2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章第五節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)教案文（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第五節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域rx|x0x|x0值域y|y0y|y0yy0奇偶性奇非奇非偶單調(diào)性(，0)減，(0，）增增(，0）和(0,)減公共點（1，1)2二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：f（x)ax2bxc（a0）；（2）頂點式：f（x）a(xm）2n（a0)；（3)零點式：f(x)a(xx1）（xx2)(a0）3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f（x）ax2bxca0a0圖象定義域r值域單調(diào)性在上遞減，在上遞增在上遞增，在上遞減奇偶性b0時為偶函數(shù),b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點對稱軸：x;

2、頂點：小題體驗1已知冪函數(shù)yf（x)的圖象過點（9,3），則函數(shù)的解析式為_答案：f(x）x （x0)2（2019天一中學(xué)高三測試）已知點p1(x1，2 019）和p2(x2，2 019)在二次函數(shù)f（x）ax2bx9的圖象上，則f(x1x2)的值為_答案：93已知f(x）ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1,2a，則yf（x）的值域為_答案:1對于函數(shù)yax2bxc，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況2冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時

3、出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點小題糾偏1已知函數(shù)f（x）ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是_答案：2給出下列命題：函數(shù)y2x是冪函數(shù)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點;當(dāng)n0時,冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù)；二次函數(shù)yax2bxc，xm，n的最值一定是。其中正確的是_（填序號）答案：題組練透1（2018蘇州高三期中調(diào)研)已知冪函數(shù)yx2mm2(mn）在（0，）是增函數(shù),則實數(shù)m的值是_解析:由題意知2mm20，解得0m2,因為mn*,所以m1。答案：12(2019常州一中檢測）已知函數(shù)f（x）(3m）x2m5是冪函數(shù),則f_。解析：函數(shù)

4、f（x）（3m）x2m5是冪函數(shù)，則3m1，解得m2，f(x）x1，f2.答案：23若(a1）(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：易知函數(shù)yx的定義域為0,)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a。答案：謹記通法冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系(1）冪函數(shù)的形式是yx（r)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)若冪函數(shù)yx(r）是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)當(dāng)是分數(shù)時，一般將其先化為根式,再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則0，若在(0,）上單調(diào)遞減，則0。典例引領(lǐng)已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2）1，f（1）1，且f（x）的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式解：法一:(利用

5、一般式）設(shè)f（x）ax2bxc（a0）由題意得解得故所求二次函數(shù)為f（x）4x24x7.法二：（利用頂點式）設(shè)f(x)a（xm）2n。因為f(2）f(1)，所以拋物線對稱軸為x.所以m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n8，所以yf（x）a28。因為f（2）1，所以a281，解得a4，所以f(x)4284x24x7.法三：（利用零點式)由已知f（x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f（x）1a(x2）(x1),即f(x)ax2ax2a1。又函數(shù)有最大值ymax8，即8。解得a4或a0(舍去),故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7。由題悟法求二次函數(shù)解析式的方法即時應(yīng)用1已知二次函數(shù)f（x）的

6、圖象的頂點坐標是（2，1），且圖象經(jīng)過點（1，0)，則函數(shù)的解析式為f（x)_。解析：法一：設(shè)所求解析式為f（x)ax2bxc(a0）由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x。法二：設(shè)所求解析式為f(x）ax2bxc（a0）由已知得解得所以所求解析式為f（x)x2x。法三：設(shè)所求解析式為f（x)a（xh）2k(a0）由已知得f（x)a（x2）21，將點（1，0）代入，得a，所以f（x)（x2)21，即f(x）x2x.答案：x2x2已知二次函數(shù)f（x)的圖象經(jīng)過點(4,3）,它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xr,都有f(2x）f(2x），求f(x)的解析式解：因為f(2x）f（2x)對x

7、r恒成立,所以f(x)的對稱軸為x2。又因為f（x)的圖象被x軸截得的線段長為2,所以f（x)0的兩根為1和3。設(shè)f(x)的解析式為f(x)a（x1）(x3)（a0)又因為f(x)的圖象過點(4,3),所以3a3,a1.所以所求f(x)的解析式為f（x）(x1)(x3）,即f（x）x24x3.鎖定考向高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯常見的命題角度有：（1）二次函數(shù)的單調(diào)性問題；（2)二次函數(shù)的最值問題;（3）二次函數(shù)中恒成立問題 題點全練角度一:二次函數(shù)的單調(diào)性問題1（2019江安中學(xué)測試)已知函數(shù)f（x）x2（a1)x5在區(qū)間上為增函數(shù),則f(2)的取

8、值范圍是_解析：函數(shù)f(x)的圖象（拋物線)開口向上，對稱軸為x,若函數(shù)f（x）在區(qū)間上為增函數(shù)，則，解得a2，所以f（2)4（a1)257,即f（2)7。答案：7,）角度二：二次函數(shù)的最值問題2（1)（2019蘇州測試）已知函數(shù)f（x)x2abxa2b，若f（0）4,則f(1)的最大值為_(2）已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0，1時，有最大值2，則a的值為_解析：（1)因為f(0）4,所以a2b4，即a42b，所以f（1)aba2b1ab5（42b）b52b24b52(b1）27，所以當(dāng)b1時，f（1）的最大值為7。(2)函數(shù)f（x）x22ax1a（xa)2a2a1，x0，1,對稱軸方程

9、為xa.當(dāng)a0時，f(x）maxf(0)1a，所以1a2，所以a1。當(dāng)0a1時，f（x）maxf(a）a2a1，所以a2a12,即a2a10，解得a（舍去)當(dāng)a1時,f（x)maxf（1)a，所以a2.綜上可知,a1或a2。答案:(1)7（2)1或2角度三：二次函數(shù)中恒成立問題3已知函數(shù)f(x）x22x1，f（x)xk在區(qū)間3,1上恒成立，則k的取值范圍為_解析：由題意得x2x1k在區(qū)間3，1上恒成立設(shè)g(x）x2x1，x3，1，g(x)在3，1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1）1。k1。故k的取值范圍為（，1)答案：（，1）通法在握1二次函數(shù)最值問題的3種類型及解題思路（1）類型：對稱軸、區(qū)

10、間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定;對稱軸定、區(qū)間變動（2)思路：抓“三點一軸”，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸2由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的2大思路及1個關(guān)鍵(1)思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2）關(guān)鍵：兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是:af(x)恒成立af(x)max,af（x）恒成立af(x)min。演練沖關(guān)已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5，5(1)當(dāng)a1時,求函數(shù)f（x)的最大值和最小值;（2）求實數(shù)a的取值范圍,使yf（x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)解：(1）當(dāng)a1時，f（x)x22x2(x1）21，x

11、5,5，所以當(dāng)x1時，f(x）取得最小值1；當(dāng)x5時，f（x）取得最大值37。(2)函數(shù)f(x)（xa)22a2的圖象的對稱軸為直線xa，因為yf(x)在區(qū)間5，5上是單調(diào)函數(shù),所以a5或a5,即a5或a5。故a的取值范圍是（，55,）一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018清河中學(xué)檢測)已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點,則k_.解析：由冪函數(shù)的定義知k1。又f，所以，解得，從而k.答案:2(2019連云港調(diào)研)若函數(shù)f(x)x22（a1）x2在（，4)上為增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：f（x)x22(a1）x2的對稱軸為xa1，f(x)x22（a1）x2在（，4）上為增函數(shù)，對稱軸xa1

12、4，a5.答案:5，）3（2018淮陰模擬)已知函數(shù)f（x)x2m是定義在區(qū)間3m，m2m上的奇函數(shù)，則f(m)，f（0)的大小關(guān)系為_解析：因為函數(shù)f(x）是奇函數(shù)，所以3mm2m0，解得m3或1.當(dāng)m3時，函數(shù)f(x)x1，定義域不是6,6，不合題意;當(dāng)m1時，函數(shù)f（x）x3在定義域2,2上單調(diào)遞增，又m0,所以f(m)f（0)答案：f（m)f(0）4已知函數(shù)f(x）x2xm,若f（x）在區(qū)間0,1上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：因為f(x）x2xm,且f(x)在區(qū)間0，1上單調(diào)，所以f(x）在0,1上滿足f（0）f（1)0，即m（11m)0，解得m0或m2。答案：（，20,)5若二

13、次函數(shù)f(x）x24xt圖象的頂點在x軸上，則t_。解析：由于f（x）x24xt（x2）2t4圖象的頂點在x軸上，所以f(2)t40，所以t4.答案:46（2019杭州測試)若函數(shù)f（x）x22x1在區(qū)間a,a2上的最小值為4,則實數(shù)a的取值集合為_解析：因為函數(shù)f(x）x22x1(x1)2的圖象的對稱軸為直線x1，f(x)在區(qū)間a，a2上的最小值為4,所以當(dāng)a1時,f（x）minf(a)（a1)24,a1(舍去)或a3；當(dāng)a21，即a1時,f(x）minf（a2)(a1)24，a1（舍去）或a3；當(dāng)a1a2，即1a1時,f（x）minf(1）04.故a的取值集合為3，3答案:3,3二保高考，

14、全練題型做到高考達標1(2019海安中學(xué)檢測）已知冪函數(shù)f(x）x,其中。則使f(x）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,)上是單調(diào)增函數(shù)的的取值集合為_解析：若冪函數(shù)f（x)為奇函數(shù),則1,1,3，又f（x）在區(qū)間（0，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以的取值集合為1,3答案：1，32（2019武漢調(diào)研）已知冪函數(shù)f(x）xm24m （mz)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在區(qū)間(0，)上為減函數(shù),則m的值為_解析：冪函數(shù)f（x)xm24m （mz）在區(qū)間（0，)上為減函數(shù),m24m0，解得0m4。又mz，m1或m2或m3。當(dāng)m1時，f(x）x3，圖象不關(guān)于y軸對稱；當(dāng)m2時,f（x)x4，圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)m3時，f(x

15、)x3,圖象不關(guān)于y軸對稱綜上，m的值為2.答案：23若關(guān)于x的不等式x24x2a0在區(qū)間（1，4）內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析:不等式x24x2a0在區(qū)間（1，4)內(nèi)有解等價于a(x24x2）max，令f（x）x24x2，x(1，4),所以f（x）f（4)2,所以a2.答案:（,2)4（2018泰州中學(xué)調(diào)研)已知f(x）是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x22x1，不等式f（x23)f（2x）的解集為_解析:根據(jù)題意，f（x)是定義在r上的奇函數(shù)，則有f(0）0，當(dāng)x0時，f(x)x22x1（x1）2為減函數(shù)，則當(dāng)x0時,f(x)也為減函數(shù),綜上可得f（x)在r上為減函數(shù),若f（

16、x23）f(2x)，則有x232x,解得1x3，即不等式f(x23）f(2x）的解集為（1，3)答案：（1,3)5若函數(shù)f(x)x223 （常數(shù)z)為偶函數(shù)，且在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù),則的值為_解析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì),要使函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則223為偶數(shù)，且2230,解不等式可得13.因為z，所以0,1,2。當(dāng)0時,2233，不滿足條件；當(dāng)1時,2234，滿足條件；當(dāng)2時，2233，不滿足條件，所以1。答案:16若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m,值域為,則m的取值范圍是_解析：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x，且f，f（3)f（0）4，由圖得m.答案：7對于任意

17、實數(shù)x,函數(shù)f(x)(5a）x26xa5恒為正值，則a的取值范圍是_解析：由題意可得解得4a4.答案：（4,4）8（2019南通一調(diào)）若函數(shù)f（x)ax220x14（a0)對任意實數(shù)t，在閉區(qū)間t1，t1上總存在兩實數(shù)x1，x2,使得f(x1）f（x2）|8成立，則實數(shù)a的最小值為_解析:由題意可得，當(dāng)xt1，t1時，f（x)maxf(x)minmin8，當(dāng)t1，t1關(guān)于對稱軸對稱時，f（x）maxf(x）min取得最小值,即f(t1)f（t)2ata208，f（t1)f（t）2ata208，兩式相加,得a8,所以實數(shù)a的最小值為8。答案：89已知冪函數(shù)f(x）x（mn)（1)試確定該函數(shù)的定

18、義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性(2)若該函數(shù)f（x)的圖象經(jīng)過點（2，），試確定m的值，并求滿足條件f（2a）f（a1）的實數(shù)a的取值范圍解：（1）因為m2mm(m1）（mn）,而m與m1中必有一個為偶數(shù),所以m2m為偶數(shù)，所以函數(shù)f(x)x(mn）的定義域為0,）,并且該函數(shù)在0，）上為增函數(shù)(2）因為函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(2，)，所以2,即22，所以m2m2，解得m1或m2。又因為mn*，所以m1，f(x）x。又因為f(2a）f（a1)，所以解得1a,故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點（2，)時，m1.滿足條件f（2a)f（a1)的實數(shù)a的取值范圍為.10（2019啟東檢測)已知ar，

19、函數(shù)f（x）x22ax5。(1)若a1，且函數(shù)f(x）的定義域和值域均為1，a，求實數(shù)a的值；（2)若不等式xf(x)x21對x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解：（1)因為f(x）x22ax5的圖象的對稱軸為xa（a1),所以f（x）在1，a上為減函數(shù)，所以f（x）的值域為f（a）,f（1）又已知值域為1，a，所以解得a2。（2）由xf(x）x2|1，得a.（）令t,t2,3，則（)可化為t2tat2t.記g(t)t2t2，則g(t）maxg，所以a；記h(t）t2t2，則h（t)minh(2）7，所以a7，綜上所述,a7。所以實數(shù)a的取值范圍是.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2019金陵中學(xué)期中)設(shè)f(x)與g（x)是定義在同一區(qū)間a,