平面向量的概念及線性運(yùn)算超級(jí)好用值得推薦

1、教師學(xué)生姓名上課日期學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教材版本人教A版學(xué)案主題課本復(fù)習(xí)課時(shí)數(shù)量（全程或具體時(shí)間）第（ ）課時(shí)授課時(shí)段教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示個(gè)性化學(xué)習(xí)問(wèn)題解決1平面向量的線性運(yùn)算2平面向量的幾何意義及其共線條件3考查平面向量基本定理的應(yīng)用4考查坐標(biāo)表示下向量共線條件教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示一、平面向量的概念及線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零

2、向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1) 交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|a|a|；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(2)運(yùn)算律：設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a)()a；

3、()aaa； (ab)ab.4共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量?jī)蓚€(gè)防范(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于()A BC. D.解析如圖，.答案A2判斷下列四個(gè)命題：若ab

4、，則ab；若|a|b|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析只有正確答案A3若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析.答案B4(2011四川)如圖，正六邊形ABCDEF中，() A0 B.C. D.解析.答案D5設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與2ab共線，則_.解析由題意知：abk(2ab)，則有：k，.答案考向一平面向量的概念【例1】下列命題中正確的是()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C向量a與b不共線，則a與b都是非

5、零向量D有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行審題視點(diǎn) 以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例說(shuō)明其正確與否解析由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C.答案C 解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問(wèn)題，其

6、關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性，以及兩個(gè)向量相等必須滿足：(1)模相等；(2)方向相同【訓(xùn)練1】 給出下列命題：若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若a與b均為非零向量，則|ab|與|a|b|一定相等其中正確命題的序號(hào)是_解析正確，錯(cuò)誤答案考向二平面向量的線性運(yùn)算【例2】如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則()A.0B.0C.0D.0審題視點(diǎn) 利用平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合圖形可求解析0，2220，即0.答案A 三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要

7、方法，共起點(diǎn)的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則【訓(xùn)練2】 在ABC中，c，b，若點(diǎn)D滿足2，則()A.bc B.cbC.bc D.bc解析2，2()，32bc.答案A考向三共線向量定理及其應(yīng)用【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線審題視點(diǎn) (1)先證明，共線，再說(shuō)明它們有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)利用共線向量定理列出方程組求k.(1)證明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)，A，B，D三點(diǎn)共線(2)解kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即(k

8、)a(k1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，kk10.k210.k1. 平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)【訓(xùn)練3】 (2011蘭州模擬)已知a，b是不共線的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是()A2 B1C1 D1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三點(diǎn)共線得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故選D.答案D難點(diǎn)突破11有關(guān)平面向量中新定義問(wèn)題解題策略從近兩年課改區(qū)高考試題可以看出高考以選擇題形式考查平面向量中新定義的問(wèn)題，一般難度較大這類問(wèn)題的特點(diǎn)是背景新穎

9、，信息量大，通過(guò)它可考查學(xué)生獲取信息、分析并解決問(wèn)題的能力解答這類問(wèn)題，首先需要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，然后應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在【示例1】 (2012泰安十校聯(lián)考)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A若a與b共線，則ab0BabbaC對(duì)任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2【示例2】 (2011山東)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若(R)，(R)，且2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的

10、點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的是()AC可能是線段AB的中點(diǎn)BD可能是線段AB的中點(diǎn)CC、D可能同時(shí)在線段AB上DC、D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上二、平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示基礎(chǔ)梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若

11、向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b共線一個(gè)區(qū)別向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變，即(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化兩個(gè)防范(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意

12、義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知a1a2an0，且an(3,4)，則a1a2an1的坐標(biāo)為()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析設(shè)cxayb，則c3ab.答案B3(2012鄭州月考)設(shè)向量a(m,1)，b(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為()A1

13、B1 C2 D2解析設(shè)ab(0)，即m且1m.解得m1，由于0，m1.答案A4設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析設(shè)c(x，y)，則4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1考向一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】(2012南京質(zhì)檢)如圖所示，在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若，則_. 審題視點(diǎn) 由B，H，C三點(diǎn)共線可用向量

14、，來(lái)表示.解析由B，H，C三點(diǎn)共線，可令x(1x)，又M是AH的中點(diǎn)，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的【訓(xùn)練1】 如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起若xy，則x_，y_.解析以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，令A(yù)B2，則(2,0)，(0,2)，過(guò)D作DFAB交AB的延長(zhǎng)線于F，由已知得DFBF，則(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)

15、算【例2】(2011合肥模擬)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐標(biāo)和.審題視點(diǎn) 求，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設(shè)M(x，y)，則(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo)【訓(xùn)練2】 在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)

16、角線，若(2,4)，(1,3)，則()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考向三平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得kab與a3b共線，且方向相反？審題視點(diǎn) 根據(jù)共線條件求k，然后判斷方向解若存在實(shí)數(shù)k，則kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若這兩個(gè)向量共線，則必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.這時(shí)kab，所以kab(a3b)即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在向量共線問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，

17、如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值【訓(xùn)練3】 (2011西安質(zhì)檢)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c()A. B.C. D.解析設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D閱卷報(bào)告5平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練致誤【問(wèn)題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問(wèn)題，是高考命題向量試題的常見形式，求解這類問(wèn)題的常規(guī)思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再進(jìn)行求解【防范措施】 一是會(huì)利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中的特殊點(diǎn)、線段等【示例】(2011湖南)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)誤2，3，則_.錯(cuò)因搞錯(cuò)向量的夾角或計(jì)算錯(cuò)實(shí)錄(填錯(cuò)的結(jié)論多種)正解由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底，結(jié)合圖形可得()，()22cos 60.答案【試一試】 (2011天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_嘗試解析以D為原