2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體及其表面積、體積學(xué)案新人教B版

1、2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體及其表面積、體積學(xué)案新人教b版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體及其表面積、體積學(xué)案新人教b版年級(jí)：姓名：立體幾何課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式2了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，掌握有關(guān)判定定理和性質(zhì)定理3掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示4運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系5運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的

2、有效工具.考查形式：一般為兩個(gè)客觀題，一個(gè)解答題考查內(nèi)容：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、體積與表面積的計(jì)算、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，直線、平面的平行、垂直關(guān)系，及三種角(異面直線所成的角、線面角、二面角)的計(jì)算備考策略：(1)了解幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用體積、表面積公式(2)重視對(duì)定理的記憶，注意對(duì)空間幾何體的位置關(guān)系分析(3)熟練掌握向量法解決立體幾何問題核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.第1節(jié)空間幾何體及其表面積、體積一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(1)要掌握棱

3、柱、棱錐各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問題往往轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行解決(2)臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定要知道截面與底面平行2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀3空間幾何體的直觀圖為了使直觀圖具有立體感，常使用斜二測(cè)畫法來作直觀圖，其規(guī)則是：(1)“斜”：直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45或135.(2)“二測(cè)”：圖形中平行于x軸(或重合)的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸(或重合)的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來

4、的一半，平行于z軸(或重合)的線段畫長(zhǎng)度不變畫直觀圖要注意平行、長(zhǎng)度兩個(gè)要素4圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式s圓柱側(cè)2rls圓錐側(cè)rls圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l5空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)s表面積s側(cè)2s底vs底h錐體(棱錐和圓錐)s表面積s側(cè)s底vs底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))s表面積s側(cè)s上s下v(s上s下)h球s4r2vr3(1)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積時(shí)，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決(2)一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決(3)求幾何體的體積時(shí)，要注意利用分割、補(bǔ)形與等積法6常用結(jié)論

5、(1)斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”“三不變”(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，()若球?yàn)檎襟w的外接球，則2ra；()若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2ra；()若球與正方體的各棱相切，則2ra.若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為r，則2r.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.二、基本技能思想活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱( )(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐( )(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何

6、體一定是棱臺(tái)( )(4)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱( )(5)菱形的直觀圖仍是菱形( )(6)錐體的體積等于底面積與高之積( )(7)已知球o的半徑為r，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則ra.( )2如圖，長(zhǎng)方體abcdabcd被截去一部分ebfhcg，其中ehad，則剩下的幾何體是()a棱臺(tái) b四棱柱c五棱柱 d簡(jiǎn)單組合體c解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱3下列說法不正確的是()a棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等b棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等c三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形d有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等b解析：根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等4已知圓錐的表面積等于12 cm

7、2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()a1 cmb2 cm c3 cm d cmb解析：因?yàn)閟表r2rlr2r2r3r212，所以r24，所以r2 cm.5利用斜二測(cè)畫法得到的以下結(jié)論中，正確的是_(填序號(hào))三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；圓的直觀圖是橢圓解析：正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知正確；原圖形中垂直的線段在直觀圖中可能不垂直，故錯(cuò)；正確考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖基礎(chǔ)性1(多選題)下列命題中正確的是()a棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形b在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱

8、為直四棱柱c存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體d棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等bc解析：a不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；b正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；c正確，如圖，正方體abcda1b1c1d1中的三棱錐c1abc，四個(gè)面都是直角三角形；d不正確，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等2如圖，矩形oabc是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中oa6 cm，cd2 cm，則原圖形是()a正方形b矩形c菱形d一般的平行四邊形c解析：如圖，在原圖形oabc中，應(yīng)有od

9、2od224(cm)，cdcd2 cm.所以oc6(cm)所以oaoc.所以四邊形oabc是菱形3下列結(jié)論：以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是球其中正確的是_(填序號(hào))解析：若這條邊是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，故錯(cuò)；若這條腰不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺(tái)，故錯(cuò)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面顯然都是圓面，故正確；如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺(tái)，故錯(cuò)；只有球滿足任意截

10、面都是圓面，故正確4有以下四個(gè)命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；直四棱柱是平行六面體；棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)其中真命題是_(填序號(hào))解析：命題符合平行六面體的定義，故命題是真命題的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是假命題；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危拭}是假命題；由棱臺(tái)的定義知命題是真命題1解決空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定(2)反例法：通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析2用斜二測(cè)畫法畫直觀圖

11、的技巧在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x軸或y軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出考點(diǎn)2空間幾何體的表面積和體積綜合性(1)在abc中，ac2，bc2，acb120.若abc繞直線bc旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積是()a(62)b2c(92)d2a解析：abc繞直線 bc旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐因?yàn)閍c2，bc2，acb120，所以oa，ab2.所以所形成的幾何體的表面積是(22)(62).故選a.(2)(2021八省聯(lián)考)圓臺(tái)上、下底面的圓

12、周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為_61解析：圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖，設(shè)球的球心為o，圓臺(tái)上底面的圓心為o，則圓臺(tái)的高oo3.據(jù)此可得圓臺(tái)的體積v3(525442)61.(3)一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，如圖，需要設(shè)計(jì)各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無色氣體已知文物近似于塔形，高為1.8米，體積為0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米若氣體每立方米1 000元，則氣體的費(fèi)用最少為()a4 500元b

13、4 000元c2 880元d2 380元b解析：因?yàn)槲奈锏撞渴侵睆綖?.9米的圓形，文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，所以底面正方形的邊長(zhǎng)為0.920.31.5(米)又文物高1.8米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，所以正四棱柱的高為1.80.22(米)，則正四棱柱的體積v1.5224.5(立方米)因?yàn)槲奈锏捏w積為0.5立方米，所以罩內(nèi)空氣的體積為4.50.54(立方米)因?yàn)闅怏w每立方米1 000元，所以氣體的費(fèi)用最少為41 0004 000(元)故選b.空間幾何體表面積、體積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積

14、注意銜接部分的處理(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等求解1在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，abbc2，ac1與平面bb1c1c所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的體積為()a8b6 c8d8c解析：如圖，連接ac1，bc1，ac.因?yàn)閍b平面bb1c1c，所以ac1b為直線ac1與平面bb1c1c所成的角，所以ac1b30.又abbc2，在rtabc1中，ac14；在rtacc1中，cc12.所以v長(zhǎng)方體abbccc12228.2(2020全國(guó)卷)已知abc是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球o的球面上若球o的表面積為16，則o到平面abc的距離為()a b c1 dc解析：設(shè)球o的半

15、徑為r，則4r216，解得r2.設(shè)abc外接圓的半徑為r，邊長(zhǎng)為a.因?yàn)閍bc是面積為的等邊三角形，所以a2，解得a3.所以r.所以球心o到平面abc的距離d1.3如圖，長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的體積為36，e為棱cc1上的點(diǎn)，且ce2ec1，則三棱錐ebcd的體積是()a3b4 c6d12b解析：因?yàn)閟bcds四邊形abcd，cecc1，vabcda1b1c1d1s四邊形abcdcc136，所以vebcdsbcdces四邊形abcdcc1364.故選b.4一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_12解析：設(shè)正六棱錐的高為h，斜高為h.由題意

16、，得62h2，所以h1.所以斜高h(yuǎn)2，所以s側(cè)62212.考點(diǎn)3與球有關(guān)的切、接問題應(yīng)用性考向1“相接”問題(2019全國(guó)卷)已知三棱錐pabc的四個(gè)頂點(diǎn)在球o的球面上，papbpc，abc是邊長(zhǎng)為2的正三角形，e，f分別是pa，ab的中點(diǎn)，cef90，則球o的體積為()a8b4 c2 dd解析：(方法一)因?yàn)閜apbpc，abc是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以pabc為正三棱錐，所以pbac.又e，f分別為pa，ab的中點(diǎn)，所以efpb，所以efac.又efce，ceacc，所以ef平面pac，所以pb平面pac，所以apb90，所以papbpc，所以pabc為正方體的一部分，2r，即r，所以v

17、r3.(方法二)設(shè)papbpc2x.因?yàn)閑，f分別為pa，ab的中點(diǎn)，所以efpb，且efpbx.因?yàn)閍bc是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以cf.又cef90，所以ce，aepax.在aec中，由余弦定理，得coseac.作pdac于點(diǎn)d，因?yàn)閜apc，所以d為ac的中點(diǎn)所以coseac.所以，解得x或x(舍)所以papbpc.又abbcac2，所以pa，pb，pc兩兩垂直所以2r.所以r.所以vr3.在三棱錐pabc中，pa平面abc且pa2，abc是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()ab4c8d20c解析：由題意得，此三棱錐外接球即為以abc為底面、以pa為高的正三棱柱的外接球

18、因?yàn)閍bc的外接圓半徑r1，外接球球心到abc的外接圓圓心的距離d1.所以外接球的半徑r.所以三棱錐外接球的表面積s4r28.處理“相接”問題，要抓住空間幾何體“外接”的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑考向2“相切”問題已知正四面體pabc的表面積為s1，此四面體的內(nèi)切球的表面積為s2.所以_.解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的表面積為s14a2a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為s24r2，則.本例中若把“正四面體”改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球的體積為_，內(nèi)切球的體積為_32解析：由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，

19、正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑設(shè)該正方體外接球的半徑為r，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長(zhǎng)為4，故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4，從而v外接球r3(2)332，v內(nèi)切球r323.處理“相切”問題，要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，注意截面過球心1在三棱錐pabc中，papbpc2，abac1，bc，則該三棱錐的外接球的表面積為()a8 b c db解析：如圖，過點(diǎn)p作pg平面abc，垂足為g，由papbpc2，知g為三角形abc的外心在abc中，由abac1，bc，可得bac120.由正弦定理可得2ag，即ag1，所以pg.取pa中點(diǎn)h，作hopa交pg于點(diǎn)o，則點(diǎn)o為該三棱錐外接球的球心由phopga，可得，

20、則po，即該棱錐外接球的半徑為.所以該三棱錐外接球的表面積為42.故選b.2(2020全國(guó)卷)已知直四棱柱abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)均為2，bad60.以d1為球心，為半徑的球面與側(cè)面bcc1b1的交線長(zhǎng)為.如圖，已知多面體abcdefg中，ab，ac，ad兩兩互相垂直，平面abc平面defg，平面bef平面adgc，abaddg2，acef1，則該多面體的體積為_四字程序讀想算思多面體的體積？平面abc平面defg，平面bef平面adgc，abaddg2，acef1多面體的體積公式，不規(guī)則幾何體的體積求法將不規(guī)則幾何體的體積用規(guī)則幾何體的體積表示轉(zhuǎn)化與化歸，三棱柱的體積公式，正方體的體積公式思路參考：分割幾何體，轉(zhuǎn)化為三棱柱的體積4解析：因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過點(diǎn)c作chdg于點(diǎn)h，連接eh，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱dehabc和一個(gè)斜三棱柱befchg.由題意，知v三棱柱dehabcsdehad22，v三棱柱befchgsbefde22.故所求幾何體的體積為v多面體abcdefg224.思路參考：將幾何補(bǔ)成正方體4解析：因