畢業(yè)設(shè)計II數(shù)字低通濾波器的設(shè)計

1、學(xué) 士 學(xué) 位 論 文題 目 ii數(shù)字低通濾波器的設(shè)計學(xué) 生 指導(dǎo)教師 年 級 專 業(yè) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 別 信息工程系學(xué) 院 計算機(jī)科學(xué)與信息工程摘 要摘 要：本論文首先介紹了濾波器的濾波原理以及模擬濾波器、數(shù)字濾波器的設(shè)計方法。重點(diǎn)介紹了iir數(shù)字濾波器的設(shè)計方法。即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。在此基礎(chǔ)上，用dsp虛擬實(shí)現(xiàn)任意階iir數(shù)字濾波器。此設(shè)計擴(kuò)展性好，便于調(diào)節(jié)濾波器的性能，可以根據(jù)不同的要求在dsp上加以實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵字： dsp 濾波、iir數(shù)字低通濾波器目 錄摘 要2目 錄2第1章 濾波器簡介31.1 濾波器的工作原理41.1.1 模擬濾波器的工作原理41.1.2 數(shù)字濾波器

2、的工作原理61.2 濾波器的基本特性71.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性71.2.2 無限沖擊響應(yīng)iir和有限沖擊響應(yīng)fir濾波器91.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)10第2章 模擬濾波器的設(shè)計112.1 模擬濾波器的設(shè)計方法122.2 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇142.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇142.2.2低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)202.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇212.2.4貝塞爾濾波器22第3章 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計233.1 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計方法233.2 iir濾波器經(jīng)典設(shè)計243.3 iir濾波器直接設(shè)計33第4章 dsp仿真系統(tǒng)344.1 對

3、低通模擬和數(shù)字濾波器的仿真344.1.1 模擬低通濾波器的仿真344.2.2 數(shù)字低通濾波器的仿真364.4.1 模擬帶通濾波器的仿真394.4.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計404.5 對帶阻模擬和數(shù)字濾波器的仿真424.5.1 模擬帶阻濾波器的設(shè)計424.5.2 數(shù)字帶阻濾波器的仿真43第5章 總結(jié)與展望475.1 總 結(jié)475.2 展 望47參考文獻(xiàn)49第1章 濾波器簡介從廣義上講，任何對某些頻率（相對于其他頻率來說）進(jìn)行修正的系統(tǒng)稱為濾波器。嚴(yán)格地講，對輸入信號通過一定的處理得到輸出信號，這個處理通常是提取信號中某頻率范圍內(nèi)的信號成分，把這種處理的過程稱為濾波。實(shí)現(xiàn)濾波處理的運(yùn)算電路或設(shè)備稱

4、為濾波器。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，廣泛應(yīng)用線性濾波和頻譜分析對信號進(jìn)行加工處理，模擬濾波是處理連續(xù)信號，數(shù)字濾波則是處理離散信號，而后者是在前者的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。我們知道，無源或有源模擬濾波器是分立元件構(gòu)成的線性網(wǎng)絡(luò)，他們的性能可以用線性微分方程來描述，而數(shù)字濾波器是個離散線性系統(tǒng)，要用差分方程來描述，并以離散變換方法來分析。這些方程組可以用專用的或通用的數(shù)字計算機(jī)進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。因此，數(shù)字濾波器的濾波過程是一個計算過程，它將輸入信號的序列數(shù)字按照預(yù)定的要求轉(zhuǎn)換成輸出數(shù)列。1.1 濾波器的工作原理1.1.1 模擬濾波器的工作原理我們知道，模擬濾波器是對模擬信號實(shí)行線性濾波的一種線性時不變系

5、統(tǒng)，如圖1.1所示。在時域內(nèi)，它的動態(tài)特性可以用系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)來描述，也就是該濾波系統(tǒng)在任何時刻對輸入單位沖激信號=（t）的輸出響應(yīng)。這個函數(shù)從時域上反映了該濾波系統(tǒng)的傳輸特性。對于任意輸入信號，系統(tǒng)的輸出可以卷積表示： = (1.1)上式表明在對線性濾波器系統(tǒng)進(jìn)行時域分析時，采用了疊加原理，先將任意輸入信號波形分成不同時間的窄脈沖之和，再分別求出各個脈沖通過濾波器之后的響應(yīng)，并進(jìn)行線性疊加從而得到總的輸出信號。模擬濾波器,h(s)圖1.1模擬濾波器原理在頻域分析時，線性濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)等于系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)的拉普拉斯變換： （1.2）很明顯，當(dāng)s=j，上式就是傅立葉變換的表達(dá)

6、式，它反映了濾波器的傳輸特性對各種頻率的響應(yīng)，也就是濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，它決定著濾波特性。當(dāng)濾波器輸入信號與輸出信號的拉普拉斯變換，得 （1.3）這表明兩信號卷積的變換等于各自變換的乘積。在頻譜關(guān)系上，一個輸入信號的頻譜，經(jīng)過濾波器的作用后，被變換成的頻譜。因此，根據(jù)不同的濾波要求來選定，就可以得到不同類型的模擬濾波器。還可以看出，濾波器的濾波過程就是完成信號與它的單位沖激函數(shù)響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)卷積運(yùn)算過程。1.1.2 數(shù)字濾波器的工作原理在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時間序列。如圖1.2所示。設(shè)輸入序列為，離散或數(shù)字濾波器對單位抽樣序列的響應(yīng)為。因在時域離散信號和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖激

7、函數(shù)在時域連續(xù)信號和系統(tǒng)中所起的作用。數(shù)字濾波器,h(z)圖1.2 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器的序列將是這兩個序列的離散卷積，即 （1.4） 同樣，兩個序列卷積的z變換等于個自z變換的乘積，即 （1.5）用代入上式，其中t為抽樣周期，則得到 （1.6）式中和 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而為單位抽樣序列響應(yīng)的頻譜。由此可見，輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后，變?yōu)?，按照的特點(diǎn)和我們處理信號的目的，選取適當(dāng)?shù)氖沟臑V波后的符合我們的要求。1.2 濾波器的基本特性1.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性如利用模擬電路直接對模擬信號進(jìn)行處理則構(gòu)成模擬濾波器，它是一個連續(xù)時間系統(tǒng)。如果利用離散時

8、間系統(tǒng)對數(shù)字信號（時間離散、幅度量化的信號）進(jìn)行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的差分方程表示為： 系統(tǒng)函數(shù)表示:數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù)來描述，包括幅度特性和相位特性。按信號通過系統(tǒng)時的特性（主要是幅頻特性）來分類：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類型。（1） 低通數(shù)字濾波器：圖1.3所示|h(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf圖1.3 低通數(shù)字濾波器的頻譜（2） 高通數(shù)字濾波器：圖1.4所示|h(ej)|c-c-22圖1.4 高通數(shù)字濾波器的頻譜（3） 帶通數(shù)字濾波器：圖1.5所示|h(ej)|2-2-221-1圖1.5 帶通數(shù)字濾波器的頻譜（4）

9、帶阻數(shù)字濾波器：圖1.6所示1|h(ej)|2-2-22-1 圖1.6 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜 其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合。1.2.2 無限沖擊響應(yīng)iir和有限沖擊響應(yīng)fir濾波器按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以分成無限沖擊響應(yīng) iir和有限沖擊響應(yīng)fir濾波器兩類。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實(shí)各種頻率特性要求，但它們在計算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。(1) fir濾波器(非遞歸型):(2) iir濾波器（遞歸型） 還有一些其他的分類方法，例如在特定場合使用的濾波器。1.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起

10、伏）；最大阻帶增益；通帶截止頻率；阻帶截止頻率。如圖1.7所示db0dbdb圖1.7 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)第2章 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（butterworth濾波器.切比雪夫（chebyshev）濾波器等。這些工作的理論分析和設(shè)計方法在20世紀(jì)30年代就完成，然而煩瑣.冗長的數(shù)字計算使它難以付諸實(shí)用。直到50年代，由于計算機(jī)技術(shù)的逐步成熟，求出大量設(shè)計參數(shù)和圖表，這種方法才得到廣泛應(yīng)用。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有波動發(fā)，可以提高選

11、擇性。這樣根據(jù)具體要求可以選擇不同類型的濾波器。模擬濾波器按幅度特征可以分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅度特性如圖2.1所示，但我們設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器帶通帶阻圖2.1 模擬濾波器理想幅度特性低通高通2.1 模擬濾波器的設(shè)計方法利用頻率變換設(shè)計模擬濾波器的步驟為：（1）給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率或上、下邊界頻率等。（2）確定濾波器階數(shù)（3）設(shè)計模擬低通原型濾波器。（4）按頻率變換設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有，和，其中和分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。 是通帶（=0

12、）中的最大衰減系數(shù)，是阻帶的最小衰減系數(shù)，和一般用db表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成： （2.1） （2.2）如果=0處幅度已歸一化為一，即，和表示為 （2.3） （2.4）以上技術(shù)指標(biāo)用圖2.2表示，圖中稱為3db 截止頻率，因,-20 10.7070圖2.2 低通濾波器的幅度特性濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此 = (2.5)如果能由，求出，那么就可以求出所需的，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達(dá)式，可以直接引用。這里要說明的是必須是穩(wěn)定的。因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相

13、應(yīng)的的極點(diǎn)落在右半平面。2.2 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇2.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇巴特沃斯濾波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅頻特性模平方為 (2.6)式中n是濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時，；當(dāng)=時，是3db截止頻率。不同階數(shù)n的巴特沃斯濾波器特性如圖2.3所示，這一幅頻特性具有下列特點(diǎn)：（1）最大平坦性：可以證明：在=0點(diǎn)，它的前（2n-1）階導(dǎo)數(shù)都等于0，這表明巴特沃斯濾波器在=0附近一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點(diǎn)的最大平坦性來逼近理想低通濾波器?！白钇巾憫?yīng)”即由此而來。（2）通帶，阻帶下降的單調(diào)性。這種濾波器具有良好的相頻特性。（3）3db的不變性：隨著n的增加，頻

14、帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管n是多少，幅頻特性都通過-3db點(diǎn)。當(dāng)時，特性以20ndb/dec速度下降。圖2.3 不同階數(shù)n的巴特沃斯濾波器特性現(xiàn)根據(jù)式（2.6）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)ha（s）。令=s/j，帶入式（2.6）對應(yīng)的極點(diǎn)： (2.7)即為的極點(diǎn)，此極點(diǎn)分布有下列特點(diǎn)：(1)的2n個極點(diǎn)以/n為間隔均勻分布在半徑為的圓周上，這個圓稱為巴特沃斯圓。(2)所有極點(diǎn)以j軸為對稱軸成對稱分布，j軸上沒有極點(diǎn)。j(3)當(dāng)n為奇數(shù)時，有兩個極點(diǎn)分布在的實(shí)軸上；n為偶函數(shù)時，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。所有復(fù)數(shù)極點(diǎn)兩兩呈共軛對稱分布。圖2.4畫出了n=3時的極點(diǎn)分布。全部零點(diǎn)位于s=處。圖2

15、.4 n=3時ha（s）ha（-s）極點(diǎn)分布為得到穩(wěn)定的，取全部左半平面的極點(diǎn)。 （2.8）當(dāng)n為偶數(shù)時 （2.9）當(dāng)n為奇數(shù)時 （2.10）為使用方便把式（2.9）和式（2.10）對進(jìn)行歸一化處理，為此，分子分母各除以，并令，稱為歸一化復(fù)頻率：（n為偶數(shù)） （2.11） （n為奇數(shù)）（2.12）用歸一化頻率表示的頻率特性稱為原型濾波特性（即歸一化復(fù)頻率s 的虛部）。對式（2.6）所示的低通巴特沃斯特性用表示得到： （2.13）稱為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率=1。若給出模擬低通濾波器的設(shè)計性能指標(biāo)要求：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋，阻帶衰減，要確

16、定butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù)n及截止頻率。，的意義如圖所示。當(dāng)=時， 即，以截至頻率（幅值下降3db）為1，化為相對為相對的相對頻率由上式可寫為。同理，當(dāng)=時， 。由此可見 n應(yīng)向上取整，再用matlab 編程計算濾波器最小階數(shù)n和截止頻率。就是切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)，給定n，即可求的2n個極點(diǎn)分布。由式（2.22）實(shí)部與虛部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關(guān)系可以看出，此極點(diǎn)分布滿足橢圓方程，其短軸和長軸分別為 （2.23）圖2.7畫出了n=3時切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布。abj 圖2.7極點(diǎn)所在的橢圓可以和半徑為a的圓和半徑為b的圓聯(lián)系起來，這兩個圓分別稱為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大

17、圓。n階切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)等于n階巴特沃斯小圓極點(diǎn)的橫坐標(biāo)取左半平面的極點(diǎn)： k=1,2，n （2.24）則切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)： （2.25）其中，常數(shù)a=。因而切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為： （2.27）切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率不是像巴特沃斯濾波器中所規(guī)定的（-3db）處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。若波紋參數(shù)滿足，可以求的-3db處的角頻率為 （2.28）將式（2.27）表示的對歸一化，得到切比雪夫i型2.2.2低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) （2.29）對不同的n，式（2.29）的分母多項(xiàng)式已制成表格，供設(shè)計參考。和butterworth低通模擬濾波器設(shè)計一樣，若給定

18、性能指標(biāo)要求：，確定chebyshev低通模擬濾波器最小階數(shù)n和截止頻率（-3db頻率）。2.2.2.1 chbbyshev i型由式可得 故階數(shù)n可由下式求得 式中，截至頻率由上面兩式用matlab 編程計算濾波器最小階數(shù)n和截止頻率 2.2.2.2 chbbyshev ii型chbbyshev ii型通帶內(nèi)是平滑的，而阻帶具有等波紋起伏特性。因此，在階數(shù)n的計算公式上是相同的，而-3db截止頻率則不同。2.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇橢圓的模擬低通濾波器圓形的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 式中，為小于1的正書，表示波紋情況；為截止頻率；）為橢圓函數(shù)，定義為當(dāng)n為偶數(shù)（n=2m）時,當(dāng)n為奇數(shù)（

19、n=2m+1）時, 其中橢圓模擬濾波器特點(diǎn)是：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性。何以上濾波器相比，相同的性能指標(biāo)所需要的階數(shù)最小。但頻率響應(yīng)應(yīng)具有明顯的非線性。由式濾波器的階數(shù)可由下式確定， ， 式中 由上式計算濾波器的最小階數(shù)n和截止頻率。2.2.4貝塞爾濾波器貝塞爾模擬低通濾波器原型的特點(diǎn)是在零頻時具有最平坦的群延遲，并在整個通帶內(nèi)延遲幾乎不變。在零頻時的群延遲為。由于這一特點(diǎn)，貝塞爾模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號形狀不變。濾波器傳遞漢書具有下面形式第3章 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計3.1 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 iir濾波器是一種數(shù)字濾波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如式 （3.1）由于它的脈沖響應(yīng)序

20、列是無限長的，故稱無限沖激響應(yīng)濾波器。iir濾波器的設(shè)計就是根據(jù)濾波器某些性能指標(biāo)要求，設(shè)計濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。它和fir濾波器相比優(yōu)點(diǎn)是在滿足相同性能指標(biāo)要求條件下，iir濾波器的階數(shù)要明顯低于fir濾波器。但iir濾波器的相位是非線性的。iir濾波器設(shè)計方法可分為三種：模擬濾波器變換（經(jīng)典設(shè)計法）、直接設(shè)計法、參數(shù)模型設(shè)計法、最大平滑濾波器設(shè)計。3.2 iir濾波器經(jīng)典設(shè)計 基于模擬濾波器變換原理，首先是根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計好的模擬濾波器變換成滿足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這就是iir濾波器設(shè)計的經(jīng)典法。經(jīng)典法可設(shè)計出低通、高通、帶通、帶阻等各種i

21、ir濾波器。在matlab中，經(jīng)典法設(shè)計iir數(shù)字濾波器采用下面的主要步驟：模擬低通濾波原型頻率變換模擬離散化iir濾波器由上可見，經(jīng)典設(shè)計法是利用模擬濾波器的設(shè)計成果。第二步完成后，一個達(dá)到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）已經(jīng)設(shè)計出來。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字濾波器的設(shè)計工作就全部完成。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計方法來設(shè)計iir數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的方法。設(shè)計過程是：按照技術(shù)要求設(shè)計一個模擬低通濾波器，得到

22、模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z)。這樣設(shè)計的關(guān)鍵問題就是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將s平面上的轉(zhuǎn)換成z平面上的h(z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的h(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其傳輸函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果則要求h(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)部。 （2）數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率至間成線性關(guān)系。 將傳輸函數(shù)從s平面?zhèn)鲹Q到z平面的方法有多

23、種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。我們先研究脈沖響應(yīng)不變法。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=ltlt.代表拉氏變換，對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為t，得到，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z)便是h(n)的z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，它是h(n)在采樣點(diǎn)上等于。 設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示： （3.2）式中為的單階極點(diǎn)。將逆拉氏變換得到： （3.3）式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為t,得到： （3.4） 對上式進(jìn)行z變換，

24、得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z)： (3.5) 對比3.2、3.5式，的極點(diǎn)映射到z平面，其極點(diǎn)變成，系數(shù)不變化。下面我們分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里我們以采樣信號作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的采樣信號用表示， （3.6）對進(jìn)行拉氏變換，得到： （3.7）式中是在采樣點(diǎn)t=n t時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： （3.8） 我們知道模擬信號的傅立葉變換和其采樣信號的傅立葉變換和其采樣信號

25、的傅立葉變換之間的關(guān)系滿足式： （3.9）將代入上式，得 （3.10）由 （3.8）、（3.10）式得到： （3.11）上式表明將模擬信號的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延遲后，再按照（3.8）式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到h（z）。（3.8）式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè) 按照（3.8）式，得到：因此得到： （3.12）那么 上式關(guān)系式說明，s平面的虛軸（）映射z平面的單位圓（），s平面左平面（）映射z平面單位內(nèi)（），s平面右半平面映射平面單位圓外（）。這說明如果因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到（）仍是因果穩(wěn)定的。另外，注意到z=是一個周期函數(shù)，可寫成m為任意整數(shù)當(dāng)不變，模擬

26、頻率變化2/t的整數(shù)倍時，映射值不變?；蛘哒f，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/t的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對應(yīng)著整個z平面。此時所在的s平面與所在的z平面的映射關(guān)系如圖所示。當(dāng)模擬頻率從變化到時，數(shù)字頻率則從變化到，且按照（3.12）式，即與之間成線性關(guān)系。但是，從模擬信號到采樣信號，其拉氏變換要按照式。其為周期，沿虛軸方向進(jìn)行周期化。如果原模擬信號得頻帶不是限于之間，則會在得奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到平面上，在附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖相應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖所示。這種會使設(shè)計出的濾波器在附近的頻率特性，程度不同地偏離模擬濾波在附近的頻率特性，嚴(yán)重時使濾波器不滿

27、足給定的技術(shù)指標(biāo)。因此，希望設(shè)計的濾波器使帶限濾波器，如果不是帶限的，例如高通濾波器，帶阻濾波器，需要在高通帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率以上的頻帶，以避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計。假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足將關(guān)系式代入，得到：說明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。上式中，的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當(dāng)t較小時，就會有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令那么,此時一般的極點(diǎn)是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在式中講一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階

28、基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)（只有實(shí)數(shù)乘法）的形式為如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為，則對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式為利用以上這些變換關(guān)系，可以簡化設(shè)計。雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到/t之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)ha（s），s=j，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用ha（s1），=j1表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： （3.13）式中t仍是采樣間隔，當(dāng)1從-/t經(jīng)過0變化到/t時，則由-經(jīng)過0變化到+，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的/t之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有 （3.14）再通過 轉(zhuǎn)換到z平面上

29、，得到： （3.15） （3.16）式（3.15）或式（3.16）稱為雙線性變換。從s平面映射到平面，再從平面映射到z平面，其映射情況如圖3.1所示。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系 ，平面的 /t之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，ha（s）因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的h（z）也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。令 ，并代入（3.15）式中，有 （3.17）imrez平面js平面j11s1平面/t-/t3.5.2.1 雙線性變換法的映射關(guān)系上式說明，s平面上與平面上的成非線

30、性正切關(guān)系，如圖3.2所示。在=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)增加是，增加得愈來愈快；當(dāng)趨近時，趨近于。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。-0圖3.2 雙線性變換法的頻率變換與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖3.3所示。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問題是：如果的刻度是均勻的，則影射到z平面的刻度不是均勻的，而是隨增加愈來愈密。000000圖3.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式（3.15）將ha（s）直接轉(zhuǎn)換成h（z），這是該變換法的優(yōu)點(diǎn)。但當(dāng)階數(shù)稍高時，將h（z）整理成需要

31、的形式，也不是一件簡單的工作。3.3 iir濾波器直接設(shè)計 iir數(shù)字濾波器的經(jīng)典設(shè)計法只限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，而對于具有形狀或多頻帶濾波器的設(shè)計是無能為力的。 如果所設(shè)計iir濾波器幅頻特性比較復(fù)雜，可采用最小二乘法擬合給定的幅頻響應(yīng)，使設(shè)計的濾波器幅頻特性逼近期望的頻率特性，這種方法稱為iir濾波器的直接設(shè)計法。 matlab信號處理工具箱函數(shù)yulewalk采用直接設(shè)計iir數(shù)字濾波器。函數(shù)yulewalk采取下面步驟計算分子多項(xiàng)式：（1） 計算與分子多項(xiàng)式相應(yīng)的幅值平方響應(yīng)的輔助式；（2） 由輔助分子式和分母多項(xiàng)式計算完全的頻率響應(yīng)；（3） 計算濾波器的脈沖響應(yīng)；

32、（4） 采用最小二乘法擬合脈沖響應(yīng)最終求得濾波器的分子多項(xiàng)式系數(shù)。 函數(shù)yulewalk允許我們自由定義濾波器的頻率向量f和幅值向量m，因此該函數(shù)可設(shè)計具有任意形狀的幅頻響應(yīng)的濾波器，包括多頻帶濾器。第4章 dsp仿真系統(tǒng)4.1 對低通模擬和數(shù)字濾波器的仿真4.1.1 模擬低通濾波器的仿真第三章所討論的設(shè)計思想，在dsp對模擬濾波器進(jìn)行仿真的過程中依然適用，其具體步驟總結(jié)如下：（1） 確定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率（對于低通和高通）或上、下邊界頻率,；波紋特性；帶阻衰減等。（2） 確定濾波器階數(shù)。（3） 計模擬低通濾波原型濾波器。matlab信號處理工具箱的濾波器原型函數(shù)buttap,c

33、heb1ap。（4） 按頻率變換設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。dsp信號處理工具箱的頻率變換函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照這種設(shè)計思想的編程較為麻煩。matlab信號處理工具箱還提供模擬濾波器的完全設(shè)計函數(shù)：butter,cheby1等。用戶只需調(diào)用一次設(shè)計函數(shù)就可自動完成全部設(shè)計過程，編程十分簡單。下面將以模擬低通butterworth濾波器的設(shè)計為例，解釋這種設(shè)計方法。設(shè)計指標(biāo)：通帶截止頻率=200，阻帶截止頻率=300，通帶衰減=1db，阻帶衰減=16db。仿真結(jié)果見圖4.1%matlab program2.1%design a buttwor

34、th analog lowpass filterws=300*pi;wp=200*pi;rp=1;rs=16;%compute oder and cuttoff frequency n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s) fc=wn/(2*pi) b,a=butter(n,wn,s); %outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi; h=freqs(b,a,w); magh=abs(h); phah=unwrap(angle(h); plot(w/(2*pi),20*log10(magh); xlabel(frequency(hz); ylabel(m

35、agnidute(db); grid onn = 7wn =725.7292fc =115.5034圖4.1 模擬低通濾波器4.2.2 數(shù)字低通濾波器的仿真iir數(shù)字濾波器經(jīng)典設(shè)計法的一般步驟是：（1）根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對設(shè)計性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的頻率指標(biāo)作為模擬濾波器原型設(shè)計性能指標(biāo)。（2）估計模擬低通濾波器最小階數(shù)和邊界頻率，利用matlab工具函數(shù)buttord、cheb1ord等。（3）設(shè)計模擬低通濾波器原型，利用matlab工具函數(shù)buttap、cheb1ap等。（4）由模擬低通原型經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻），利用matlab工

36、具函數(shù)lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）將模擬濾波器離散化獲得iir數(shù)字濾波器，利用matlab工具函數(shù)bilinear。設(shè)計iir濾波器時，給出的性能指標(biāo)通常分為數(shù)字指標(biāo)和模擬指標(biāo)兩種。數(shù)字性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶截止頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。數(shù)字頻率和的取值范圍為0，單位：弧度，而matlab工具函數(shù)常采用標(biāo)準(zhǔn)化頻率，和的取值范圍為01。模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶起始頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。模擬頻率和的單位均為弧度/秒。下面是一個利用雙線性變換設(shè)計一個butterworth低通濾波器的示例：技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率=2，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3db

37、，阻帶衰減大于15db,采樣頻率。仿真結(jié)果見圖4.2wp= 2000*2*pi; ws=3000*2*pi; rp=3; rs=15; fs=10000; ts=1/fs; nn=128;n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s) b,a=butter(n,wn,s); z,p,k=buttap(n); bap,aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2lp(bap,aap,wn); bz,az=bilinear(b,a,fs) freqz(bz,az,nn,fs) n =5wn =1.3387e+004bz =0.0171 0.0854 0.1708 0.1708 0.0

38、854 0.0171az =1.0000 -1.2271 1.1622 -0.5176 0.1450 -0.0159圖4.2 數(shù)字低通濾波器仿真4.4.1 模擬帶通濾波器的仿真函數(shù)butter用于butterworth濾波器設(shè)計，調(diào)用格式： b,a=butter(n,s) b,a=butter(n, ,ftype,s) 其中，n為濾波器階數(shù)；為濾波器截止頻率，s為模擬濾波器，確省時為數(shù)字濾波器。 ftype濾波器類型： high為高通濾波器，截止頻率； stop為帶阻濾波器，=（）； ftype缺省時為低通或帶通濾波器。以下設(shè)計一個butterworth模擬帶通濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：逼近頻率10

39、002000hz,兩側(cè)過渡帶寬500hz，通帶衰減1db，阻帶衰減大于100db。結(jié)果見圖4.5。%matlab program4.1%design a butterworth analog bandpass filterwp=1000 2000*2*pi; ws=500 2500*2*pi; rp=1; rs=100; n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s) b,a=butter(n,wn,s); n =23wn =1.0e+004 *0.6220 1.2695圖4.5 模擬帶通濾波器仿真4.4.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計設(shè)計一個帶通chebyshev i 型數(shù)字濾波器，通帶為

40、100hz200hz，過渡帶寬均為50hz，通帶衰減小于1db，阻帶衰減30hz，采樣頻率1000hz。仿真結(jié)果見圖4.6%matlab program4.2%design a chebyshev i digital bandpass filterfs=1000; ws=100 200*2/fs; wp=50 250*2/fs; rp=1; rs=30; nn=128; %compute oder and cuttoff frequencyn,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,s)b,a=cheby1(n,rp,wn); %outputfreqz(b,a,nn,fs); n =5

41、圖4.6 數(shù)字帶通濾波器仿真wn =0.1600 0.50004.5 對帶阻模擬和數(shù)字濾波器的仿真4.5.1 模擬帶阻濾波器的設(shè)計這里設(shè)計一個chebyshev i 型模擬帶阻濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：阻帶頻率1000hz2000hz，兩側(cè)過渡帶寬500hz，通帶衰減1db，阻帶衰減大于50db。仿真結(jié)果見圖4.7。%matlab program5.1%design a chebyshev i analog bandstop filterws=1000 2000*2*pi; wp=500 2500*2*pi; rp=1; rs=50; %compute oder and cuttoff freque

42、ncyn,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,s) b,a=cheby1(n,rp,wn,stop,s); %outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi; h=freqs(b,a,w); magh=abs(h); phah=unwrap(angle(h); plot(w/(2*pi),20*log10(magh); xlabel(frequency(hz); ylabel(magnidute(db); grid on圖4.7 模擬帶阻濾波器仿真4.5.2 數(shù)字帶阻濾波器的仿真設(shè)計一個butterworth數(shù)字帶阻濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：阻帶頻率為100hz20

43、0hz,兩側(cè)過渡帶寬500hz，通帶衰減1db,阻帶衰減大于30db。仿真結(jié)果見圖4.8fs=1000; ws=100 200*2/fs; wp=50 250*2/fs; rp=1; rs=30; nn=128; n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs) b,a=butter(n,wn,stop); freqz(b,a,nn,fs); n =7wn =0.1606 0.4720圖4.8 butterworth數(shù)字帶阻濾波器仿真同樣的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個chebyshev i 型帶阻濾波器，仿真結(jié)果見圖4.9圖4.9 chebshev i數(shù)字帶阻濾波器仿真%matlab program5.2.1%design a chebyshev i digital bandstop filterfs=1000;ws=100 200*2/fs;wp=50 250*2/fs;rp=1;rs=30;nn=128;%compute oder