從梯子的傾斜程度談起(公開課)

1、情 境 引 入 墻外有墻外有 更好玩更好玩 的嗎？的嗎？ 情 境 導(dǎo) 入 運城市實驗中學運城市實驗中學 王王 鳳鳳 情 境 導(dǎo) 入 鉛直高鉛直高 度度 水平寬度水平寬度 梯子與地梯子與地 面的夾角面的夾角 （傾斜角）（傾斜角） w小麗的問題小麗的問題, ,如圖如圖: E F A B 2.5m2m 5m 5m A BCD E F 梯子梯子AB和和EF哪個更陡？哪個更陡？ 生活問題數(shù)學化 梯子梯子AB更陡更陡 5m 2m 5m 2.5m w小明的問題小明的問題, ,如圖如圖: 2m 3m D E F2m 5m A BC 梯子梯子AB和和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？哪個更陡？你是怎樣判斷的？ 生活

2、問題數(shù)學化 2.5m2m 5m 5m A BCD E F 梯子梯子AB更陡更陡 2m 5m A BC2.5m 5m D E F 2m 3m D E F 方法一：觀察比方法一：觀察比 較，度量比較較，度量比較 2m 5m A BC 方法二：一直角方法二：一直角 邊相等，比較另邊相等，比較另 一直角邊一直角邊 梯子梯子AB與與EF哪個更陡一些？你有幾種方法？哪個更陡一些？你有幾種方法？ 合 作 探 究 方法三：比較兩方法三：比較兩 直角邊的比值直角邊的比值 522.5 52.52 AB 522.5 321.5 AB w小穎的問題小穎的問題, ,如圖如圖: 1.5m 4m A BC 1.3m 3.5

3、m D E F 梯子梯子AB和和EF哪個更陡？哪個更陡？ 比值越大，傾斜角越大，傾斜程度越大比值越大，傾斜角越大，傾斜程度越大 1.54 3.5 2.67 EF 1.3 2.69 自 主 探 究 w小亮的問題小亮的問題, ,如圖如圖 : : 2m 4m A BC3m 6m D E F 24 6 =2 一樣陡一樣陡 3=2 自 主 探 究 梯子梯子ABAB和和EFEF哪個更陡？你是怎樣判斷的哪個更陡？你是怎樣判斷的？ 比值一樣，傾斜角一樣，傾斜程度一樣比值一樣，傾斜角一樣，傾斜程度一樣 若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳 的距離的距離B B1 1

4、 C C1 1 , ,進而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該進而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該 怎么辦？你有什么錦囊妙計？怎么辦？你有什么錦囊妙計？ A AC C1 1 C C2 2 B B2 2 B1 1 勇 于 發(fā) 現(xiàn) C C2 2 B B2 2 A B1 C1 C2 B2 (1)(1)直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ? 相似相似 (2) (2) 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ? 1 11 AC CB 2 22 AC CB 相等相等 勇 于 發(fā) 現(xiàn) B A B1 C1 C2 B2 (3)(3)如果改變?nèi)绻淖?/p>

5、B B2 2在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? ?由此由此 你能得出什么結(jié)論你能得出什么結(jié)論? ? C C2 2 B B2 2 C C2 2 B B2 2 C C2 2 B B2 2 結(jié)論：仍能得到結(jié)論：仍能得到 1 11 AC CB 2 22 AC CB = 深入探究：深入探究：如果如果改變改變AA 的大小的大小, , AA的對邊與鄰邊的比值會隨之改變嗎的對邊與鄰邊的比值會隨之改變嗎? ? 即即AA的大小確定的大小確定, , 它的對邊與鄰邊的比它的對邊與鄰邊的比 值是確定的，與直角三角形的大小無關(guān)。值是確定的，與直角三角形的大小無關(guān)。 AA的大小改變的大小改變, , AA的對邊與鄰邊的比值隨

6、之的對邊與鄰邊的比值隨之 改變。改變。 勇 于 發(fā) 現(xiàn) 鄰邊 對邊 的的 的的 A A tanA=tanA= A B C A的對邊 A的鄰邊 在在RtRtABCABC中，中，銳角銳角A A的的對邊對邊與與鄰邊鄰邊之之比比 叫做叫做A A的正切的正切( (tangenttangent) )，記作，記作tanA.tanA. 正 切 定 義 注意順序注意順序：（：（ ）. 鄰 對 讀？讀？tndnt 2 2、tanAtanA中中常省常省去角的符號去角的符號“”“”。但。但BACBAC的正切表示為的正切表示為 : :tanBACtanBAC. .11的正切表示為的正切表示為: :tan1tan1. .

7、 3 3、tanAtanA0 且沒有單位且沒有單位，它表示一個比值。，它表示一個比值。 4 4、tanAtanA是一個完整的是一個完整的符號符號，不表示，不表示“tan”tan”乘以乘以“A”A”。 1 1、tanAtanA是是在直角三角形在直角三角形中定義的中定義的, ,AA是一個是一個銳角銳角。 5 5、tanAtanA的大小只與的大小只與A A的大小有關(guān)的大小有關(guān), ,而與而與直角三角形的邊長直角三角形的邊長無無 關(guān)。關(guān)。 A B C A的對邊 A的鄰邊 定義的理解 A AC C B w如圖如圖, ,梯子梯子ABAB的傾斜程度與的傾斜程度與tanAtanA有關(guān)嗎有關(guān)嗎? ? tanAta

8、nA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB越陡越陡. . 梯子梯子ABAB越陡，越陡，tanAtanA的值越大。的值越大。 即 學 即 用 1、鑒寶專家是真是假： (1).如圖 (1)( ). AC BC A tan A B C A B C 7m 10m (1) (2) (2).如圖 (2)( ). BC AC A tan (3).如圖 (2)( ). AB BC A tan (4).如圖 (2)( ). 7 10 tanB (5).如圖 (2)( ). mA7 . 0tan (6).如圖 (2) ( ). 7.0tan7.0tan ,7.0tan AA A 或 初 試 牛 刀 錯錯 錯錯 錯

9、錯 錯錯 錯錯 對對 2 2、如圖，在、如圖，在ACBACB中，中，C = 90C = 90， tanA = tanA = ；tanB = tanB = ； 若若AC = 4AC = 4，BC = 3BC = 3，則，則tanA = tanA = ；tanB =tanB = ； BC AC A B C 再 試 牛 刀 AC BC 3 4 4 3 發(fā)現(xiàn)： tanAtanB =_ 1 3.3.如圖如圖, C=90, C=90CDAB.CDAB. 4.4.在上圖中在上圖中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求tanAtanA的值的值. . A C BD .tanB ( ) ( )

10、 ( ) ( ) ( ) ( ) 達 標 檢 測 ACAC BCBC CDCD BDBD ADAD CDCD tanA 2 1 正切通常也用來描述山坡的坡度正切通常也用來描述山坡的坡度. . A B D 坡度越大，坡面越陡。坡度越大，坡面越陡。 6060米米 100100米米 tan A= = 0.6A= = 0.6 100 60 A C B C w坡面與水平面的夾角坡面與水平面的夾角()()稱為稱為坡角坡角, , w坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡坡 度等于坡角的正切度等于坡角的正切. . 有一山坡在水平方向上每前

11、進有一山坡在水平方向上每前進100m就升高就升高 60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度i(即即tanA)就是就是 老師提示 某人沿一斜坡的底端某人沿一斜坡的底端B B走了走了1010米到達點米到達點A A，此時點，此時點A A 到地面到地面BCBC的垂直高度的垂直高度ACAC為為6 6米，則斜坡米，則斜坡ABAB的坡度為的坡度為 多少？多少？ B A C 分析分析: : 坡度坡度 tanBtanB RtRtABC:ABC: BC AC 勾股定理求勾股定理求:BC:BC 6m 10m 實 際 應(yīng) 用 例例1 1、圖中表示甲、乙兩個手扶電梯，哪個手、圖中表示甲、乙兩個手扶電梯，哪個手 扶電梯比較陡

12、？扶電梯比較陡？ 5m 13m C B A 6m 8mEF D w解:甲梯中, w乙梯中, . 52 2 12 5 13 5 tan A A . 6 48 3 tanE E wtanEtanAtanEtanA,乙梯更陡. 甲梯甲梯 乙梯乙梯 例 題 賞 析 1 1、如圖、如圖, ,在在RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的對邊和鄰邊同時的對邊和鄰邊同時 擴大擴大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（ ） wA.A.擴大擴大100100倍倍 B.B.縮小縮小100100倍倍 wC.C.不變不變 D.D.不能確定不能確定 2 2、已知、已知A,BA,B為銳角為銳角 w(1)(1)

13、若若A=B,A=B,則則tanAtanA tanB;tanB; w(2)(2)若若tanAtanAtanB,tanB,則則A A B.B. A B C C = 達 標 檢 測 3 3、如圖、如圖,BD,BD是是ABCABC的角平分線的角平分線, ,你能判斷你能判斷ABCABC是是 什么三角形什么三角形? ?你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanCtanC嗎嗎? ? A B C 4 D 1.5 達標檢測 4 4、如圖、如圖, ,某人從山腳下的點某人從山腳下的點A A走了走了200m200m后到達后到達 山頂?shù)狞c山頂?shù)狞cB.B.已知山頂已知山頂B B到山腳下的垂直距離是到山腳下的垂

14、直距離是 55m,55m,求山坡的坡度求山坡的坡度( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.001m).0.001m). A B C 達 標 檢 測 解：在解：在RtABC中中,AB=200 BC=55 所以山的坡度為：所以山的坡度為： 286.0 36975 55 AC BC 答：山的坡度約為答：山的坡度約為.m 1.正切的定義: A B C A的對邊 A的鄰邊 w在RtABC中,銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的 正切,記作tanA,即 的鄰邊 的對邊 A A tanA=tanA= 2.正切的用途: 用以描述梯子、山坡等的傾斜 程度坡度（又稱坡比） .tan AC BC i 課 堂 小 結(jié) 通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？ 1.正切的定義: A B C A的對邊 A的鄰邊 w在RtABC中,銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的 正切,記作tanA,即 的鄰邊 的對邊 A A tanA=tanA= 2.正切的用途: 用以描述梯子、山坡等的傾斜 程度坡度（又稱坡比） .tan AC BC i 課 堂 小 結(jié) 通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？ 7 7、 如圖，如圖，RtRtABCABC是一是一 防洪堤壩迎水坡的橫截面圖，防洪堤壩迎水坡的橫截面圖， 斜坡斜坡ABAB的長為的長為12 m12 m，它的坡，它的坡 角為角為4545，為了提高該堤壩，為了提高該堤壩 的防洪能力，現(xiàn)將背