高一數(shù)學教案：平面向量的坐標運算和數(shù)量積教案

1、【課題】平面向量基本定理【教學目標】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；3.能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.【教學重點】平面向量基本定理【教學難點】平面向量基本定理的理解與應用【教學過程】一.復習引入實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）|=|；（2）0時與方向相同；0時與方向相反；=0時=2運算定律結合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3.向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.4.由火箭升空和小練習:

2、已知向量，,求作向量-2.5+3引入二.新課講解1平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使其中我們把不共線的向量，叫做表示這一平面所有向量的一組基底。注：，均非零向量； ，不唯一（事先給定）； ，唯一；時，與共線；時，與共線；時，一個平面向量用一組基底表示成的形式,稱它為向量的分解.當所在直線互相垂直時這種分解稱為的正交分解.2例題分析：例1.書例1變式練習:1.已知的對角線交于點C,且.如果,試用表示.2.已知中,M,N分別是DC,BC的中點且用表示.例2. 書例3.變式練習:1.如果向量與共線,求.2.如果其中為基底,向量問是

3、否存在這樣的實數(shù)和,使與共線?例3. 書例2.【課堂小結】1.熟練掌握平面向量基本定理；2會應用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的幾何表示。【課后作業(yè)】【課題】平面向量的坐標運算【教學目標】1理解向量的坐標表示法,掌握平面向量與一對有序實數(shù)一一對應關系；2正確地用坐標表示向量，對起點不在原點的平面向量能利用向量相等的關系來用坐標表示；3掌握兩向量的和、差,實數(shù)與向量積的坐標表示法?！窘虒W重點】平面向量的坐標運算【教學難點】向量的坐標表示的理解及運算的準確性【教學過程】一.復習：1平面向量的基本定理：；2在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對實數(shù)表示，那么，每一個向量可

4、否也用一對實數(shù)來表示？二.新課講解：1向量的坐標表示的定義：分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對于任一向量，（），實數(shù)對叫向量的坐標，記作其中叫向量在軸上的坐標，叫向量在軸上的坐標。說明：（1）對于，有且僅有一對實數(shù)與之對應；（2），；（3）從原點引出的向量的坐標就是點的坐標。2.(1)如，,則等價于.(2)已知向量，且點，則3.坐標運算:已知，(1)(2)(3)例1.已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為、，求頂點的坐標。變式練習:1.已知,以為一組基底來表示向量.2.設向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向線

5、段首尾相接能構成四邊形，則向量d為( )3.設點P在平面上做勻速直線運動,速度向量,設起始P(-10,10),則5秒鐘后點P的坐標為( ).例2.書例4.變式練習:設滿足(1)為何值時,點P在直線上?(2)設點P在第三象限,求的范圍.【課堂小結】1正確理解平面向量的坐標意義；2掌握平面向量的坐標運算；3能用平面向量的坐標及其運算解決一些實際問題【課后作業(yè)】【課題】向量平行的坐標表示【教學目標】1掌握兩向量平行時坐標表示的充要條件；2能利用兩向量平行的坐標表示解決有關問題?！窘虒W重點】平面向量的坐標運算【教學難點】利用向量平行的坐標表示解題【教學過程】一.復習1.平面向量的坐標運算2.向量與非零

6、向量平行的充要條件是：.二.新課向量平行的坐標表示：設，（），且，則，.，.歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達形式：；且設，（）例1.已知，且，求.變式練習:1.已知,且,求.2.已知,當實數(shù)為何值時,向量與平行?并確定它們是同向還是反向.例2.已知，求證、三點共線.變式練習:1.如三點A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,求m.2.如果,且A,B,C三點共線,求k.3.已知A(-1,6),B(3,0),在直線AB上求一點P,使4.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)(1)求AC和BD交點的坐標.(并據(jù)此法推導三角形重心的坐標公式)(2)求證四邊形ABCD

7、是梯形.例3.已知是坐標原點,點滿足,其中,求點的軌跡方程.【課堂小結】1.熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達形式；2會用平面向量平行的充要條件的坐標形式證明三點共線和兩直線平行；3明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同?！菊n后作業(yè)】【課題】平面向量的數(shù)量積【教學目標】1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律，3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.【教學重點】平面向量的數(shù)量積定義【教學難點】平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用【教學過程】一.復習引入：1向量共線定理2平面向量基本定理3平面向量的

8、坐標表示4平面向量的坐標運算5 ()的充要條件是x1y2-x2y1=06. 物理課中，物體所做的功的計算方法：（圖1）（其中是與的夾角）二.新課講解：1向量的夾角：已知兩個向量和（如圖2），作，則（）叫做向量與的夾角。（圖2）當時，與同向；當時，與反向；當時，與的夾角是，我們說與垂直，記作2向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即說明：兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關實數(shù)與向量的積與向量數(shù)量積的本質(zhì)區(qū)別：兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量；實數(shù)與向量的積是一個向量；規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積是3.數(shù)量積的性質(zhì)

9、：設、都是非零向量，是與的夾角，則；當與同向時，；當與反向時，；特別地：或；若是與方向相同的單位向量，則4.數(shù)量積的運算律已知a，b，c和實數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律：abba (交換律)(a)b (ab)a(b) (數(shù)乘結合律)(ab)cacbc (分配律)說明：(1)一般地，(ab)ca(bc)(2)acbc，c0ab(3)有如下常用性質(zhì)：a2a2，(ab)(cd)acadbcbd(ab)2a22abb2例1. 已知：a3，b6，當ab，ab，a與b的夾角是135時，分別求ab.變式練習:1.已知a8，b10，ab16，求a與b的夾角.2.已知，,且的夾角為(1)求 (2)當為何值時

10、,向量與平行?垂直?例2.已知正的邊長為，設，求變式練習:1. 已知，且，求2.已知是兩個非零的向量且,求與的夾角.【課堂小結】要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運算規(guī)律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的幾個重要性質(zhì)解決相關問題.【課后作業(yè)】【課題】平面向量數(shù)量積的坐標表示【教學目標】1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示2.掌握向量垂直的坐標表示的充要條件【教學重點】面向量數(shù)量積的坐標表示及由其推出的重要公式【教學難點】向量數(shù)量積坐標表示在處理有關長度、角度、垂直問題中的應用【教學過程】一.復習：1兩平面向量垂直的充要條件；2兩向量共線的坐標表示；3軸上單位向量，軸上單位向量，則：，二.

11、新課講解：1向量數(shù)量積的坐標表示：設，則.從而得向量數(shù)量積的坐標表示公式：2長度、夾角、垂直的坐標表示：長度： ；兩點間的距離公式：若，則；夾角：；垂直的充要條件：，即（注意與向量共線的坐標表示的區(qū)別）例1.設，求變式練習:1.已知a(1，)，b(1，1)，則a與b的夾角是多少?2.已知，,且求(1) (2)與的夾角.3.書例3.例2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，試判斷ABC的形狀，并給出證明.變式練習:1. 如圖，以原點和為頂點作等腰直角，使，求點和向量的坐標。AOBBB解：設，則， ，即：，又， ， 即：，由或，或， 2. 在ABC中，(1，1)，(2，k)，若ABC中

12、有一個角為直角，求實數(shù)k的值.3.已知,如果與的夾角為鈍角,求的取值范圍.【課堂小結】【課后作業(yè)】【課題】習題課1.在ABC中，a，b，且ab0，則ABC的形狀是( )2. 已知a，b，c兩兩垂直，且|a|1，|b|2，|c|3，求rabc的長及它與a，b，c的夾角的余弦.3.與向量平行的單位向量是( )4.已知,是不平行于軸的單位向量,且,則=( )例1.四邊形ABCD中，a，b，c，d，且abbccdda，試問四邊形ABCD是什么圖形?例2. 已知a、b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.例3.如果且,又與是兩個不同時為零的實數(shù)(1)如與向量垂直,求關于的函數(shù)關系式(2)求函數(shù)的值域.例4.設函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點（）求實數(shù)的值；（）求函數(shù)的最小值及此時值的集例5.已知點A(2,0),B(0,2),點為坐標原點.(1)如果,求與的夾角(2)如果,求的值.【課題】平面向量的應用【教學目標】1.能用向量解決幾何問題2.能用向量解決簡單的物理問題【教學過程】例1.如圖