工程力學(xué)江科大第15講：扭轉(zhuǎn)變形7-3與截面圖形幾何性質(zhì)

1、第15講 扭轉(zhuǎn)變形與截面圖形 幾何性質(zhì) 教學(xué)基本要求與教學(xué)基本要求與教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 補(bǔ)：附錄（補(bǔ)：附錄（14） ( p d d GI T x x GI T ll dd p P GI Tl m)rad( P GI T l max m)rad( P max max GI T D + M 2M 3M 1 180 ) 2 ( p e p e GI aM GI aM MPa7 .69 t max max W T mkN292 e M 33. 2 180 ) 23 ( p e p e GI aM GI aM CBBACA D + M 2M 3M Dd t MM 934. 0 2 D tD D d 3

2、4p t mm1006. 2 2/ D I W MPa1 .96 t max max W T 45 44 P mm1083. 7 32 )1( D I m/81. 1 180 P max max GI T mkN98. 1 MT Dd t MM MPa1 .96 16/ 3 max max d T 2 2 mm1749 4 d A 實(shí)實(shí) 2 22 mm577 4 )7176( 空空 A 512. 0)8 . 01(194. 1 )1( 4 )( 4 22 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 1 2 d D d dD A A 例例 題題3 已知：機(jī)床主軸箱內(nèi)第已知：機(jī)床主軸箱內(nèi)第4 軸的傳

3、動(dòng)示意如圖，軸的傳動(dòng)示意如圖，P 0.756kW， P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料為材料為45鋼，鋼， G=80GPa，=40MPa， =1.5()/m。 求求: 設(shè)計(jì)軸的直徑設(shè)計(jì)軸的直徑。 例例 題題3 mN 3 .399549 2 2e n P M mN 1559549 4 4e n P M mN 3 .194 4e2e3e MMM 已知：機(jī)床主軸箱內(nèi)第4軸的傳動(dòng) 示意如圖，P 0.756kW， P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料 為45鋼，G=80GPa，=40MPa， =1.5()/m。 求: 設(shè)計(jì)軸的直徑。 解：解：1）計(jì)算外力偶矩）計(jì)算外力偶

4、矩 例例 題題3 mN 3 .39 2e M mN 155 4e M mN 3 .194 3e M 已知：機(jī)床主軸箱內(nèi)第4軸的傳動(dòng) 示意如圖，P 0.756kW， P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料 為45鋼，G=80GPa，=40MPa， =1.5()/m。 求: 設(shè)計(jì)軸的直徑。 解 2）畫扭矩圖 3）強(qiáng)度計(jì)算 3 max p max max 16 D T W T mm2 .27 16 3 max T D 4）剛度計(jì)算 180 p max max GI T mm5 .29 18032 4 2 max G T D 選 D=30 mm。 C M ab AB l ACB MMAM

5、B 0 0 MMM M BA x C M ab AB l C M ab AB l BCAC PP 1 GI aM GI aT A AC PP 2 GI bM GI bT B BC b aM M A B 0 MMM BA lMaM lMbM B A / / ACB MMAMB MM l A B MMM M x ba 0 BA Pbb b Paa a IG lM IG lM BA M MM l A B MaMb b pbb paa a M IG IG M M IGIG IG M PbbPaa Paa a M IGIG IG M PbbPaa Pbb b Mb Ma M BA MM l A B .

6、b h T 3 t Ihb max max t max W T t GI Tl max 2 t hbW 3 t 3 1 hI 2 t 3 1 hW h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.333 0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333 1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743 靜矩靜矩 平面圖形面積與某一平面圖形面積與某一

7、 軸的一次矩，如圖所示。軸的一次矩，如圖所示。 A y AzSd A z AySd 定定 義義 靜 矩 A S z A S y y z 靜矩的幾何意義：靜矩的幾何意義： 靜 矩 例題1 3 4 0 R z y 求圖形的靜矩，及形心位置。求圖形的靜矩，及形心位置。 組合圖形時(shí)：組合圖形時(shí)： ii n i z yAS 1 ii n i y zAS 1 靜 矩 i ii i ii A zA z A yA y 確定圖形形心位置。確定圖形形心位置。 例題2 2 1 mm120010120A mm60zmm,5 11 y 2 2 mm800A mm5zmm,50 22 y mm23 21 2211 AA

8、yAyA y mm38 21 2211 AA zAzA z 1）確定每塊圖形面積和形心位置：）確定每塊圖形面積和形心位置： 2）圖形形心位置：）圖形形心位置： A y AzId 2 yi n i y II 1 zi n i z II 1 組合圖形時(shí)：組合圖形時(shí)： 有時(shí)也把慣性矩寫成如下形式有時(shí)也把慣性矩寫成如下形式 2 yy AiI 2 zz AiI iy 和和 iz 分別稱為圖形對(duì)分別稱為圖形對(duì) y 軸和對(duì)軸和對(duì) z 軸的慣性半徑軸的慣性半徑 一、軸慣性矩一、軸慣性矩和慣性半徑和慣性半徑 A z AyId 2 慣性矩和慣性半徑 二、極慣性二、極慣性 矩矩 A AId 2 p 222 zy 因

9、為：因?yàn)椋?所以：所以： zy A IIAzyI d 22 p 極慣性矩的幾何意義：極慣性矩的幾何意義： 慣性矩和慣性半徑 慣慣 性性 積積 慣性積的幾何意義：慣性積的幾何意義： A yz AyzId ￥-3 慣慣 性性 積積 慣性矩和慣性半徑 慣慣 性性 積積 A yz AyzId 慣性矩和慣性半徑 若截面對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則稱此坐標(biāo)軸為 。稱截面對(duì)主軸的慣性矩稱為。 通過截面形心的主慣性軸，稱為。截 面對(duì)形心慣性主軸的慣性矩，稱為。 12 3 hb I y 例題3 求Iy 例題4 例題5 平行移軸公式 azz byy C C 坐標(biāo)軸與形心軸間的坐標(biāo)變換：坐標(biāo)軸與形心軸間的坐標(biāo)變換： a

10、bAII AbII AaII CC C C zyyz zz yy 2 2 AA C A C AaAzaAzdd2d 22 AaI AaaSI C CC y yy 2 2 2 A C A y AazAzId)(d 22 則： 公式公式 已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對(duì)于形心軸xC 和yC的慣性矩 及慣性積 ，現(xiàn)需導(dǎo)出該截面對(duì)于 與形心軸xC ， yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。 截面的形心C在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為 CC yx II ， CCy x I 。和aybx . 慣性矩和慣性積的平行移軸公式證明與不同坐標(biāo)系的公式 因截面上的任一元素dA在x，y 坐標(biāo)系內(nèi)的坐

11、標(biāo)為 ayybxx CC ， 于是有 AaSaI AaAyaAyAayAyI CC xx AA C A C A C A x 2 22 2 2 2 dd2ddd AaII C xx 2 注意到xC軸為形心軸，故上式中的靜矩 等于零，從而有 C x S 同理可得 以上三式就是慣性矩和慣性積的平行移軸公式。需要 注意的是式中的a，b為坐標(biāo)，有正負(fù)，應(yīng)用慣性積平行移 軸公式時(shí)要特別注意。 AbII C yy 2 abAII CCy xxy AaII C xx 2 . 組合截面的慣性矩及慣性積 若組合截面由幾個(gè)部分組成，則組合截面對(duì)于x，y 兩軸的慣性矩和慣性積分別為 n i xyixy n i yiy

12、 n i xix IIIIII 111 ， y2 y1 y x b 1 h O 2 x 例題例題6 6、 試求圖a所示 截面對(duì)于x軸的慣性矩Ix 。 (a) 解：解：將截面看作由一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓 形組成，半圓形的形心位置如圖b所示。 21 2 xxx III (1)求Ix 設(shè)矩形對(duì)x軸的慣性矩為 ，每個(gè)半圓形 對(duì)x軸的慣性矩為 ，則有 1 x I 2 x I 其中： 44 33 mm103335 12 mm200mm80 12 2 1 ad I x 8 3 2 128 8 3 2 2 2 42 2 ddddd II xxC 至于 則需先求出半圓形對(duì)其自身 形心軸的慣性矩。根據(jù)平行移軸公式可 得 ，而半圓形對(duì)于 直徑軸x(圖b)的慣性矩等于圓形對(duì)x軸 的慣性矩 的一半，于是得 8 3 2 2 2 dd