第8講 鏡像法

1、第八講第八講 鏡像法鏡像法 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電子工程學(xué)院電子工程學(xué)院 陳其科陳其科 第八講第八講 鏡像法鏡像法 第八講第八講 鏡像法鏡像法 鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像 導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 本講內(nèi)容本講內(nèi)容 第八講第八講 鏡像法鏡像法 幾個實例：幾個實例： 非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效等效 點電荷點電荷產(chǎn)生的電位替代。

2、產(chǎn)生的電位替代。 求解位于接地導(dǎo)體板附近的點電荷產(chǎn)生的電位求解位于接地導(dǎo)體板附近的點電荷產(chǎn)生的電位 問題的提出問題的提出 q q qq 非均勻感應(yīng)面電荷非均勻感應(yīng)面電荷 等效電荷等效電荷 第八講第八講 鏡像法鏡像法 鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。 幾個實例：幾個實例： 問題的提出問題的提出 接地導(dǎo)體球附近點電荷產(chǎn)生的電位接地導(dǎo)體球附近點電荷產(chǎn)生的電位 用用等效電荷等效電荷代替非代替非 均勻感應(yīng)電荷均勻感應(yīng)電荷 q q 非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷 qq 等效電荷等效電荷 等效點電荷一般位于點電荷關(guān)于分界面的鏡

3、像位置等效點電荷一般位于點電荷關(guān)于分界面的鏡像位置鏡像法鏡像法。 第八講第八講 鏡像法鏡像法 問題問題：這種等效電荷是否存在？：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？ 條件：條件： 回顧：回顧：靜電場的靜電場的惟一性定理惟一性定理 已知場域已知場域V 內(nèi)的自由電荷分布和電介質(zhì)特性內(nèi)的自由電荷分布和電介質(zhì)特性 結(jié)論：結(jié)論：場域場域V 內(nèi)的位函數(shù)具有惟一確定解。內(nèi)的位函數(shù)具有惟一確定解。 S S n 已知已知 場域場域V的邊界面的邊界面S上的上的 或或 的值的值 一、鏡像法原理一、鏡像法原理 方法：方法：在求解在求解區(qū)域外區(qū)域外設(shè)置等效電荷，替代設(shè)置等效電荷，替代邊界上邊界上

4、分布電荷的作用分布電荷的作用 目的：目的：將復(fù)雜邊值問題轉(zhuǎn)換為將復(fù)雜邊值問題轉(zhuǎn)換為無界均勻媒質(zhì)無界均勻媒質(zhì)空間的問題空間的問題 第八講第八講 鏡像法鏡像法 一、鏡像法原理一、鏡像法原理 根據(jù)根據(jù)唯一性定理唯一性定理，若鏡像電荷的引入滿足：，若鏡像電荷的引入滿足： u 電位函數(shù)仍然電位函數(shù)仍然滿足原方程滿足原方程（拉氏方程或泊松方程）（拉氏方程或泊松方程） u 電位分布仍電位分布仍滿足原邊界條件滿足原邊界條件 則可確保求得的解就是正確的。則可確保求得的解就是正確的。 引入鏡像電荷的引入鏡像電荷的兩條原則兩條原則： u 等效電荷必須位于所求解的場等效電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外區(qū)域以外的空間中；

5、的空間中； u像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小根據(jù)場區(qū)域的像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小根據(jù)場區(qū)域的邊界條件邊界條件 來確定。來確定。 ：像電荷的：像電荷的個數(shù)個數(shù)、位置位置及其及其電量電量 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點：鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點： 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定 明確明確等效求解的等效求解的“有效場域有效場域”。 第八講第八講 鏡像法鏡像法 等效問題與原問題在求解區(qū)域內(nèi)等效問題與原問題在求解區(qū)域內(nèi)邊界條件邊界條件及及電荷分布相同。電荷分布相同。由唯一由唯一 性定理，知解唯一正確。性定理，知解唯一正確。 二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像 1 1、點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點

6、電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 q q h 有效區(qū)域有效區(qū)域q q h h q 原電荷：原電荷： 鏡像電荷鏡像電荷: : ( (求解域外求解域外) ) , q h ,qq hh 第八講第八講 鏡像法鏡像法 1 1、點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 上半空間內(nèi)的電位分布為：上半空間內(nèi)的電位分布為： 11 ( , , )() 4 q x y z RR 222222 11 ()(0) 4 ()() q z xyzhxyzh 0 snn z DE nz 222 3/2 2 () qh xyh 2223/2 2 () ins s qh qdsdxdyq xyh 點電荷在

7、平面導(dǎo)體面上的點電荷在平面導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷電量與鏡像電荷電量相等感應(yīng)電荷電量與鏡像電荷電量相等。 接地導(dǎo)體分界面上感應(yīng)電荷分布接地導(dǎo)體分界面上感應(yīng)電荷分布 二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像 第八講第八講 鏡像法鏡像法 1 1、點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 思考思考 無限大導(dǎo)體平板不接地，鏡像電荷如何確定？無限大導(dǎo)體平板不接地，鏡像電荷如何確定？ 有限大接地導(dǎo)體平板問題，可否用鏡像法求解？有限大接地導(dǎo)體平板問題，可否用鏡像法求解？ q q h q q h 二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像 第八講第八講 鏡像法鏡像法 引入像電荷后滿足

8、原問題的邊界條件，引入像電荷后滿足原問題的邊界條件， 所得解正確。所得解正確。 2 2、無限長線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、無限長線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 h h l 有效區(qū)域有效區(qū)域 R R l x z h l 導(dǎo)體 等效問題：等效問題： ll zh 上半空間的電位分布為：上半空間的電位分布為： 11 ( , , )(lnln) 2 l x y zC RR 22 22 () ln(0) 2 () l xzh Cz xzh 二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像 第八講第八講 鏡像法鏡像法 3 3、點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

9、 要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零， 則必須引入則必須引入3 3個鏡像電荷。個鏡像電荷。 對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面 構(gòu)成的邊界，若夾角為構(gòu)成的邊界，若夾角為 ，則，則 所有所有鏡像電荷數(shù)目為鏡像電荷數(shù)目為2n-1個。個。 n d1 1 q d2 2 RR1 R2R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 123 qqqq 123 1111 () 4 q RRRR 電位：電位： q d 1 2 d 2 1 60 二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 1 1、

10、點電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點電荷位于接地導(dǎo)體球面外P q a r R d 1 () 4 qq RR ? dq問題問題： q P a q r R R d d 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q 來等效。來等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（不影響原應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（不影響原 方程），且在點電荷方程），且在點電荷q與球心的連線上，與球心的連線上， 距球心為距球心為d。則有。則有 點電荷點電荷q 位于半徑為位于半徑為a 的接地導(dǎo)體的接地導(dǎo)體 球外，距球心為球外，距球心為d 。 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 1 1、點電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點電荷位于接地

11、導(dǎo)體球面外 q P a q r R R d d 1 0 4 r a r a qq RR 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定 由鏡像法原理：鏡像電荷位于球內(nèi)區(qū)域，由鏡像法原理：鏡像電荷位于球內(nèi)區(qū)域， 且鏡像電荷與原電荷共同作用使得在球且鏡像電荷與原電荷共同作用使得在球 面上電位為面上電位為0 0，即：，即： 22 2cosRrdrd 22 2cosRrdrd 22 1 ( 4 2cos q adad 22 )0 2cos q adad r a 22222222 () ( )2 ()cos0adqadqa dqd q 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 1 1、點電荷位于接

12、地導(dǎo)體球面外、點電荷位于接地導(dǎo)體球面外 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定 22222222 () ( )2 ()cos0adqadqa dqd q 222222 22 () ( )0 2 ()0 adqadq a dqd q 2 ( a qq qq d a ddd d 或舍去） q P a q r R R d d 導(dǎo)體球面鏡像電荷導(dǎo)體球面鏡像電荷 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 1 1、點電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點電荷位于接地導(dǎo)體球面外 接地導(dǎo)體球邊界靜電問題接地導(dǎo)體球邊界靜電問題 q P a q r R R d d 22 1 4 2cos q rdrd 22 2

13、23 2 () 4 (2cos ) S r a q da ra adad 222 2 in 223 2 00 ()sin d d d 4(2cos ) S S q daaa qSq aadadd 導(dǎo)體球面上的總導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷也也與與所設(shè)置的所設(shè)置的鏡像電荷電量相等鏡像電荷電量相等。 球外的電位函數(shù)為球外的電位函數(shù)為 導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為 球面上的感應(yīng)電荷面密度為球面上的感應(yīng)電荷面密度為 2222 () ()2 ()cos a ra dradr ad 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 2 2、點電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)、點

14、電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi) 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定 a q d O b q d rR R P 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑 為為a 、外半徑為、外半徑為b，點電荷，點電荷q 位于球殼內(nèi)，位于球殼內(nèi)， 與球心相距為與球心相距為d ( d |q|，鏡像電荷的電荷量，鏡像電荷的電荷量大于大于點電荷的電荷量點電荷的電荷量 像電荷的位置和電量與外半徑像電荷的位置和電量與外半徑 b 無關(guān)無關(guān)（為什么？為什么？） 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 2 2、點電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)、點電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi) 接地導(dǎo)體球殼的靜電問題接地導(dǎo)體球

15、殼的靜電問題 a q d O b q d rR R P 導(dǎo)體球面上的導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷與總感應(yīng)電荷與所設(shè)置的所設(shè)置的鏡像電荷不相等鏡像電荷不相等。 球殼球殼內(nèi)內(nèi)的電位函數(shù)為的電位函數(shù)為 球殼球殼內(nèi)表面內(nèi)表面的總感應(yīng)電荷為的總感應(yīng)電荷為 球殼球殼內(nèi)表面內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度為感應(yīng)電荷面密度為 222222 0 1 () 4 2cos()2 ()cos qa ra rdrddradr ad 22 0 223 2 () 4 (2cos ) S r a q ad ra adad 222 2 in 223 2 00 ()sin d d d 4(2cos ) S S q ada qSq aadad 第八

16、講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 3 3、點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外、點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外 a q r P d1 q d2 -q R R 導(dǎo)體球不接地時的特點：導(dǎo)體球不接地時的特點： 導(dǎo)體球面是導(dǎo)體球面是電位不為零電位不為零的等位面的等位面 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電 荷分布，但荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零總的感應(yīng)電荷為零。 u負(fù)電荷分布與接地球球分布相同負(fù)電荷分布與接地球球分布相同 u正電荷均勻分布正電荷均勻分布 與與 共同使使球面電位為共同使使球面電位為0 0q 使球面為電位非使球面為電位非0 0的等勢面的等勢面

17、 問題：如何確定鏡像電荷？問題：如何確定鏡像電荷？ q q a a = + a a a 第八講第八講 鏡像法鏡像法 0 a qqqd d ， 2 , aa qq d dd 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 3 3、點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外、點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外 q q a q q a + q P a q r R R dd q q q a a = + a a a 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 3 3、點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外、點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外 0 a qqqd d ， 0 1 () 4 qqq RRr 球外任意點的電位為球外任意點的電位

18、為 q P a q r R R d d q 2 , aa qq d dd 結(jié)論：結(jié)論：不接地導(dǎo)體球外存在點電荷不接地導(dǎo)體球外存在點電荷 q時，其鏡像電荷為：時，其鏡像電荷為： 第八講第八講 鏡像法鏡像法 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像 4 4、點電荷位于不接地空心球殼內(nèi)、點電荷位于不接地空心球殼內(nèi) a qq d , a d d 2 a q d o b a q o b P a q r R R d d q P b r q q= q，位于球心，位于球心 （為什么？）（為什么？） 第八講第八講 鏡像法鏡像法 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像 1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與

19、接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像 線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱 l x o a 0 d 線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像 a l d ( , )P x o 0 l d 問題：問題：密度為密度為l 的無限長線電荷位于半徑的無限長線電荷位于半徑 為為a 的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的 軸線平行且到軸線的距離為軸線平行且到軸線的距離為d。 特點：特點：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱 外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。 分析方法：分析方法：根據(jù)電位邊界條件確定。根據(jù)電位邊界條件確定。 問題：如

20、何確定鏡像電荷？問題：如何確定鏡像電荷？ 第八講第八講 鏡像法鏡像法 由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時，電位應(yīng)為零，即時，電位應(yīng)為零，即 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像 1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像 22 22 1 ln 2 2cos 1 ln 2 2cos l l dd C dd 2222 11 lnln0 22 2cos2cos ll C adadadad a 設(shè)鏡像電荷的線密度為設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為，且距圓柱的軸線為 ，則由，則由 和和 共同共同 產(chǎn)生的電位函數(shù)產(chǎn)生的電位函數(shù) l d l l 線電荷與

21、導(dǎo)體圓柱的鏡像線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像 a l d ( , )P x o 0 l d 第八講第八講 鏡像法鏡像法 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像 1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像 將上式對將上式對求導(dǎo)，可以得到求導(dǎo)，可以得到 2222 ()() 2()cos0 ll ll d add ad add 2222 ()()0 0 ll ll d add ad 2 ll a d d 線電荷與導(dǎo)體圓柱的線電荷與導(dǎo)體圓柱的 鏡像鏡像 a l d ( , )P x o 0 l d 2222 11 lnln0 22 2cos2cos ll C adadadad 導(dǎo)體柱

22、面鏡像電荷導(dǎo)體柱面鏡像電荷 第八講第八講 鏡像法鏡像法 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像 1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像 導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)： 2242 22 2cos ln 2 2cos l dada C ddd 由由 時，時， a 0 故故 2242 22222 2cos ln 2 2cos l dada aa dda 導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度 22 22 () 2(2cos ) l S a da a adad 導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷 22 2 in

23、 22 0 ()d d 22cos l Sl S daa S aadad 感應(yīng)電荷與鏡像電荷相等感應(yīng)電荷與鏡像電荷相等 ln 2 l d C a ？ 第八講第八講 鏡像法鏡像法 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像 2 2、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像 圖圖1 兩平行導(dǎo)體圓柱兩平行導(dǎo)體圓柱 h a h a l l 圖圖2 兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷 l b l hh b aa 特點：特點：兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響， 使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對一側(cè)電使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對一側(cè)電 荷密度大，而相背一側(cè)電荷

24、密度較小。荷密度大，而相背一側(cè)電荷密度較小。 分析方法：分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密將導(dǎo)體表面上的電荷用線密 度分別為度分別為 、且相距為、且相距為2b 的兩根無限長的兩根無限長 帶電細(xì)線帶電細(xì)線來等效替代。來等效替代。 l 問題：問題：兩平行導(dǎo)體圓柱半徑均為兩平行導(dǎo)體圓柱半徑均為a，軸線間，軸線間 距為距為2h，單位長度分別帶電荷，單位長度分別帶電荷 和和 。 l l 第八講第八講 鏡像法鏡像法 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像 2 2、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像 兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷 l b l hh b aa 通常將帶電細(xì)線的

25、所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸電軸，因而這，因而這 種方法又稱為種方法又稱為電軸法電軸法。 2 a d d 由由 2 ()()hb hba 22 bha 利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的 鏡像確定鏡像確定b 。由對稱性。由對稱性 第八講第八講 鏡像法鏡像法 五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 圖圖1 1 點電荷與電介質(zhì)點電荷與電介質(zhì) 分界平面分界平面 z x 1 2 q h 問題：問題：求解空間中的電位分布（上半空間求解空間中的電位

26、分布（上半空間 及下半空間）。及下半空間）。 特點：特點： 在介質(zhì)分界面上存在在介質(zhì)分界面上存在極化電荷極化電荷分布分布 空間中任一點的電場由空間中任一點的電場由點電荷點電荷與與極化電極化電 荷荷共同產(chǎn)生。共同產(chǎn)生。 問題：如何確定鏡像電荷？問題：如何確定鏡像電荷？ 第八講第八講 鏡像法鏡像法 五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 計算計算上半空間上半空間中的電位中的電位 由鏡像法，鏡像電荷須位于下半空間由鏡像法，鏡像電荷須位于下半空間 介質(zhì)介質(zhì)1 1的鏡像電荷的鏡像電荷 P q h h 1 1

27、 x z q R R 計算計算下半空間下半空間中的電位中的電位 由鏡像法，鏡像電荷須位于上半空間由鏡像法，鏡像電荷須位于上半空間 介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷 2 2 q q P x z hR ?qq 問題問題： 由由邊界條件邊界條件來確定。來確定。 第八講第八講 鏡像法鏡像法 五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 介質(zhì)介質(zhì)1 1的鏡像電荷的鏡像電荷 P q h h 1 1 x z q R R 介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷 2 2 q q P x z hR 介質(zhì)介質(zhì)1 1中的電位為中

28、的電位為 1 222222 1 1 ( , , ) 4 ()() qq x y z xyz hxyzh (0)z 2 222 2 1 ( , , ) 4 () q q x y z xyz h (0)z 介質(zhì)介質(zhì)2 2中的電位為中的電位為 待求待求 第八講第八講 鏡像法鏡像法 五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點電荷與無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 12 12 12 12 qq qq 1020zz 2 1 1020zz zz 由電位的邊界條件由電位的邊界條件 qqqq 12 11 ()()qqqq 點電荷對電介質(zhì)平面分界面的鏡像電荷

29、點電荷對電介質(zhì)平面分界面的鏡像電荷 對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無 限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為 1212 1212 , llll 第八講第八講 鏡像法鏡像法 五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像 2 2、線電流與無限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像、線電流與無限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像 圖圖1 1 線電流與磁介質(zhì)線電流與磁介質(zhì) 分界平面分界平面 z x 1 2 I h 圖圖2 2 磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 1的鏡像線的鏡像線 電流電流 P I h h 1 1 x z I R

30、 R 特點：特點： 分界面上有分界面上有磁化電流磁化電流分布分布 空間中的磁場由空間中的磁場由線電流線電流和和 磁化電流磁化電流共同產(chǎn)生。共同產(chǎn)生。 計算磁介質(zhì)計算磁介質(zhì)1 1中的磁場時，用中的磁場時，用圖圖2 2 所示的鏡像線電流來代替分界面所示的鏡像線電流來代替分界面 上的磁化電流上的磁化電流 圖圖3 3 磁介質(zhì)磁介質(zhì)2 2的鏡像線的鏡像線 電流電流 2 2 I I P x z hR 計算磁介質(zhì)計算磁介質(zhì)2 2中的磁場時，用中的磁場時，用圖圖3 3 所示的鏡像線電流來代替分界面所示的鏡像線電流來代替分界面 上的磁化電流。上的磁化電流。 第八講第八講 鏡像法鏡像法 五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡

31、像五、無限大介質(zhì)分界平面的鏡像 2 2、線電流與無限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像、線電流與無限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像 11 1 2222 11 lnln 22 ()() II A xzhxzh (0)z 2 2 22 ()1 ln 2 () II A xz h (0)z 電流沿軸方向流動，則矢量磁位電流沿軸方向流動，則矢量磁位A也只有軸向分量。磁介質(zhì)也只有軸向分量。磁介質(zhì)1和和 磁介質(zhì)磁介質(zhì)2中任一點的矢量磁位分別為中任一點的矢量磁位分別為 1020 2 1 00 12 11 zz zz AA A A zz 利用矢量磁位滿足的邊界條件利用矢量磁位滿足的邊界條件 12 ()()IIII IIII 21

32、 21 21 21 II II 第八講第八講 鏡像法鏡像法 解：移動電荷解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力受的電場力 來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。 由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷qq替代。當(dāng)電荷替代。當(dāng)電荷q 移至移至x時，像電荷時，像電荷q應(yīng)位于應(yīng)位于x，則有，則有 【例【例1】 一個點電荷一個點電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮，如果把它移至無窮 遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。 qq q q x x

33、= = 0 0 d d -d-d 2 0 42 x q E xe x 22 2 00 1 416 2 e d d WqE x dx qq dx d x 2 0 0 16 e q WW d O 六、典型例題六、典型例題 第八講第八講 鏡像法鏡像法 六、典型例題六、典型例題 【例【例2】真空中一點電荷真空中一點電荷Q位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為a，點電荷距，點電荷距 離球心距離為離球心距離為d（da）。求：）。求： （1）導(dǎo)體球接地時球外空間電位分布及電荷）導(dǎo)體球接地時球外空間電位分布及電荷Q所受的電場力；所受的電場力； （2）導(dǎo)體球未接地時空間電位分布及電荷）導(dǎo)體球未接地時空間電位分布及電荷Q所受的電場力；所受的電場力； P q a r R d q P a q r R R d d 解解:(1)當(dāng)導(dǎo)體球接地時，由鏡像法，原問當(dāng)導(dǎo)體球接地時，由鏡像法，原問 題可等效為空間只存在題可等效為空間只存在Q和鏡像電荷和鏡像電荷q， 不存在邊