數(shù)學物理方程第五章_傅里葉變換

1、2021-7-2阜師院數(shù)科院 第五章 傅里葉變換 利用三角級數(shù)的周期性來展開周期函數(shù) 5.1 傅里葉級數(shù) 周期函數(shù)的傅里葉展開； 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開； 有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開； 復數(shù)形式的的傅里葉展開；。 1. 周期函數(shù)的傅里葉展開 周期為 2l 的函數(shù) f(x) 滿足 )()2(xflxf 2周期 的函數(shù)形式與周期是任意的，說道周期與形式是固定的。要通 過三角函數(shù)表示 f(x)，則必須a. 改變三角函數(shù)的周期為 2l。b. 組合各種周期的三角函數(shù)來表現(xiàn) f(x)。這就是傅里葉級數(shù)。 三角函數(shù)族： ,sin, 2 sin,sin ,cos, 2 cos,cos, 1 l xk

2、l x l x l xk l x l x 2021-7-2阜師院數(shù)科院 l xk k l xk l lk l xk l lxk cos)2cos() 2 cos( )2( cos a. 2l 周期性 b. 按三角函數(shù)族展開 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk 不同的函數(shù)形式由不同的組的 和 表示。 k a k b l xk sin 同樣 三角函數(shù)組具有正交性 l l l l l l l l l l dx l xn l xk nkdx l xn l xk nkdx l xn l xk dx l xk kdx l xk . 0sincos ),(0sinsin

3、),(0coscos , 0sin1 ),0(0cos1 (5.1.4) (5.1.3) 此為傅里葉級數(shù)展開 2021-7-2阜師院數(shù)科院 因此 .sin)( 1 ,cos)( 1 d l k f l b d l k f l a l l k l l k k 其中 )0(1 )0(2 k k k (5.1.5) 此為傅里葉系數(shù) 此外，三角函數(shù)族還有完備性，即這個函數(shù)族足夠展開任何周期函數(shù)。 函數(shù)和級數(shù)并不完全是一個東西，例如冪級數(shù)就有收 斂域的問題。故必須討論它們在什么條件下完全一致 狄里希利定理 若函數(shù) f(z) 滿足條件 (1) 處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個 第一類間斷點；(2) 在每

4、個周期內只有有限個極值點，則三角級數(shù) (5.1.3) 收斂，且 )().0()0( 2 1 )(),( )3 . 1 . 5( xxfxf xxf 在間斷點 在連續(xù)點 2021-7-2阜師院數(shù)科院 例交流電壓 經(jīng)過半波整流后的傅立葉級數(shù)。 tEtEsin)( 0 解周期為 2 , 0sin 0 ,0 )( 0 tE tE .sincos)( 1 0 tkbtkaatE k kk , 2 sin 2 sin0 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 00 E tdtEtdtEdta / 0 0 / 0 0 )1sin()1sin( 2 cossin 1 tdtktk E tdtktEak , 0

5、2cos 4 2sin 2 / 0 0 / 0 0 1 t E tdt E a .2 )2(1 2 120 1 1 1 ) 1( 1 1 1 ) 1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 2 0 11 0 / 0 0 / 0 0 nk n E nk kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k -10-5510 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2021-7-2阜師院數(shù)科院 , 2 0 1 E b 和0 k b .2cos )2(1 12 sin 2 )( 1 2 000 n tn n E t EE tE 頻譜 頻率 0 2 46

6、0 2E 幅度 2 0 E 3 2 0 E 35 2 0 E 15 2 0 E 各個頻率分量的幅度 通常，函數(shù) f(t) 表示某系統(tǒng)的按時間變 化的性質，叫在時域中的表示的性質。 而頻譜表示這種性質在頻域中的表示。 因此，傅里葉級數(shù)也是一種從時域到頻域的變換。 2021-7-2阜師院數(shù)科院 2.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開 l xk sin 是奇函數(shù)， l xk cos 是偶函數(shù)。 故 奇函數(shù) f(z) 有 ,sin)( 1 l xk bxf k k 其中 .sin)( 1 d l k f l b l l k 偶函數(shù) f(z) 有 ,cos)( 1 0 k k l xk aaxf 其中.cos)

7、( 1 d l k f l a l l k k 例 )(xf x 1 1 0 2 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( mm mm xf 周期 2 矩形波 奇函數(shù) 2021-7-2阜師院數(shù)科院 ,sin)( 1 l xk bxf k k . 12 4 ,20 ) 1( 2 cos 2 sin)( 2 0 nk k nk k k k d l k fb k l l k .)12sin( )12( 4 )( 0 xn n xf n 頻域中的圖示由你們給出 2021-7-2阜師院數(shù)科院 3. 有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開 f(x) 定義于 (0, l). 可以認為它是某個周期為 2l 的

8、函數(shù)在半個周期中的部分。即令此周 期函數(shù)為 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 這種做法叫延拓。 例 )(),(xgxf x )(),(xgxf x 偶延拓 )1 ,0(,)(xxf 奇延拓 2021-7-2阜師院數(shù)科院 4. 復數(shù)形式的的傅里葉 , 1 , l xk i l x i l x i l xk i eeee i ee ee l xk l xk l xk i l xk i l xk i l xk i 2 2 sin cos ,)( k l xk i ke cxf 其中 . )( 2 1 * def l c l xk il l k 例 矩形波 )2 ,) 12

9、(1 ) 12( ,2(1 )( mm mm xf,)( k ikx ke cxf ).12( ) 12( 2 )2(0 1) 1() 1(1 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 0 0 0 0 nk ni nk ik e ik e ik dededefc kkikxikx ikxikxikx k , 12 12 )( )12( n xni e ni xf 2021-7-2阜師院數(shù)科院 5.2 傅里葉積分與傅里葉變換 周期函數(shù)變?yōu)楦道锶~級數(shù)，被看作周期函數(shù)從時域到頻域的變換。不過， 由于時域的函數(shù)具有周期性，頻域的函數(shù)是離散的級數(shù)。如果時域的函數(shù) 失去

10、周期性，到頻域的變換如何實現(xiàn)？頻域的函數(shù)形式又是什么樣的呢？ 有限區(qū)間的函數(shù)可以延拓為周期函數(shù)。因此，失去周期性的時域中的函數(shù)的定義域當 為 。從方便于研究而言，它又可以看作為周期趨于無窮大的函數(shù)。 x 設 g(x) 為周期函數(shù)，有如下傅里葉展開 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxg k kk 令： , 1 ll k kkkk .sincos)( 1 0kk k kkk xbxa l axg 則 .sin)( 1 ,cos)( 1 df l b df l a k l l k k l l k k (5.2.1) 1. 傅里葉積分 2021-7-2阜師院數(shù)科院 若 有限，則

11、 df l ll )(lim . 0)( 2 1 limlim 0 df l a l lll .coscos)( 1 coscos)( 1 lim coscos)( 1 lim 0 1 0 1 xddf xdf xdf l l k k kk l l k k kk l l k l k (5.2.1)中的余弦部分的 極限為： 同理，正弦部分的極限 為： .sinsin)( 1 sinsin)( 1 lim 0 1 xddf xdf l l k kkk l l k l 故 ,sin)(cos)()( 00 xdBxdAxf 其中 .sin)( 1 )(,cos)( 1 )( dfBdfA (5.2.

12、4) (5.2.5) 2021-7-2阜師院數(shù)科院 (5.2.4) 是 f(x) 的傅里葉積分，(5.2.5) 為它的傅里葉變換。 )(),()(BAxf 為某函數(shù)從時域到頻域的變換。頻域中的函數(shù)可能是連續(xù)的。 傅里葉積分定理：若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 上滿足條件(1) 在任意有限區(qū)間滿足狄 里希利條件；(2) 在區(qū)間 上絕對可積（即 收斂），則f(x) 可表為 傅里葉積分，且 傅里葉積分值= 。2/)0()0(xfxf ),( ),( dxxf)( 2. 振幅譜和相位譜 又可寫 ,)(cos)()( 0 dxCxf ).(/)()( ,)()()( 1 22 ABtg BAC )( )( C

13、 為振幅譜 為相位譜 3. 奇、偶函數(shù) .cos)( 2 )( ,cos)()( 0 0 dfA xdAxf .sin)( 2 )( ,sin)()( 0 0 dfB xdBxf 偶函數(shù)奇函數(shù) 2021-7-2阜師院數(shù)科院 例 ). 2 1 (, 0 ), 2 1 (, 1 x x rectx 定義矩形函數(shù)為 0 1 2 1 2 1 )(xf x 將矩形脈沖 展開作傅里葉積分。)2/()(Ttrecthtf 0 h TT )(tf t 偶函數(shù) 0 cos)()(xdAxf . sin2 cos 2 cos)( 2 )( 0 T dh dfA T (1) 246810 -0.2 0.2 0.4

14、0.6 0.8 1 2021-7-2阜師院數(shù)科院 4. 復數(shù)形式的傅里葉積分 .)( )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 2 )( 2 )( sin)(cos)()( 0 0 00 00 00 deF deiBAdeiBA deiBAdeiBA d i ee Bd ee A xdBxdAxf xi xixi xixi xixixixi )0().()( 2 1 )0(),()( 2 1 )( iBA iBA F dxexfF xi * )( 2 1 )( 表示為 )()(xfFF)()( 1 Fxf F )(xf 原函數(shù) 像函數(shù))(F F 原函數(shù)到像函 數(shù)的

15、正變換 1 F 像函數(shù)到原函 數(shù)的反變換 2021-7-2阜師院數(shù)科院 例同前例 . sin 22 )2/( 2 1 )( Th e i h dte h dteTtrecthxf T T ti T T ti ti F 5. 傅里葉變換的基本性質 (1) 導數(shù)定理導數(shù)定理)()( FixfF 證明： ).()()()( )()( 2 1 )( 2 1 )( Fidxexfidxexf dxexfexf dxe dx xdf xf xixi xixi xi F 0)(lim xf x # (2) 積分定理積分定理 )( 1 )( )( F i dxxf x F )()( )( xdxxf x 記

16、)()( xfx )()( xixFF )( 1 )(x i x FF 則 由導數(shù)定理 即 # 2021-7-2阜師院數(shù)科院 (3) 相似性定理相似性定理 )( 1 )( a F a axf F 通常將變換 f(x) f(ax) 稱為相似變換，它將 測量的尺子的單位改變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相 應地，測量的長度值變?yōu)樵档?a 倍，而保持 函數(shù)的形式不變。有時也叫尺度變換。 證明 ).( 1 )( 2 1 1 1 )( 2 1 )( 2 1 )( a F a dyeyf a dy a eyfdxeaxfaxf a y i a y i axy xi F # (4) 延遲定理延遲定理 )()( 0

17、0 Fexxf xi F x 看作時間，記時由 x 到 x-x0 表示提 前了 x0。記作“延遲”是習慣說法。 證明 ).()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 00 0 0 00 Fedyeyfe dyeyfdxexxfxxf xiyixi xiyi xxy xi F # (5) 位移定理位移定理 )()( 0 0 Fxfe xi F 頻域的位移 證明 ).()( 2 1 )( 0 )( 00 Fdxexfxfe xixi F # 2021-7-2阜師院數(shù)科院 (6) 卷積定理卷積定理 原函數(shù)的卷積與像函數(shù)的乘積間的關系 )()( 11 FxfF)()( 22 FxfF若和 則 )

18、()(2)()( 2121 FFxfxfF 證明 卷積： ).()(2)( 2 1 )( 2 1 2 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2121 21 2121 FFdyyfedef ddyyfeef dxedxffxfxf yii yii xy xi F dxff xfxf )()( )()( 21 21 # 2021-7-2阜師院數(shù)科院 6. 多重傅里葉積分 一維變換到高維空間中的變換 三維 ,),(),( 321 )( 321 321 dkdkdkekkkFzyxf zkykxki .),( )2( 1 ),( )( 3 321 321 dxdydzezyxfkkkF zkykxki 矢量表示 ,)()(kdekFrf rk i .)( )2( 1 )( 3 rderfkF rk i zyx,相互獨立 321 ,kkk 也相互獨立 2021-7-2阜師院數(shù)科院 小結 1.周期函數(shù)的傅里葉展開 周期為 2l 的函數(shù) f(x) 滿足)()2(xflxf 對應方程：有邊界條件 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk l l l l l l l l l l dx l xn l xk nkdx l xn l xk nkd