球的對心碰撞及其實例分析

1、球的對心碰撞及其實例分析 碰撞問題既是高中教學(xué)的重點和難點，也是高考命題的熱點。分析研究碰撞問題，對于解決力學(xué)中打夯、鍛壓、擊球等問題，解決熱學(xué)中氣體分子間及氣體分子與器壁間的相互作用問題，解釋生活自然中的一些常見現(xiàn)象，以及較好地解答高考中的力學(xué)綜合題等，都有十分重要的作用。下面以球的對心碰撞為例，對碰撞現(xiàn)象作一些分析。（一） 完全彈性碰撞在碰撞中，一種簡單的情形是，兩個等大而不同質(zhì)量的小球，碰撞前后處在同一水平直線上運動，這就是球的對心碰撞。若碰撞前后系統(tǒng)的動能不發(fā)生變化，就叫完全彈性碰撞。用m1和m2分別表示兩球的質(zhì)量， 用v10和v20分別表示兩球碰撞前的速度，用v1和v2分別表示兩球碰

2、撞后的速度，據(jù)動量守恒定律有m1 v10+ m2 v20= m1v1+m2v2由于是完全彈性碰撞，故碰撞前后動能守恒： m1v102+ m2v202= m1v12+ m2v22聯(lián)立兩式可求得兩小球碰撞后的速度分別為v1= ()v10 + ()v20 v2= ()v10 +() v20根據(jù)式我們可做以下討論：討論1：當(dāng)m1=m2，即對心碰撞的兩球質(zhì)量相等時可得v1=v20, v2=v10，即二球經(jīng)過碰撞相互交換速度。若v20=0，則v1=0 ，v2=v10，即m1以一定的速度去碰撞靜止的m2，結(jié)果m1會突然停止，而m2“接過”m1的速度前進(jìn)。這就是在兒童打彈子或成人打臺球中經(jīng)?？吹降默F(xiàn)象。討論2

3、：當(dāng)m1m2 且v20=0，即用小質(zhì)量的球去碰很大質(zhì)量且靜止的球時先將v20=0代入式得到 v1= ()v10 ， v2= ()v10 再將條件m1m2 且 v20=0，即用質(zhì)量很大的球去碰靜止的輕球時考慮m1m2 和v20=0兩個因素，由式可以得到v1 v10 ， v22v10 說明重球幾乎以原速率繼續(xù)前進(jìn)，而靜止的輕球被碰后則以二倍于重球的速率“逃離”重球。正如用一個鉛球去碰一個乒乓球一樣，碰后鉛球好像沒有受到任何障礙一樣繼續(xù)保持原速率前進(jìn)，而乒乓球卻以2倍于鉛球的速度很快地跑開?？梢?，用碰撞規(guī)律可以很好地解釋許多生活中常見的現(xiàn)象，物理就在我們身邊。例題1 如圖所示，有一內(nèi)表面光滑的金屬盒

4、，底面長l=1.2m，質(zhì)量為m1=1kg，放在水平地面上，與地面間的動摩擦因數(shù)為=0.2，在盒內(nèi)最右端放一半徑為r=0.1m的光滑金屬球，金屬球的質(zhì)量為m2=1kg，現(xiàn)在盒的左端給盒施加一個水平?jīng)_量i=3ns（盒壁厚度、球與盒發(fā)生碰撞的時間和能量損失均忽略不計），取g=10m/s2，求 （1）金屬盒能在地面上運動多遠(yuǎn)？ （2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間多長？ 1.2mi解析：這是一個典型的彈性碰撞問題，也是一道較難的力學(xué)綜合題。（1）由于沖量作用，金屬盒獲得速度v=3m/s，此時金屬球由于慣性保持靜止，金屬盒所受摩擦力為f=（m1+m2）g=4n， 以金屬盒為研究對象，據(jù)動能定理有

5、： fs=0m1v2 , 解得 s=1.125m考慮到金屬球的大小，當(dāng)金屬盒前進(jìn)s1=1m時即與球發(fā)生碰撞，設(shè)碰前盒的速度為v10，則在這1m的位移內(nèi)對盒應(yīng)用動能定理有：fs1=m1v102m1v2 ， 解得 v10=1m/s設(shè)碰后盒的速度為v1，球的速度為v2，由于碰撞中球與盒的作用力遠(yuǎn)大于盒受到的摩擦力，且碰撞的時間極短，故可認(rèn)為系統(tǒng)的動量和動能均守恒：m1v10=m1v1+m2v2 m1v102=m1v12+m2v22聯(lián)立兩式并代入數(shù)值解得 v1=0， v2=1m/s， 說明碰后盒靜止、球以盒碰前的速度向前運動。當(dāng)球前進(jìn)1m時與盒發(fā)生第二次碰撞， 碰后球的速度變?yōu)?，盒的速度變?yōu)関2=1

6、m/s，以金屬盒為研究對象，據(jù)動能定理有：fs2=0m1v22 ，解得 s2=0.125m，說明第二次碰撞后金屬盒最多只能在地面上運動0.125m就會停下來，以后金屬盒不會與球再發(fā)生碰撞，故金屬盒能在地面上運動的最大距離為s1+s2=1.125m（2）設(shè)盒前進(jìn)s1=1m所用的時間為t1，前進(jìn)s2=0.125m所用的時間為t2，據(jù)動量定理有：ft1=m1v10m1v， ft2=0m1v2， 且v1=v2=1m/s代入數(shù)據(jù)可求得：t1=0.5s， t2=0.25s， 小球運動時間為t3， 則t3=1s故金屬盒從開始運動到最后靜止，所經(jīng)歷的時間共為t=t1+t2+t3=1.75s在解決上述問題中，我

7、們實際應(yīng)用了討論1中的思維方法，即完全彈性碰撞中兩球相等的情形，我們也完全可以用討論1中的結(jié)論來解決上述問題，只是在高考答題時，仍然要求寫出原始方程和，否則，會因解題無依據(jù)而丟掉不該丟的分。（二）完全非彈性碰撞若兩小球碰撞后不分開，而是以同一速度運動，這種碰撞就叫完全非彈性碰撞。這時小球系統(tǒng)的動量守恒：m1 v10+ m2 v20=（ m1+m2）v但系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒。例題2 如圖所示，一顆質(zhì)量為m0的子彈，以v0的速度水平射入置于光滑水平面上的木塊a并留在其中，a和木塊b質(zhì)量均為m，且用一根彈性良好的彈簧連在一起，則在子彈打擊木塊及彈簧壓縮的整個過程中，彈簧的彈性勢能最大值為多少？ 解析

8、 ：子彈射入木塊a的過程中動量守恒：m0v0=(m0+m)v1 解得v1=a（包括子彈）以一定的速度向前運動，壓縮彈簧推動木塊b的過程中，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為（彈簧的）勢能，當(dāng)a、b速度相等時，系統(tǒng)的勢能最大、動能最小，這一整個過程類似完全非彈性碰撞，系統(tǒng)的總動量守恒：(m +m0)v1=(2m+m0)v2 解得 v2=此時彈簧的彈性勢能就等于系統(tǒng)動能的減少量：epm=ek=(m+m0)v12(2m+m0)v22=無論是完全彈性碰撞還是完全非彈性碰撞，系統(tǒng)的動量之所以守恒，是因為“極短”時間的碰撞所產(chǎn)生的“內(nèi)力”遠(yuǎn)大于系統(tǒng)受到的“外力”，這時外力的作用可忽略不計，而近似認(rèn)為系統(tǒng)不受外力，因而動量守

9、恒。解決這類問題，關(guān)鍵是要弄清研究對象和研究過程，正確選擇列動量守恒方程的系統(tǒng)及其應(yīng)用過程。如例題2中，第一次選擇的對象是子彈和木塊a組成的系統(tǒng)，動量守恒的過程是子彈跟木塊a碰撞的過程；第二次選擇的對象是木塊a（包括子彈）、彈簧和木塊b四者組成的系統(tǒng)，動量守恒的過程是從a開始壓縮彈簧推動b，到彈簧壓縮量最大，a、b速度相等時止。這一過程不是a、b兩木塊直接發(fā)生碰撞，而是通過彈簧的作用來實現(xiàn)“碰撞”的。這正是兩球發(fā)生對心碰撞的力學(xué)模型，其實任何對心碰撞都可建立這樣的模型。（三） 非完全彈性碰撞介于完全彈性碰撞與完全非彈性碰撞之間的是非完全彈性碰撞。譬如，一個小皮球從高處自由下落到地面后被反彈跳起，反跳的高度總要比原來下落時的高度小一些，這時，皮球跟地面間的碰撞就是非完全彈性碰撞。如果兩小球碰撞后彼此分開，而系統(tǒng)的機(jī)械能又有一定損失，這樣的碰撞就叫非完全彈性碰撞。這種碰撞過程系統(tǒng)的動量仍然守恒：m1 v10+ m2 v20= m1v1+m2v2但機(jī)械能（