遼寧省葫蘆島市2020屆高三數(shù)學(xué)5月聯(lián)合考試試題 理

1、遼寧省葫蘆島市2020屆高三數(shù)學(xué)5月聯(lián)合考試試題 理遼寧省葫蘆島市2020屆高三數(shù)學(xué)5月聯(lián)合考試試題 理年級：姓名：- 27 -遼寧省葫蘆島市2020屆高三數(shù)學(xué)5月聯(lián)合考試試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】解出集合、，利用集合的包含關(guān)系和交集、并集的定義可判斷各選項的正誤.【詳解】，,所以，.故選：a.【點睛】本題考查集合包含關(guān)系的判斷，同時也考查了集合的交集和并集運算、二次不等式與對數(shù)不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則

2、的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法法則計算即可得解；【詳解】解：，所以的虛部為4.故選：c.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.3.以下統(tǒng)計表和分布圖取自清華大學(xué)2019年畢業(yè)生就業(yè)質(zhì)量報告.則下列選項錯誤的是（ ）a. 清華大學(xué)2019年畢業(yè)生中，大多數(shù)本科生選擇繼續(xù)深造，大多數(shù)碩士生選擇就業(yè)b. 清華大學(xué)2019年畢業(yè)生中，碩士生的就業(yè)率比本科生高c. 清華大學(xué)2019年簽三方就業(yè)的畢業(yè)生中，本科生的就業(yè)城市比碩士生的就業(yè)城市分散d. 清華大學(xué)2019年簽三方就業(yè)的畢業(yè)生中，留北京人數(shù)超過一半【答案】d【解析

3、】【分析】根據(jù)統(tǒng)計表和分布圖中的數(shù)據(jù)信息，對選項進行逐一分析判斷，得出答案.【詳解】a. 根據(jù)統(tǒng)計表，本科生選擇繼續(xù)深造的比例為80.4%，碩士生選擇就業(yè)的比例為89.2%，所以判斷正確.b. 根據(jù)統(tǒng)計表，本科生就業(yè)率17.3%, 碩士生的就業(yè)率為為89.2%.判斷正確.c. 根據(jù)分布圖，簽三方就業(yè)的畢業(yè)生中，碩士生的就業(yè)城市主要分布在北京、廣東、上海；本科生的就業(yè)城市相對比較分散.判斷正確.d. 根據(jù)分布圖, 畢業(yè)學(xué)生中，本科生人數(shù)占絕大多數(shù)，簽三方就業(yè)的畢業(yè)生中,留在北京的本科生占18.2%，而碩士生和博士生分別占43.0%、51.2%，所以畢業(yè)生留在北京的沒有達到一半，所以判斷錯誤.故選

4、：d【點睛】本題考查對統(tǒng)計圖表的認(rèn)識，根據(jù)圖表得出有用的信息，讀懂圖表是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.若圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由已知得，若圓關(guān)于直線對稱，即直線必然經(jīng)過圓心，故有圓心在直線上，則，然后，利用基本不等式關(guān)于“1”的用法即可求解.【詳解】由題意知圓心在直線上，則.又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，此時，故選：c【點睛】本題考查基本不等式關(guān)于“1”的用法，屬于基礎(chǔ)題.5.要使得滿足約束條件，的變量表示的平面區(qū)域為正方形，則可增加的一個約束條件為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)新增加的約束條件為，根據(jù)正

5、方形兩組對邊的距離相等，得到方程解得即可；【詳解】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)可設(shè)新增加的約束條件為，兩組對邊的距離相等，故，所以或(舍去).如圖所示故選:c.【點睛】本題考查二元不等式組表示的平面區(qū)域，兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.若是公比為的等比數(shù)列，記為的前項和，則下列說法正確的是（ ）a. 若是遞增數(shù)列，則，b. 若是遞減數(shù)列，則，c. 若，則d. 若，則等比數(shù)列【答案】d【解析】【分析】選項中，分別取特殊數(shù)列滿足條件，但得不出相應(yīng)的結(jié)論，說明選項都是錯誤的，選項中，利用等比數(shù)列的定義可以證明結(jié)論正確.【詳解】a選項中，滿足單調(diào)遞增，故a錯誤；b選項中，滿足單調(diào)遞減，故b錯誤；c

6、選項中，若，則，故c錯誤；d選項中，所以是等比數(shù)列.故d正確.故選：d.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的定義，考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了特值排除法，屬于基礎(chǔ)題.7.為了得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象（ ）a. 向左平移個單位長度b. 向右平移個單位長度c. 向左平移個單位長度d. 向右平移個單位長度【答案】d【解析】【分析】先將函數(shù)用誘導(dǎo)公式變形為，結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，得到答案.【詳解】,由的圖象得到函數(shù)的圖象，向右個單位長度即可.故選：d.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換，要注意三角函數(shù)圖象的平移變換是在“”的基礎(chǔ)上進行的，解決此類題還需熟記口訣“左加右減”.8.設(shè)是定義在

7、上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若，大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意當(dāng)時，是定義在上的奇函數(shù),則在定義域上單調(diào)遞增，由函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】由題意知由當(dāng)時,，所以在上單調(diào)遞增，且又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.所以在定義域上單調(diào)遞增.又因為，所以，由在定義域上單調(diào)遞增，則 所以.故選：b.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，利用單調(diào)性比較大小，考查三角函數(shù)值大小的的比較，對數(shù)值大小的比較，屬于中檔題9.如圖是由等邊和等邊構(gòu)成的六角星，圖中的，均為三等分點，兩個等邊三角形的中心均為.若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析

8、】【分析】以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長為，得出點的坐標(biāo)，由向量的運算可求得的值，可得答案.【詳解】由平行四邊形法則，所以，所以以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長為.則等邊三角形的高為，由，均為三等分點，則,所以,所以，解得所以故選：b.【點睛】本題考查向量的線性運算，建立直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，也是解決的向量問題的常用方法，屬于中檔題.10.區(qū)塊鏈?zhǔn)菙?shù)據(jù)存儲傳輸加密算法等計算機技術(shù)新型應(yīng)用模式，圖論是區(qū)塊鏈技術(shù)的一個主要的數(shù)學(xué)模型,在一張圖中有若干點，有的點與點之間有邊相連，有的沒有邊相連，邊可以是直線段，也可以是

9、曲線段，我們規(guī)定圖中無重邊(即兩個點之間最多只有一條邊)且無孤立點(即對于每個點，都至少存在另外一個點與之相連)，現(xiàn)有，四個點，若圖中恰有條邊，則滿足上述條件的圖的個數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求出a，b，c，d四點最可確定6條邊，再由題得到滿足條件的圖的個數(shù).【詳解】如圖，a，b，c，d四點最可確定ab，ac，ad，bc，bd，cd共6條邊.由題意知恰有3條邊且無孤立點，所以滿足條件的圖有(個).故選：d.【點睛】本題主要考查組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11.地球的公轉(zhuǎn)軌道可以看作是以太陽為一個焦點的橢圓，根據(jù)開普勒行星運動第二定律，可

10、知太陽和地球的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積，某同學(xué)結(jié)合物理和地理知識得到以下結(jié)論：地球到太陽的距離取得最小值和最大值時，地球分別位于圖中點和點；已知地球公轉(zhuǎn)軌道的長半軸長約為千米，短半軸長約為千米，則該橢圓的離心率約為.因此該橢圓近似于圓形：已知我國每逢春分（月日前后）和秋分（月日前后），地球會分別運行至圖中點和點，則由此可知我國每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（當(dāng)年秋分至次年春分）要少幾天.以上結(jié)論正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷命題的正誤；利用橢圓的離心率公式可判斷命題的正誤；根據(jù)開普勒行星運動第二定律可判斷命題的正誤.綜合可得

11、出結(jié)論.【詳解】由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)?shù)厍虻教柕木嚯x取得最小值和最大值時，地球分別位于圖中點和點，命題正確；，則該橢圓的離心率，命題錯誤；根據(jù)開普勒行星運動第二定律，地球從點到點運行速度較快，因此經(jīng)歷的時間較短，因此夏半年比冬半年多幾天，命題錯誤.故選：a.【點睛】本題考查與橢圓性質(zhì)相關(guān)的命題真假的判斷，涉及橢圓焦半徑、離心率的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.12.正方體的棱長為，在，這六個頂點中.選擇兩個點與，構(gòu)成正三棱錐，在剩下的四個頂點中選擇兩個點與，構(gòu)成正三棱錐，表示與的公共部分，則的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)平面與平面的交線為，則為

12、四面體，取的中點，連，可得平面，然后，分別求出與即可求出的體積【詳解】如圖，由題意知，和分別為三棱錐和三棱錐，設(shè)平面與平面的交線為，則為四面體，取的中點，連接，可得， ，可得平面，則的體積為故選：a【點睛】本題考查空間幾何體的體積問題，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.的展開式中的系數(shù)為_.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項，再令即得解.【詳解】由題得.令，解得，所以的系數(shù)為.故答案為：60【點睛】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.14.記為正項等差數(shù)列的前項和，若，則_.【答案】【解析】【分

13、析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知求出，再利用等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得，所以所以.所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，考查等差中項的應(yīng)用和求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15.若拋物線的焦點到雙曲線的一個焦點的距離為，則的值為_.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)以及拋物線的焦點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式可得出關(guān)于的等式，由此可解得的值.【詳解】拋物線焦點為，雙曲線的方程可化為，所以，所以其一個焦點化為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線和拋物線的焦點坐標(biāo)求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)

14、，若的解集中恰有三個非負(fù)整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】把轉(zhuǎn)化為，即，然后，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可.【詳解】由得，即，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象如圖所示， 為了滿足不等式的解集中恰有三個整數(shù)，只需要滿足，解得故答案為：【點睛】本題考查利用數(shù)形結(jié)合，求參數(shù)范圍的問題，本題采用數(shù)形結(jié)合法求解，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，屬于中檔題三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17.在銳角中，內(nèi)角，所對的邊分

15、別為，若，邊上的高，.（1）求的長：（2）過點作，垂足為，且為銳角，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得，利用二倍角公式求出的正弦、余弦，進而求出的正切值，即可出的長(2)利用，求出，然后，分別利用余弦和正弦定理即可求解【詳解】解：（1）由及正弦定理得即.因為，所以因為為銳角三角形，且，所以.又因為根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，所以則所以所以，所以（2）由題意得在，因為所以.由得【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式以及二倍角公式，屬于中檔題.18.如圖，在三棱錐中，平面，為棱上的一點，且平面.（

16、1）證明：；（2）設(shè).與平面所成的角為.求二面角的大小.【答案】（1）見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直性質(zhì)，以及線面垂直的判定定理，先得到平面，進而可得；（2）先由題意，得到，求得，以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面和的法向量，根據(jù)向量夾角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以.因為平面，平面，所以.因為，所以平面因為平面，所以.（2）解：因為平面，即為與平面所成的角，所以，所以，以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為則，即，令可得所以由圖知，二面

17、角的平面角為銳角，所以二面角的大小為.【點睛】本題主要考查證明線線垂直，以及求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理及性質(zhì)，靈活運用空間向量的方法求二面角即可，屬于?？碱}型.19.2020年1月10日，中國工程院院士黃旭華和中國科學(xué)院院士曾慶存榮獲2019年度國家最高科學(xué)技術(shù)獎.曾慶存院士是國際數(shù)值天氣預(yù)報奠基人之一，他的算法是世界數(shù)值天氣預(yù)報核心技術(shù)的基礎(chǔ)，在氣象預(yù)報中，過往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)至關(guān)重要，如圖是根據(jù)甲地過去50年的氣象記錄所繪制的每年高溫天數(shù)(若某天氣溫達到35 及以上，則稱之為高溫天)的頻率分布直方圖.若某年的高溫天達到15天及以上，則稱該年為高溫年，假設(shè)每年是否為高溫年相互獨立，以這

18、50年中每年高溫天數(shù)的頻率作為今后每年是否為高溫年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率.（2）某同學(xué)在位于甲地的大學(xué)里勤工儉學(xué)，成為了校內(nèi)奶茶店(消費區(qū)在戶外)的店長，為了減少高溫年帶來的損失，該同學(xué)現(xiàn)在有兩種方案選擇：方案一：不購買遮陽傘，一旦某年為高溫年，則預(yù)計當(dāng)年的收入會減少6000元；方案二：購買一些遮陽傘，費用為5000元，可使用4年，一旦某年為高溫年，則預(yù)計當(dāng)年的收入會增加1000元.以4年為期，試分析該同學(xué)是否應(yīng)該購買遮陽傘？【答案】（1）0.0272（2）應(yīng)該購買遮陽傘【解析】【分析】（1）先求出某年為高溫年的概率為，再根據(jù)，求出今后4年中，甲地至少有3年為

19、高溫年的概率；（2）求出兩種方案損失的收入的期望，再決定是否應(yīng)該購買遮陽傘.【詳解】解：（1）由題意知，某年為高溫年的概率為，設(shè)今后年中高溫年出現(xiàn)年，則故，.（2）若選擇方案一，不購買遮陽傘，設(shè)今后年共損失元，則若選擇方案二，購買遮陽傘，設(shè)今后年共損失元，則(元)則，故該同學(xué)應(yīng)該購買遮陽傘.【點睛】本題主要考查互斥事件的概率和獨立重復(fù)試驗的概率的求法，考查二項分布的期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20.已知橢圓的左右焦點分別為，且.過橢圓的右焦點作長軸的垂線與橢圓，在第一象限交于點，且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若矩形的四條邊均與橢圓相切，求該矩形面積的取值范圍.【答

20、案】（1）（2）【解析】【分析】（1）易知，設(shè)，根據(jù)勾股定理計算得到，得到橢圓方程.（2）考慮矩形邊與坐標(biāo)軸平行和不平行兩種情況，聯(lián)立方程組根據(jù)得到和的關(guān)系，計算邊長得到面積表達式，根據(jù)均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）由，可知橢圓半焦距，設(shè)，因為，所以，在中，即，所以，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時，易知.當(dāng)矩形的邊與坐標(biāo)軸不平行時，根據(jù)對稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對邊所在直線方程為，另一邊所在的直線方程為，則對邊所在直線方程為，聯(lián)立，得，由題意知，整理得，矩形的一邊長為，同理，矩形的另一邊長為，因為，所以，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立

21、)，所以，則，所以.綜上所述，該矩形面積的取值范圍為.【點睛】本題考查了求橢圓方程，橢圓外接矩形的面積范圍，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21.已知函數(shù)，若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點.（1）比較與的大小；（2）證明：.【答案】（1），見解析（2）見解析【解析】【分析】方法一：利用，利用對不等式進行放縮，可得，進而利用單調(diào)遞增，且和，即可比較與的大小方法二：設(shè)，令函數(shù)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較與的大小(2) 令函數(shù)，則，要證，即證，只要證：，最后通過證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進行證明即可.【詳解】（1）解:方法一：因為，所以，所以.因為，且單調(diào)遞增，所以方法二：設(shè)，令函數(shù)則，則則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以所以因為，且單調(diào)遞增，所以（2）證明：令函數(shù)，則.要證，即證只要證：，只要證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.由題意得因為所以所以因為單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以原命題得證.【點睛】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)比較大小，主要通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進行判斷大小，屬于難題.（二）選考題：共