高中物理競賽的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(自用修改)

1、普通物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)選自趙凱華老師新概念力學(xué) 一、微積分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運動規(guī)律，因此我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變 量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系。這樣，微積分這個數(shù)學(xué)工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時若能較早地掌握一些 微積分的初步知識，對于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處 的。所以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方 法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理 課的需要。至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識和方法，讀者將通過高等 數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成。 1 .函數(shù)及其圖形1. 1函數(shù)自變

2、量和因變量絕對常量和任意常量1 . 2函數(shù)的圖象1. 3物理學(xué)中函數(shù)的實例2.導(dǎo)數(shù)2. 1極限如果當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值x0 (記作xx0)時，函數(shù)f (x)的數(shù) 值無限趨近某一確定的數(shù)值 a,則a叫做x-x0時函數(shù)f (x)的極限值，并記 作lim (m)=a,(a. 17)(a. 17)式中的“l(fā)im”是英語“l(fā)imit (極限)” 一詞的縮寫，(a. 17) 式讀作“當(dāng)x趨近x0時，f (x)的極限值等于a”。極限是微積分中的一個最基本的概念， 它涉及的問題面很廣。這里我們不 企圖給“極限”這個概念下一個普遍而嚴(yán)格的定義，只通過一個特例來說明它 的意義。求極限公式(1) lime =

3、 d(2)litn r =即 iff(3)lim = 0rts aarc sin z.siti 尤- t- tan 匯 _.hm= 1 li m= 1 li m(4)ktq x , jitu z ,耳d由出巡2 = 1甲仍0)等價無窮小量代換sinx x; tan x;2. 2極限的物理意義asv = lim 二一=limat-0占七一0s(ta + 0-(%)t(a. 20)(1)瞬時速度對于勻變速直線運動來說,. as1 av = hm = lim l4 + at0 + azat) = vn + at0. at-0 2it 一02這就是我們熟悉的勻變速直線運動的速率公式(a. 5)。(2)

4、瞬時加速度反映出某一時刻速度變化的快慢，我們就需取云在al。時的極限，這就是物體在t=t0時刻的瞬時加速度a：limat- o(% + at)憤(。)at(a. 22)(3)水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水 流動。為簡單起見，我們假設(shè)水渠是直的，這時可以把x坐標(biāo)軸取為逆水渠走 向的方向(見圖a-5),于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h （x）知道了這個函數(shù)，我們就可以計算任意兩點之間的高度差。_al映出來.我們應(yīng)當(dāng)取更小的長度間隕八處理得前小，就愈能精確地反映出x=x0這一點的坡度。所以在x=x0這一點的坡度k應(yīng) 是4l0時的平均坡度e的極限值，即（a. 24）

5、2. 3小量比值函數(shù)的變化率一一導(dǎo)數(shù)前面我們舉了三個例子，在前兩個例子中自變量都是 t,第三個例子中自 變量是x.這三個例子都表明，在我們研究變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系時，除 了它們數(shù)值上“靜態(tài)的”對應(yīng)關(guān)系外，我們往往還需要有“運動”或“變化” 的觀點，著眼于研究函數(shù)變化的趨勢、增減的快慢，亦即，函數(shù)的“變化率” 概念。當(dāng)變量由一個數(shù)值變到另一個數(shù)值時， 后者減去前者，叫做這個變量的增 量。增量，通常用代表變量的字母前面加個來表示。例如，當(dāng)自變量 x 的數(shù)值由x0變到xi時，其增量就是 x=x1-x 0.(a. 25)與此對應(yīng)。因變量y的數(shù)值將由y0=f (xo)變到y(tǒng)i=f (x。，于是它的增

6、 量為 ymyi-y0=f (x。一f (x“ =f (x0+ax) f (x” . (a. 26)應(yīng)當(dāng)指 出，增量是可正可負(fù)的，負(fù)增量代表變量減少。增量比y _陶+ 力舊）它在 x可以叫做函數(shù)在x= x0到x = x+4x這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率, 0時的極限值叫做函數(shù)y=f (x)對x的導(dǎo)數(shù)或微商，記作y或f (x),=lini am-。國 +ax)-f(xc)(a, 28)除小f，外，導(dǎo)數(shù)或微商還常常寫作df ddx 也f (x)等其它形式。導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點的性質(zhì)，即在該點的變化率。應(yīng)當(dāng)指出，函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f 們可以再取它對x的導(dǎo)數(shù)，這叫做函數(shù)(x)本身也是x的一個函

7、數(shù)，因此我y=f (x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作片、f#仁)、 、 day ddy、y#(笈)=t= 一()=改3也急口 go . ca.的據(jù)此類推，我們不難定義出高階的導(dǎo)數(shù)來。有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面的幾個實例中的物理量就可表示為:瞬時速率=,dt瞬時加速度且-: dt水渠坡度k =巖.(a. 30)dt( 30(a. 32)2. 4導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。函數(shù)的變化率 3.導(dǎo)數(shù)的運算在上節(jié)里我們只給出了導(dǎo)數(shù)的定義， 本節(jié)將給出以下一些公式和定理，利 用它們可以把常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來。3. 1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) y=f (x) =c (常量)f (x +ax) - (x)ak

8、c- clim 77 0.421-0 八一(2) y=f (x) =x(器: 芥)一(若), 豆=lim = lim 1.八 k&：-0八 x 4 .微分4.1 微分自變量的微分，就是它的任意一個無限小的增量 x .用dx代表x的微分, 則dx=ax. (a. 38)一個函數(shù)y=f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)乘以自變量的微分dx,叫做這個函數(shù) 的微分，用dy或df (x)表示，即dy=df (x)三f (x) dx,(a. 39)故=電，(a. 40)在前面我們也曾把導(dǎo)數(shù)寫成也的形式。然而是把它作為一個整體引入的。當(dāng)時它雖然表面上具有分?jǐn)?shù)的形式， 但在運算時并不象 普通分?jǐn)?shù)那樣可以拆成“分子”和“

9、分母”兩部分。在引入微分的概念之后， 我們就可把導(dǎo)數(shù)看成微分dy與dx之商(所謂“微商”)，即一個真正的分?jǐn)?shù) 了。把導(dǎo)數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式，常常是很方便的，例如，把上節(jié)定理四(a. 37)式的左端旦口恒 簡舄成的，則該式化為 dxokdu dudv dx dvdx此公式從形式上看就和分?jǐn)?shù)運算法則一致了，很便于記憶。下面看微分的幾何意義。圖 a-8是任一函數(shù)y = f (x)的圖形，r (x% y0)和pi (x0+ax, + y)是曲線上兩個鄰近的點，rt是通過r的切線。直 角三角形 rmp的水平邊= 豎直邊畫=八了(見圖啟0設(shè)pr與mp1的交點為n,則mn mn tanznkm =.0 polm

10、&但tan/npm為切線rt的斜率，它等于x=x0處的導(dǎo)數(shù)f (即)，因此dy = f7 (k0) ax = tanznp0m au= mn.所以彳取分dy在幾何圖形上相當(dāng)于線段 mn的長度，它和增量產(chǎn)二而再相差麗一段長。從上一節(jié)計算導(dǎo)數(shù)時取極限的過程中可以看出，dy是zxy中正比于宏的那一部分，而麗則是正比于( x) 2以及ax更高幕次的各項之和例如對于函數(shù)y=f (x) = x3, y = 3x%x + 3x (ax) 2+ (ax) 3, 而 dy=f (x) ax=3x2ax. 當(dāng) x很小時，(ax) 2、(ax) 3、比ax小得多，麗也就比dy小得多-所以我們可以把做分dy叫做增量a

11、y中的線性主部。這就是說，如果函數(shù)在x=x0的地方象線性函數(shù)那樣增長，則它的增量就是dy. 5 小量累積 積分1 .1幾個物理中的實例(1)變速直線運動的路程我們都熟悉勻速直線運動的路程公式。如果物體的速率是v,則它在ta到tb一段時間問隔內(nèi)走過的路程是5 = v(tbta).(a.45)對于變速直線運動來說，物體的速率 v是時間的函數(shù)：v=v(t)，函數(shù)的圖形是一條曲線(見圖a-10a),只有在勻速直線運動的特殊情況 下，它才是一條直線(參見圖a-4b)。對于變速直線運動，(a.45)式已不適用。 但是，我們可以把1=12到1=加這段時間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠 短時，在每小段時間內(nèi)的

12、速率都可以近似地看成是不變的。這樣一來，物體在每小段時間里走過的路程都可以按照勻速直線運動的公式來計算，然后把各小段時間里走過的路程都加起來，就得到 t a到t b這段時間里走過的總路程。設(shè)時間問隔(t b 12)被t =t 1(=t a)、t2、t3、tn、tb分割成h小段，每小 段時間間隔都是 t ,則在tl、t2、t、r各時刻速率分別是v(t 1)、v(t 2)、 v(t3)、v(t n) 0如果我們把各小段時間的速率v看成是不變的，則按照勻速直線運動的公式，物體在這些小段時間走過的路程分等于v(t i)at v(t 2) t、v(t 3) at、v(t n) at.于是，在整個(t b

13、-t a)這段時間里的總路程是s = vftj + v(t3)at + v(t5)at + + n=ev(k)at.(a.46)i=l現(xiàn)在我們來看看上式的幾何意義。在函數(shù) v = v(t)的圖形中，通過t=t 1、 t2、t3、tn各點垂線的高度分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)(見圖a-10b),所以 v(t i ) at v(t 2) at、v(t 3) zt、v(t n) at 就分別是圖中那些捌守巨形的囿積，而七)側(cè)是所有這些矩形面積的總和，即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積 在上面的計算中，我們把各小段時間 t里的速率v看做是不變的，實 際上在每小段時間里v多少還是有些變化的，所以上面的計算并不精確。要使計算精確，就需要把小段的數(shù)目 n加大，同時所有小段的 t縮短(見圖 a-10c)。at愈短，在各小段里v就改變得愈少，把各小段里的運動看成勻速 運動也就愈接近實際情況。所以要嚴(yán)格地計算變速運動的路程s,我們就應(yīng)對(a.46)