高中數(shù)學(xué)橢圓經(jīng)典例題解析解析

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 a2。），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.說(shuō)明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定 橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.已知橢圓1.1的離心率e = 2,求k的值.說(shuō)明：本題易出現(xiàn)漏解.排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)?k+8與9的大小關(guān)系不定，所以 橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上.故必須進(jìn)行討論.x2y2例3已知方程三十二=一1表示橢圓,求k的取值范圍k-50,解：由 3-k0, 得 3k5,且 k#4.、k - 5 二 3 - k,.滿足條件的k的取值范圍是3k5,且k=4.k -5 0說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解

2、：由工0,得3k5,故k的取值范圍是3k3. 6 2m又 c = 2 ,所以 2m - 6 = 22, m=5適合.故m=5.例5已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（3,0）, a = 3b ,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)a和b （或a2和b2）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為 j+4=1（ab0）. a2 b2由橢圓過(guò)點(diǎn)p（3,0）,知圣+烏=1.又a = 3b,代入得b2=1 , a2 =9, a b2故橢圓的方程為l+y2=1.922當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為 4 += 1（a

3、ba0 ）. ./-ia b由橢圓過(guò)點(diǎn)p（3,0 ）,知3+g =1 .又a = 3b,聯(lián)立解得a2 =81, b2=9, a b22故橢圓的方程為l+=1.819例6已知p點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)的距離分別為 5和3歧，過(guò)p點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程.f2 ,且 pfi =45 ,3解：設(shè)兩焦點(diǎn)為fi、從橢圓定義知 2a=|pf1 +|pf2|=2v5 ,即 a=v5.從pfi |pf2知pf2垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸,所以在 rupf2f1 中，sin zpf1f2 =pf2pfi12i-可求出.pf1f2=6,一 -2 2v5川工 222 1

4、02c = pf1 cos =l ,從而 b =a - c =.6 v1332222所求橢圓方程為 人+里=1或+e=i.51010522例7已知橢圓方程2 + -y2=1ab0）,長(zhǎng)軸端點(diǎn)為a, a2,焦點(diǎn) a b為 fi, f2, p 是橢圓上一點(diǎn)，/ apa2epf2 = 0 .求：afipf2的面積（用a、b、”表示）.分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角a的兩鄰邊，從而利用s = 1absinc求面積.2解：如圖，設(shè)p(x, y),由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)p在第一象限.由余弦定理知：fif2/ = pfi2+|pf2|2-2pf1 pf2 88a =4c2.由橢圓定義知：pe十pf2

5、=2a ,則2得pfi pf2 =1 c 0 8故 s.f1pf21 kl-l .一 pf1 pf2 sina212b2sin ;21 cos：,2:=b tan .2例8已知?jiǎng)訄Ap過(guò)定點(diǎn)a(-3,0),且在定圓b:(x-3)2 + y2 =64的內(nèi)部與其相內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心p的軌跡方程.分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)p滿足的關(guān)系式.解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓p和定圓b內(nèi)切于點(diǎn)m .動(dòng)點(diǎn)p到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)aj3q )和定圓圓心b(3,0)距離之和恰好等于定圓半徑，即pa+1pb = pm + pb = bm| = 8. .,點(diǎn)p的軌跡是以a , b為兩焦點(diǎn),22半長(zhǎng)軸為4,半短軸長(zhǎng)為b =。42 -32

6、 =j7的橢圓的方程:上+工=1.167說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求 軌跡的方程.這是求軌跡方程的一種重要思想方法.例9 已知圓x2 + y2 = 1 ,從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)p向y軸作垂線段, 求線段中點(diǎn)m的軌跡.分析：本題是已知一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題.這種題目一般利用中間變量（相關(guān)點(diǎn)）求軌跡方程或軌跡.解：設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x , y）,點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x0 , y0），則x = x0 , y = y0 -2因?yàn)?p(x , y)在圓 x2 +y2 =1 上，所以 x。2 + yo2 =1 將 x0 =2x , y0 = y 代入方程 x02 + y0

7、2 =1得 4x2 + y2 = 1 所以點(diǎn)m的軌跡是一個(gè)橢圓4x2 +y2 =1 .說(shuō)明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x , y）,設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x。，y。），然后根據(jù)題目要求，使x, y與x。，y。建立等式關(guān)系,從而由這些等式關(guān)系求出x。和y。代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于 x, y的方程， 化簡(jiǎn)后即我們所求的方程.這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握.22y (或x),得到關(guān)于x (或y)例18已知p(4,2)是直線l被橢圓 上+2_ =1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線 l的方程. 369分析：本題考查直線與橢圓的位置

8、關(guān)系問(wèn)題.通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出x1+x2, x1x2(或y1+y2, y1y2)的值代入計(jì)算即得.并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的.解：方法一：設(shè)所求直線方程為 y -2 = k(x 4) .代入橢圓方程，整理得(4k4(2)設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1, x2，由(1)得x1 +x2 = -:，x1x2 =-.55 + 1)x2 -8k(4k -2)x+4(4k -2)2 -36=0 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為a(x1，),b(x2, 斗，則x、x2是的兩根，xi+x2 = 8k(4k

9、-2)4k 1 p(4,2)為 ab 中點(diǎn)，. 4 = x1 +x2 =4k(4k -2) , k =二.所求直線方程為 x + 2y8=0. 2 4k 12方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)a(x1，y)，b(x2,y2).p(4,2)為 ab 中點(diǎn)，x+x2=8,必 + 丫2=4.2.2222222又二 a, b 在橢圓上，x1+4y1=36,x2+4y2=36 兩式相減得(-x2)+4(y1 y2) = 0 ,即(x1 +x2)(x1x2)+4(y1+y2)(y1 y2)=0. .比坐=二1二二辿=一 1 ，直線方程為 x + 2y8=0.x x24(y1 丫2)2方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交

10、點(diǎn)為a(x , y),另一個(gè)交點(diǎn)b(8-x,4-y). a、b 在橢圓上，x2+4y2=36。(8 x)2+4(4 y)2 = 36從而a, b在方程的圖形 x + 2y -8=0上，而過(guò)a、b的直線只有一條，直線方程為x + 2y8 = 0.說(shuō)明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問(wèn)題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問(wèn)題的有效方法.若已知焦點(diǎn)是(3j3,0)、(3j3,0)的橢圓截直線x + 2y8 = 0所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 4,則如何求橢圓方程？例8已知橢圓4x2 +y2 =1及直線y =x+m ./ix(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？/ 卜、_2.10(2)若直線被橢圓

11、截得的弦長(zhǎng)為 10,求直線的方程.解：(1)把直線方程y=x+m代入橢圓方程4x2+y2=1得 4x2+(x + m2=1,一 _ 2_2222. 5. 5即 5x +2mx+m 1=0. =(2m j 4 m5m (m 1)=16m +20 之 0,解得wmw.22根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：v1+12 i -2m_4mm _1 = 20 .解得m = 0 .方程為y = x .v 5 j 55說(shuō)明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式;解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式.用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理(即根與系數(shù)

12、的關(guān)系)，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.22例9以橢圓 l+l=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線 l： x-y十9=0上一點(diǎn)m作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短, 123點(diǎn)m應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn), 使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)(即兩焦點(diǎn))的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決.22解：如圖所示，橢圓 +l=i的焦點(diǎn)為f1(_3,0 ), f2(3,0).123點(diǎn)fi關(guān)于直線l： xy+9=0的對(duì)稱點(diǎn)f的坐標(biāo)為(一9, 6),直線ff2的方程為x + 2y-3 = 0.x +2y3 =0 ,解萬(wàn)程組3, 得交點(diǎn)m的坐標(biāo)為（5, 4）.此

13、時(shí)mf1 + mf2最小.、x _y +9 = 0所求橢圓的長(zhǎng)軸：2a = mf1 + mf2 = ff2 =60 , n 0),且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程.解：設(shè)所求橢圓方程為 mx2 +ny2 =1(m 0 , n 0),由a(j3 , 2)和b(2j3,1)兩點(diǎn)在橢圓上可得m （?。? +n （-2）2 =1, m （-2v3）2 +n 12 =1,3m +4n =1,即）12m + n =1,1 所以m =一151n =一.故所求的橢圓方程為 522x y155it例14已知長(zhǎng)軸為12,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)f1作傾斜解為一的直線交橢圓于a

14、,3b兩點(diǎn)，求弦ab的長(zhǎng).分析：可以利用弦長(zhǎng)公式 ab =/十一%x2 =t（1+k2）（x1+x2）2 4x1x2求得,也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求.解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解.ab 八1 +kxi-x2 =c(1+k2)(xi+x2)24x1x2.因?yàn)?a =6, b=3,所以 c = 33 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x軸上,22所以橢圓方程為二十匕=i ,左焦點(diǎn)f（73,0）,從而直線方程為 y = j3x+9.369由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得:13x2+72j3x+36m8=0.設(shè)x1，x2為方程兩根，所以人2 : 一31336 8x1x213從而 ab

15、=j1+k2|x1x2 = j(1 + k2)( x1+x2)24x1x24813（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為22| + =1 ,設(shè) |af1 =m, |bf1 =n,則 |af2 = 12 m , |bf2 =12 n .在 mf1f2 中，af22=af1f1f2|2 -2 af1| f1f2 cos；,即(12 m)2 = m2 + 36 3-2 m 6m 1；.48ab = m + n =1366所以m=尸.同理在abfif2中，用余弦定理得 n =廣，所以4 一 “34 .3（法3）利用焦半徑求解.先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程 13x2+72j3x+36x8

16、 = 0求出方程的兩根x1 , x2，它們分別是a , b的橫坐標(biāo).再根據(jù)焦半徑 aejna+ex, bf1| =a+ex2,從而求出 ab =|af1 + bf1 .x2 y2例15 橢圓 +y =1上的點(diǎn)m到焦點(diǎn)f1的距離為2, n為mf1的中點(diǎn)，則 on （o為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為 2593a. 4 b. 2c. 8d. 一2解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為f2 ,由橢圓第一定義得mf1 +|mf2 =2a=10,所以 mf2| = 10 mf1 =10 2=8,又因?yàn)閛n為amff2的中位線，所以 on|mf2 4 ,故答案為a.2oyf tf1f2 ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.說(shuō)明：（1）橢

17、圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于(2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即mfi +|mf2.=2a,利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離.22x y例16已知橢圓c:+l=1,試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線 l: y=4x + m,橢圓c上有不同的兩點(diǎn) 43關(guān)于該直線對(duì)稱.分析：若設(shè)橢圓上 a, b兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線ab_ll ; (2)弦ab的中點(diǎn)m在l上. 利用上述條件建立 m的不等式即可求得 m的取值范圍.解：(法1)設(shè)橢圓上a(xi , yi) , b(x2 , y2)兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，直線ab與l交于m (x , y)點(diǎn).

18、l的斜率kl =4, .設(shè)直線ab的方程為1-y = -x+n.由方程組41y : 一4 22土 .上x n,消去y得二1,1131 ,、yo = -xom =(-m)444 a, b為橢圓上的兩點(diǎn)， m點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,(-m)2 (-3m)22.132.13-+- 1 .解得 一 m 0.解得13 mm生八 r 一，m = -3m ,即 m 點(diǎn)坐標(biāo)為(m , -3m).131313413(法 2)同解法 1 得出 n = - 1m ,xo =13(一4m) = -m，ab與l的交點(diǎn)m的坐標(biāo)為(xo , yo).即 3 -2xo(xi x2) +4 2yo(yi y2) =0 .(法3)設(shè)a(xi , yi) , b(x2, y2)是橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線2222,a, b 在橢圓上，遼+江=1, x_+七_(dá) =1 .兩式相減得 3(x1 +x2)(x1x2)+4(y + y2)(y1 _ y2) = 0 , 4343y1 一