數(shù)學(xué)：262用函數(shù)觀點看一元二次方程（2）同步練習(xí)（人教新課標(biāo)九年級下）

1、26.2用函數(shù)觀點看一元二次方程（2）基礎(chǔ)探究1.已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖所示,請根據(jù)圖象回答下列問題: (1)a=_,c=_. (2)函數(shù)圖象的對稱軸是_,頂點坐標(biāo)P_. (3)該函數(shù)有最_值,當(dāng)x=_時,y最值=_. (4)當(dāng)x_時,y隨x的增大而減小. 當(dāng)x_時,y隨x的增大而增大.(5)拋物線與x軸交點坐標(biāo)A_,B_;與y軸交點C 的坐標(biāo)為_;=_,=_. (6)當(dāng)y0時,x的取值范圍是_;當(dāng)y0?3.請畫出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象,求方程x2=x+3的解.4.若二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-5,0),B(-1,0). (1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系式; (2

2、)如果要通過適當(dāng)?shù)钠揭?使得這個函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點,那么應(yīng)該怎樣平移?向右還是向左?或者是向上還是向下?應(yīng)該平移向個單位?5.已知某型汽車在干燥的路面上, 汽車停止行駛所需的剎車距離與剎車時的車速之間有下表所示的對應(yīng)關(guān)系.速度V(km/h)48648096112剎車距離s(m)22.53652.57294.5 (1)請你以汽車剎車時的車速V為自變量,剎車距離s為函數(shù), 在圖所示的坐標(biāo)系中描點連線,畫出函數(shù)的圖象; (2)觀察所畫的函數(shù)的圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么? (3)若把這個函數(shù)的圖象看成是一條拋物線,請根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù),選擇三對,求出它的函數(shù)關(guān)系式; (4)用你留下的兩對數(shù)據(jù),驗證一

3、個你所得到的結(jié)論是否正確.能力提升6.如圖所示,矩形ABCD的邊AB=3,AD=2,將此矩形置入直角坐標(biāo)系中,使AB在x 軸上,點C 在直線y=x-2上. (1)求矩形各頂點坐標(biāo); (2)若直線y=x-2與y軸交于點E,拋物線過E、A、B三點,求拋物線的關(guān)系式; (3)判斷上述拋物線的頂點是否落在矩形ABCD內(nèi)部,并說明理由.7.已知一條拋物線經(jīng)過A(0,3),B(4,6)兩點,對稱軸是x=. (1)求這條拋物線的關(guān)系式. (2)證明:這條拋物線與x軸的兩個交點中,必存在點C,使得對x軸上任意點D都有AC+BCAD+BD.8.如圖所示,一位籃球運動員在離籃圈水平距離為4m處跳起投籃,球沿一條拋

4、物線運行,當(dāng)球運行的水平距離為2.5m時,達到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi).已知籃圈中心離地面距離為3.05m. (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式; (2)若該運動員身高1.8m,這次跳投時,球在他頭頂上方0.25m處出手.問:球出手時,他跳離地面多高?9.某工廠生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸所需費用為P元,而賣出x噸這種產(chǎn)品的售價為每噸Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45. (1)該廠生產(chǎn)并售出x噸,寫出這種產(chǎn)品所獲利潤W(元)關(guān)于x(噸)的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)生產(chǎn)多少噸這種產(chǎn)品,并全部售出時,獲利最多?這時獲利多少元? 這時每噸的價格又是多少元?10.已知

5、拋物線y=2x2-kx-1與x軸兩交點的橫坐標(biāo),一個大于2,另一個小于2,試求k的取值范圍.11.如圖,在RtABC中,ACB=90,BCAC,以斜邊AB 所在直線為x軸,以斜邊AB上的高所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,若OA2+OB2= 17, 且線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的兩個根. (1)求C點的坐標(biāo); (2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點E,求過A、B、E 三點的拋物線的關(guān)系式,并畫出此拋物線的草圖. (3)在拋物線上是否存在點P,使ABP與ABC全等?若存在,求出符合條件的P點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.綜合探究12.已知拋物線L;y=

6、ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的頂點P的坐標(biāo)是,與y軸的交點是M(0,c)我們稱以M為頂點,對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L的伴隨直線. (1)請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式: 伴隨拋物線的關(guān)系式_ 伴隨直線的關(guān)系式_ (2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3, 則這條拋物線的關(guān)系是_: (3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式; (4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點x2x10,它的伴隨拋物線

7、與x 軸交于C,D兩點,且AB=CD,請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.13已知拋物線y=mx2-(m+5)x+5. (1)求證:它的圖象與x軸必有交點,且過x軸上一定點; (2)這條拋物線與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0),且0x1x2,過(1) 中定點的直線L;y=x+k交y軸于點D,且AB=4,圓心在直線L上的M為A、B兩點,求拋物線和直線的關(guān)系式,弦AB與弧圍成的弓形面積.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直線x=, (3)小; ; (4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x4;1x;2.(1)由表知,當(dāng)x=0時,ax2+bx+c=3;當(dāng)x=1時,

8、ax2=1;當(dāng)x=2時,ax2+bx+c=3., a=1,b=-2,c=3,空格內(nèi)分別應(yīng)填入0,4,2. (2)在x2-2x+3=0中,=(-2)2-413=-80.3.:在同一坐標(biāo)系中如答圖所示,畫出函數(shù)y=x2的圖象,畫出函數(shù)y=x+3 的圖象,這兩個圖象的交點為A,B,交點A,B的橫坐標(biāo)和2就是方程x2=x+3的解.4.:(1)y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得, y=. (2)y= 頂點坐標(biāo)為(-3,2),欲使函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點,應(yīng)向下平移2個單位.5.:(1)函數(shù)的圖象如答圖所示. (2)圖象可看成是一條拋物線這個函數(shù)可看作二次函數(shù). (3)設(shè)

9、所求函數(shù)關(guān)系式為:s=av2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分別代入s=av2+bv+c,得, 解得.(4)當(dāng)v=80時, s=52.5, 當(dāng)v=112時, s=94.5, 經(jīng)檢驗,所得結(jié)論是正確的.6.:(1)如答圖所示. y=x-2,AD=BC=2,設(shè)C點坐標(biāo)為(m,2),把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.m=4.C(4,2),OB=4,AB=3.OA=4-3=1,A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)y=x-2,令x=0,得y=-2,E(0,-2).設(shè)經(jīng)過E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三點的拋物線

10、關(guān)系式為y=ax2+bx+c, 解得 y=.(3)拋物線頂點在矩形ABCD內(nèi)部.y=, 頂點為. , 頂點 在矩形ABCD內(nèi)部.7.(1)解:設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+bx+c, A(0,3),B(4,6),對稱軸是直線x=. , 解得 y=. (2)證明:令y=0,得=0, A(0,3),取A點關(guān)于x軸的對稱點E,E(0,-3).設(shè)直線BE的關(guān)系式為y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,k=,y=x-3 .由 x-3=0,得x= . 故C為,C點與拋物線在x軸上的一個交點重合,在x軸上任取一點D,在BED中,BE BD+DE.又BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD

11、,AC+BCAD+BD.若D與C重合,則AC+BC=AD+BD. AC+BCAD+BD.8:(1)圖中各點字母表示如答圖所示.OA=2.5,AB=4,OB=4-2.5=1.5.點D坐標(biāo)為(1.5,3.05). 拋物線頂點坐標(biāo)(0,3.5),設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a1.52+3.5,a=-0.2,y=-0.2x2+3.5 (2)OA=2.5,設(shè)C點坐標(biāo)為(2.5,m),把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.22.52+3.5=2.25. 該運動員跳離地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8

12、+0.25)=0.2(m).9:(1)P=x2+5x+1000,Q=-+45. W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= . (2)W=-(x-150)2+2000. -0,無論k為何實數(shù), 拋物線y=2x2-kx-1與x軸恒有兩個交點.設(shè)y=2x2-kx-1與x軸兩交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且規(guī)定x1 2, x1-20. (x1-2)(x2-2)0,x1x2-2(x1+x2)+4. k的取值范圍為k. 法二:拋物線y=2x2-kx-1與x軸兩交點橫坐標(biāo)一個大于2,另一個小于2,此函數(shù)的圖象大致位置如答圖所示.由圖象知:當(dāng)x=2時,y0. 即y=222-2k-1.k的取值范圍

13、為k.11:(1)線段OA,OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的兩個根, 又OA2+OB2=17,(OA+OB)2-2OAOB=17. 把,代入,得m2-4(m-3) =17,m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.又知OA+OB=m0,m=-1應(yīng)舍去. 當(dāng)m=5時,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. BCAC,OBOA,OA=1,OB=4,在RtABC中,ACB=90,COAB,OC2=OAOB=14=4.OC=2,C(0,2) (2)OA=1,OB=4,C,E兩點關(guān)于x軸對稱, A(-1,0),B(4,0),E(0,-2). 設(shè)經(jīng)過A,B

14、,E三點的拋物線的關(guān)系式為 y=ax2+bx+c,則 ,解之,得 所求拋物線關(guān)系式為y=. (3)存在.點E是拋物線與圓的交點. RtACBRtAEB,E(0,-2)符合條件. 圓心的坐標(biāo)(,0 )在拋物線的對稱軸上. 這個圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對稱軸對稱. 點E關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點E也符合題意. 可求得E(3,-2). 拋物線上存在點P符合題意,它們的坐標(biāo)是(0,-2)和(3,-2)12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3 (3)伴隨拋物線的頂點是(0,c), 設(shè)它的解析式為y=m(x-0)2+c(m0). 設(shè)拋物線過P, 解得m=-a,伴隨拋物線關(guān)

15、系式為y=-ax2+c. 設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c(k0). P在此直線上, k=. 伴隨直線關(guān)系式為y=x+c (4)拋物線L與x軸有兩交點,1=b2-4ac0,b2x10,x1+ x2= -0,x1x2=0,ab0.對于伴隨拋物線y=-ax2+c,有2=02-(-4ac)=4ac0.由-ax2+c=0,得x=.,CD=2. 又AB=x2-x1=. 由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,綜合b24ac,ab0,b2=8ac,得a,b,c滿足的條件為b2=8ac且ab0,(或b2=8ac且bc0).13.(1)證明:y=mx2-(m+5)x+5,=-(m+5)2-4m5=m2+10m+25-20m=(m- 5)2.不論m取任何實數(shù),(m-5)20,即0,故拋物線與x軸必有交點. 又x軸上點的縱坐標(biāo)均為零,令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,x=或x=1.故拋物線必過x軸上定點(1,0). (2)解:如答圖所示,L:y=x+k,把(1,0)代入上式,得0=1+k,k=-1,y=x-1. 又拋物線與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0)