高中數(shù)學(人教版)空間曲線及其方程課件

1、第七講 空間曲線及其方程 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影 空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線, , 其一般方程為方程組其一般方程為方程組 0),( 0),( zyxG zyxF 例如例如, ,方程組方程組 632 1 22 zx yx 表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線C. . 2 S L 0),(zyxF 0),(zyxG 1 S x z y1 o C 2 表示上半球面與圓柱

2、面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. . 0 22 222 xayx yxaz y x z a o 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影 z yx o 將曲線將曲線C上的動點坐標上的動點坐標x, ,y, ,z表示成參數(shù)表示成參數(shù)t的函數(shù)的函數(shù): : 稱為空間曲線的稱為空間曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程. . )(txx v bt,令 bz ay ax sin cos ,2 時當 bh2 taxcos taysin t

3、 vz 例如例如, ,圓柱螺旋線圓柱螺旋線的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 上升高度上升高度, ,稱為螺距稱為螺距 . . )(tyy )(tzz M 632 1 ) 1 ( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù), , txcos tysin )cos26( 3 1 tz (2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)( 4 22 2 2 aa yx 故所求為故所求為 得所求為得所求為 tx aa cos 22 ty a sin 2 tazcos 2 1 2 1 )20( t )20( t u例例1 1 求空間曲線求空間

4、曲線 : : )(tx )(ty )(tz )( t繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 時的旋轉(zhuǎn)曲面方程時的旋轉(zhuǎn)曲面方程 . . 解解: : ,)(, )(, )( 1 tttM任取點點點M1 1繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), , 轉(zhuǎn)過角度轉(zhuǎn)過角度 后到點后到點 , ),(zyxM則則 cos)()( 22 ttx sin)()( 22 tty )(tz 20 t 這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . . u例例2 1x ty tz2 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos1 2 tx sin1 2 ty tz2 20 t 消去消去t 和和 , , 得得旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)

5、曲面方程為 4)(4 222 zyx x z o y 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面( (即球面即球面) )方程為方程為 sinax 0y cosaz cossinax sinsinay cosaz )0( 20 0 說明說明: :一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù)一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù), ,形如形如 ),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影 空間曲線空間曲線C的一般方程的一般方程 投影柱面投影柱面 C在在xoy面上的投影曲線面上的投影曲線 消去消去x得得C在在yoz面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程 消去消去y得得C在在zox面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程 0),( 0),( zyxG zyxF ,0),(yxH 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT z y x C C 消去消去z z y x C 1 o 在在xoy面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為 0 022 22 z yyx 1) 1() 1( 1 :