮數(shù)列,但它既不是遞增數(shù)列,又不是遞減數(shù)列;數(shù)列-1,-,-,-,是無窮數(shù)列,也是遞增數(shù)列;數(shù)列1,2,3,4,30是遞增數(shù)列,但不是無窮數(shù)列.2.下列數(shù)列(1)1,2,22,23,263;(2)0,10,20,30,1 000;(3)2,4,6,8,10,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(5)7,7,7,7,;(6),.其中有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是,遞增數(shù)列是,遞減數(shù)列是,擺動數(shù)列是,常數(shù)列是.(填序號

8、)【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是(1)(2),無窮數(shù)列是 (3)(4)(5)(6),遞增數(shù)列是(1)(2)(3),遞減數(shù)列是(6),擺動數(shù)列是 (4),常數(shù)列是(5).答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)類型二歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(邏輯推理)角度1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式【典例】寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1),2,8,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(4),;(5),;(6)4,0,4,0,4,0,.【思路導(dǎo)引】首先要熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后對于復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式,其項(xiàng)與序號之間的關(guān)系不容易

9、發(fā)現(xiàn),要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形,將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個常見數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納.【解析】(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:,所以,它的一個通項(xiàng)公式為an=.(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號的作用,所以數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列

10、,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=.(5)這個數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個通項(xiàng)公式是an=(-1)n.(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式,即an=又因?yàn)閿?shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通項(xiàng)公式又可表示為an=2+2(-1)n+1.將本例(6)的數(shù)列改為“3,5,3,5,3,5,”,如何寫出其通項(xiàng)公式?【解析】

11、此數(shù)列為擺動數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,故通項(xiàng)公式可寫為an=此數(shù)列兩項(xiàng)3與5的平均數(shù)為=4,奇數(shù)項(xiàng)為4-1,偶數(shù)項(xiàng)為4+1,故通項(xiàng)公式還可寫為an=4+(-1)n.角度2根據(jù)圖形歸納通項(xiàng)公式【典例】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù),例如:他們研究過圖(1)中的1,3,6,10,由于這些數(shù)能表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);與之類似,稱圖(2)中的1,4,9,16,這樣的數(shù)稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()a.289b.1 024c.1 225d.1 378【思路導(dǎo)引】首先確定兩個數(shù)列的通項(xiàng)公式,再驗(yàn)證哪個選項(xiàng)符合要求.【解析】選c.由題圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的

12、數(shù)列通項(xiàng)公式an=,同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式bn=n2,而所給的選項(xiàng)中只有1 225滿足a49=b35=352=1 225.1.依項(xiàng)的特征求通項(xiàng)公式(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)符號特征等,并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想,從而求出通項(xiàng)公式.2.轉(zhuǎn)化到基本數(shù)列觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn),觀察出項(xiàng)與序號之間的關(guān)系、規(guī)律,通過對項(xiàng)的適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化到我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)對于正負(fù)符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.1.根據(jù)如圖所示的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù),寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an=.【解析】由a1=1=51

13、-4,a2=6=52-4,a3=11=53-4,歸納an=5n-4.答案:5n-42.寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1)0,3,8,15,24,;(2)1,2,3,4,;(3)1,11,111,1 111,.【解析】(1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一個通項(xiàng)公式是an=n2-1(nn*).(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,恰好是序號n,分?jǐn)?shù)部分與序號n的關(guān)系為,故所求的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=n+=(nn*).(3)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?,99,999,9 999,易知數(shù)列9,99,999,9 999,的一個通項(xiàng)公式為

14、an=10n-1,所以原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=(10n-1)(nn*).【補(bǔ)償訓(xùn)練】 1.圖中由火柴棒拼成的一列圖形中,第n個圖形由n個正方形組成:通過觀察可以發(fā)現(xiàn):在第n個圖形中,火柴棒有根.【解析】第1個圖形中,火柴棒有4根;第2個圖形中,火柴棒有4+3根;第3個圖形中,火柴棒有4+3+3=4+32根;第4個圖形中,火柴棒有4+3+3+3=4+33根;第n個圖形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.答案:3n+12.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1) 3,5,7,9,11,13,;(2), ;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,; (4) 1, 3, 3

15、, 5, 5, 7, 7, 9, 9,;(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,.【解析】(1)從3開始的奇數(shù)列,an=2n+1.(2)分子為偶數(shù),分母為相鄰兩奇數(shù)的積an=;(3)an=或an=; (4) 將數(shù)列變形為1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ,所以an=n+;(5) 將數(shù)列變形為12, -23, 34, -45, 56,所以an=(-1)n+1n(n+1).類型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象)【典例】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=.(1)求a10;(2)判斷是否為該數(shù)列中的項(xiàng).若是,它為第幾項(xiàng)?若不是,請說

16、明理由;(3)求證:0an3,所以01,所以01-1,即0an1.1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號n之間的關(guān)系,只要用序號代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng),然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項(xiàng);若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列的一項(xiàng).在數(shù)列an中,a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求a2 017;(3)2 018是否為數(shù)列an中的項(xiàng)?【解析】(1)設(shè)an=kn+b(k0),則有解得k=4,b=-2.所以an=

17、4n-2.(2)a2 017=42 017-2=8 066.(3)令2 018=4n-2,解得n=505n*,所以2 018是數(shù)列an的第505項(xiàng).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=.(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng).(2)試問是該數(shù)列的項(xiàng)嗎?若是,是第幾項(xiàng)?若不是,請說明理由.【解析】(1)因?yàn)閍n=,所以a4=,a6=.(2)令=,則n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到nn*,故將n=-8舍去,所以是該數(shù)列的第5項(xiàng).課堂檢測素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.有下列命題:數(shù)列,的一個通項(xiàng)公式是an=;數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn);數(shù)列1,-1,1,-1,與數(shù)列-1, 1,-1,1,是同一數(shù)列;數(shù)列

18、,是遞增數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)為()a.1b.2c.3d.0【解析】選a.由通項(xiàng)公式知a1=,故不正確;易知正確;由于兩數(shù)列中數(shù)的排列次序不同,因此不是同一數(shù)列,故不正確;中的數(shù)列為遞減數(shù)列,所以不正確.2.600是數(shù)列12,23,34,45,的()a.第23項(xiàng)b.第24項(xiàng)c.第25項(xiàng)d.第26項(xiàng)【解析】選b.an=n(n+1)=600=2425,所以n=24.3.在數(shù)列an中,an=51-n,則a3等于.【解析】由已知得a3=51-3=.答案:4.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式填表:n125nan195n2-2n【解析】由題表可知,a1=12-21=-1,a2=22-22=0,a5=52-25=15,由n2-2n=195,解得n=15或n=-13(舍).答案:-1015155.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空,并寫出每個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1),()