2.1函數(shù)的平均變化率(...)ppt課件

1、 1.1.求函數(shù)的平均變化率通常分兩步求函數(shù)的平均變化率通常分兩步 (1)(1)作差，先求出作差，先求出y=f(x2)-f(x1)y=f(x2)-f(x1)和和x=x2-x1;x=x2-x1; (2)(2)作商，對(duì)所求的差作商得作商，對(duì)所求的差作商得 求平均變化率求平均變化率 21 21 f xf xy . xxx 2.2.求函數(shù)平均變化率的注意點(diǎn)求函數(shù)平均變化率的注意點(diǎn) (1)(1)求函數(shù)平均變化率時(shí)注意求函數(shù)平均變化率時(shí)注意xx、yy兩者都可正、可負(fù)，但兩者都可正、可負(fù)，但 xx的值不能為零，的值不能為零，yy的值可以為零的值可以為零. .若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)為常數(shù)函為常數(shù)

2、函 數(shù)，則數(shù)，則y=0.y=0. (2)(2)求點(diǎn)求點(diǎn)x0 x0附近的平均變化率，可用附近的平均變化率，可用 的形式的形式. . 00 f(xx)f(x ) x 注意公式中分子與分母形式上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以注意公式中分子與分母形式上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以 防代入數(shù)值時(shí)出錯(cuò)防代入數(shù)值時(shí)出錯(cuò). . 【例【例1 1】已知函數(shù)】已知函數(shù)f(x)=3x+1f(x)=3x+1，計(jì)算，計(jì)算f(x)f(x)在在-3-3到到-1-1之間和在之間和在1 1到到 1+x1+x之間的平均變化率之間的平均變化率. . 【審題指導(dǎo)】由題目條件可求得自變量的改變量【審題指導(dǎo)】由題目條件可求得自變量的改變量xx與函數(shù)值與函數(shù)值 的改變量

3、的改變量y.y.根據(jù)平均變化率的定義，代入公式計(jì)算即可根據(jù)平均變化率的定義，代入公式計(jì)算即可. . 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】x=-1-(-3)=2,y=f(-1)-f(-3)x=-1-(-3)=2,y=f(-1)-f(-3) = =3 3(-1)+1(-1)+1- -3 3(-3)+1(-3)+1=6,=6, 即即f(x)f(x)在在-3-3到到-1-1之間的平均變化率為之間的平均變化率為3.3. y=f(1+x)-f(1)y=f(1+x)-f(1) = =3 3(1+x)+1(1+x)+1-(3-(31+1)=3x,1+1)=3x, 即即f(x)f(x)在在1 1到到1+x1+x之間的平均變

4、化率為之間的平均變化率為3.3. y6 3, x2 y3x 3, xx 【變式訓(xùn)練】求【變式訓(xùn)練】求y=f(x)=2x2+1y=f(x)=2x2+1在在x0 x0到到x0+xx0+x之間的平均變化之間的平均變化 率，并求當(dāng)率，并求當(dāng)x0=1, x0=1, 時(shí)平均變化率的值時(shí)平均變化率的值. . 【解題提示】解答本題要緊扣平均變化率的定義式，先【解題提示】解答本題要緊扣平均變化率的定義式，先 求自變量的改變量和函數(shù)值的改變量，然后代入公式求解求自變量的改變量和函數(shù)值的改變量，然后代入公式求解. . 1 x 2 【解析】函數(shù)【解析】函數(shù)f(x)=2x2+1f(x)=2x2+1在在x0 x0到到x0

5、+xx0+x之間的平均變化率為之間的平均變化率為: : 當(dāng)當(dāng)x0=1, x0=1, 時(shí)，平均變化率為時(shí)，平均變化率為 00 2 2 00 0 f xxf x x 2 xx12x1 4x2 x. x 1 x 2 1 4 125. 2 (1)(1)函數(shù)的平均變化率反映的是函數(shù)的圖象在這一點(diǎn)附近的函數(shù)的平均變化率反映的是函數(shù)的圖象在這一點(diǎn)附近的 “陡峭水平陡峭水平. . (2)(2)函數(shù)在某點(diǎn)附近平均變化率的絕對(duì)值越大，說明函數(shù)在此函數(shù)在某點(diǎn)附近平均變化率的絕對(duì)值越大，說明函數(shù)在此 點(diǎn)附近的圖象越點(diǎn)附近的圖象越“陡峭陡峭”. . 平均變化率的比較平均變化率的比較 平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何

6、意義 【例【例2 2】已知函數(shù)】已知函數(shù)f(x)=3-x2,f(x)=3-x2,計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)x0=1,2,3, x0=1,2,3, 時(shí)時(shí), ,平均平均 變化率的值變化率的值, ,并比較函數(shù)并比較函數(shù)f(x)=3-x2f(x)=3-x2在哪一點(diǎn)附近的平均變化在哪一點(diǎn)附近的平均變化 率最大率最大? ? 【審題指導(dǎo)】先求【審題指導(dǎo)】先求f(x)f(x)在在x0 x0到到x0+xx0+x之間的平均變化率之間的平均變化率, ,再求再求 各點(diǎn)附近的平均變化率，最后比較得結(jié)論各點(diǎn)附近的平均變化率，最后比較得結(jié)論. . 1 x 3 【規(guī)范解答】函數(shù)【規(guī)范解答】函數(shù)f(x)=3-x2f(x)=3-x2在在x0

7、x0到到x0+xx0+x之間的平均變化率之間的平均變化率 為為 當(dāng)當(dāng)x0=1, x0=1, 時(shí)，平均變化率的值為時(shí)，平均變化率的值為 當(dāng)當(dāng)x0=2, x0=2, 時(shí)，平均變化率的值為時(shí)，平均變化率的值為 當(dāng)當(dāng)x0=3x0=3， 時(shí)，平均變化率的值為時(shí)，平均變化率的值為 函數(shù)函數(shù)f(x)=3-x2f(x)=3-x2在在x0=1x0=1附近的平均變化率最大附近的平均變化率最大. . 2 2 00 00 3xx3x f xxf x xx 2 0 0 2xxx 2xx x 1 x 3 1 x 3 1 x 3 7 3 ， 13 3 ， 19 , 3 71319 , 333 【變式訓(xùn)練】求函數(shù)【變式訓(xùn)練】

8、求函數(shù)f(x)=x3f(x)=x3在在x0 x0到到x0+xx0+x之間的平均變化率之間的平均變化率, , 并計(jì)算當(dāng)并計(jì)算當(dāng)x0=1, x0=1, 時(shí)平均變化率的值時(shí)平均變化率的值. . 【解題提示】先求平均變化率，再求【解題提示】先求平均變化率，再求x0=1, x0=1, 時(shí)的平時(shí)的平 均變化率均變化率. . 1 x 2 1 x 2 【解析】當(dāng)自變量從【解析】當(dāng)自變量從x0 x0變化到變化到x0+xx0+x時(shí)，函數(shù)的平均變化率時(shí)，函數(shù)的平均變化率 為為 =3x02+3x0 x+(x)2.=3x02+3x0 x+(x)2. 當(dāng)當(dāng)x0=1, x0=1, 時(shí)時(shí), ,平均變化率的值為平均變化率的值為

9、 3 3 0000 f xxf xxxx xx 1 x 2 22 1119 3 13 1( ). 224 (1)(1)平均變化率的物理意義即平均速度平均變化率的物理意義即平均速度. . (2)(2)求平均速度首先要明確自變量與函數(shù)值的實(shí)際意義，弄清求平均速度首先要明確自變量與函數(shù)值的實(shí)際意義，弄清 函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性. .利用定義求平均變化率利用定義求平均變化率. . (3)(3)此類問題體現(xiàn)了學(xué)科間知識(shí)的橫向聯(lián)系，是平均變化率的此類問題體現(xiàn)了學(xué)科間知識(shí)的橫向聯(lián)系，是平均變化率的 實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用. . 平均變化率的應(yīng)用平均變化率的應(yīng)用 平均變化率的幾點(diǎn)說明：平均變化率的幾點(diǎn)說明： 【例【例

10、3 3】已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為】已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=t2+2t+3,s(t)=t2+2t+3,求物體在求物體在t=1t=1 到到t=1+tt=1+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度這段時(shí)間內(nèi)的平均速度. . 【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】 【規(guī)范解答】物體在【規(guī)范解答】物體在t=1t=1到到t=1+tt=1+t這段時(shí)間內(nèi)的位移增量這段時(shí)間內(nèi)的位移增量 s=s(1+t)-s(1)s=s(1+t)-s(1) = =(1+t)2+2(1+t)+3(1+t)2+2(1+t)+3-(12+2-(12+21+3)1+3) =(t)2+4t.=(t)2+4t. 物體在物體在t=1t=1到到t=1+tt=1+t這段

11、時(shí)間內(nèi)的平均速度為這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 2 4 tts 4t. tt 【變式訓(xùn)練】一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其位移【變式訓(xùn)練】一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其位移s s與時(shí)間與時(shí)間t t的關(guān)系為的關(guān)系為 s(t)=t2+1s(t)=t2+1，該質(zhì)點(diǎn)在，該質(zhì)點(diǎn)在2 2到到2+t(t0)2+t(t0)之間的平均速度不大之間的平均速度不大 于于5 5，求，求tt的取值范圍的取值范圍. . 【解析】質(zhì)點(diǎn)在【解析】質(zhì)點(diǎn)在2 2到到2+t2+t之間的平均速度為之間的平均速度為 又又 即即4+t5,t1.4+t5,t1.又又t0,t0, tt的取值范圍為的取值范圍為(0(0，1 1. . 2 22 4tt(2t)1(21)

12、v4t. tt v5, 【例】物體的運(yùn)動(dòng)方程是【例】物體的運(yùn)動(dòng)方程是 (s(s的單位：米；的單位：米；t t的單位：的單位： 秒秒) )，求物體在，求物體在t=1t=1秒到秒到t=(1+t)t=(1+t)秒這段時(shí)間內(nèi)的平均速度秒這段時(shí)間內(nèi)的平均速度. . 【審題指導(dǎo)】求物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度就是求位移對(duì)【審題指導(dǎo)】求物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度就是求位移對(duì) 時(shí)間的平均變化率時(shí)間的平均變化率. .本題已知函數(shù)表達(dá)式，代入公式化簡(jiǎn)即可本題已知函數(shù)表達(dá)式，代入公式化簡(jiǎn)即可. . st1 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】 物體在物體在t=1t=1秒到秒到t=(1+t)t=(1+t)秒這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是秒

13、這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是 s1t11 1 2t2 m . s2t21 m /s tt2t2 ， 1 m/s . 2t2 【變式備選】已知自由落體運(yùn)動(dòng)的方程為【變式備選】已知自由落體運(yùn)動(dòng)的方程為 (g(g為常數(shù)為常數(shù)) )， 求落體在求落體在t=10 st=10 s到到t=10.1 st=10.1 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度這段時(shí)間內(nèi)的平均速度. . 【解析】【解析】 2 1 sgt 2 2 2 11 g 10.1g 10 s 10.1s 10 22 10.1 100.1 1.005g 10.05g. 0.1 【典例】【典例】(12(12分分) )已知?dú)馇虻捏w積為已知?dú)馇虻捏w積為V(V(單位：?jiǎn)挝唬篖

14、)L)與半徑與半徑r(r(單單 位：位：dm)dm)之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是 (1)(1)求半徑求半徑r r關(guān)于體積關(guān)于體積V V的函數(shù)的函數(shù)r(V);r(V); (2)(2)比較體積比較體積V V從從0 L0 L增加到增加到1 L1 L和從和從1 L1 L增加到增加到2 L2 L半徑半徑r r的平的平 均變化率；哪段半徑變化較快均變化率；哪段半徑變化較快( (精確到精確到0.01)0.01)？此結(jié)論可說明？此結(jié)論可說明 什么意義？什么意義？ 【審題指導(dǎo)】解答本題可先由球的體積公式變形得到函數(shù)【審題指導(dǎo)】解答本題可先由球的體積公式變形得到函數(shù)r(V)r(V) 的解析式，再根據(jù)求平均變化

15、率的步驟運(yùn)算的解析式，再根據(jù)求平均變化率的步驟運(yùn)算. . 3 4 V rr . 3 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1) 3 3分分 (2)(2)函數(shù)函數(shù)r(V)r(V)在區(qū)間在區(qū)間0 0，1 1上的平均變化率為上的平均變化率為 66分分 函數(shù)函數(shù)r(V)r(V)在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上的平均變化率為上的平均變化率為 99分分 顯然體積顯然體積V V從從0 L0 L增加到增加到1 L1 L時(shí)，半徑變化快，這說明隨著氣球時(shí)，半徑變化快，這說明隨著氣球 體積的增加，氣球的半徑增加得越來越慢體積的增加，氣球的半徑增加得越來越慢. 12. 12分分 3 3V r V. 4 3 3 1 0 r 1r

16、0 4 0.62 dm/ L , 1 01 33 r 2r 13 23 1 0.16 dm/ L . 2 144 33 3 43V3V Vr ,r,r, 344 【誤區(qū)警示】對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：【誤區(qū)警示】對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下： 【即時(shí)訓(xùn)練】求函數(shù)【即時(shí)訓(xùn)練】求函數(shù)y=x2y=x2在在x0 x0到到x0+xx0+x之間的平均變化率之間的平均變化率; ;并并 結(jié)合圖象探討當(dāng)結(jié)合圖象探討當(dāng)xx取定后，隨取定后，隨x0 x0取值不同，該函數(shù)的平均變?nèi)≈挡煌摵瘮?shù)的平均變 化率是否相同？化率是否相同？ 【解題提示】結(jié)合圖象探討平均變化率時(shí)，可從圖象的【解題提示】結(jié)合圖象

17、探討平均變化率時(shí)，可從圖象的 增長(zhǎng)速度方面考慮增長(zhǎng)速度方面考慮. . 【解析】當(dāng)自變量從【解析】當(dāng)自變量從x0 x0到到x0+xx0+x時(shí)，函數(shù)的平均變化率為時(shí)，函數(shù)的平均變化率為 如圖，當(dāng)如圖，當(dāng)xx取定值，取定值，x0 x0取不同的數(shù)值時(shí)，該函數(shù)的平均變化取不同的數(shù)值時(shí)，該函數(shù)的平均變化 率也不一樣，例如率也不一樣，例如x0 x0取正值，并不斷增大時(shí)，該函數(shù)的平均取正值，并不斷增大時(shí)，該函數(shù)的平均 變化率也不斷地增大，曲線變得越來越變化率也不斷地增大，曲線變得越來越“陡陡”. . 00 2 2 00 2 0 0 f xxf x x xxx x 2xxx 2xx. x 1.1.自變量自變量x

18、 x從從x0 x0變到變到x1x1時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量 之比是函數(shù)之比是函數(shù)( )( ) (A)(A)在在x0 x0到到x1x1之間的平均變化率之間的平均變化率 (B)(B)在在x0 x0處的變化率處的變化率 (C)(C)在在x1x1處的變化量處的變化量 (D)(D)在在x0 x0到到x1x1之間的增量之間的增量 【解析】選【解析】選A.A.由平均變化率的定義知，該比值是在由平均變化率的定義知，該比值是在x0 x0到到x1x1之之 間的平均變化率間的平均變化率. . 2.2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)，當(dāng)自變量，當(dāng)自變量x x由由x0 x0改變到改變到x0+xx0+x時(shí)，函數(shù)的改時(shí)，函數(shù)的改 變量變量yy為為( )( ) (A)f(x0+x) (B)f(x0)+x(A)f(x0+x) (B)f(x0)+x (C)f(x0)x (D)f(x0+x)-f(x0)(C)f(x0)x (D)f(x0+x)-f(x0) 【解析】選【解析