北京市中考數(shù)學(xué)專題突破十：新定義問題(含答案)

1、專題突破(十)新定義問題新定義題型的構(gòu)造注重學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程及不同認(rèn)知階段特征的表現(xiàn)其內(nèi)部邏輯構(gòu)造呈現(xiàn)出比較嚴(yán)謹(jǐn)、整體性強(qiáng)的特點(diǎn)其問題模型可以表示為閱讀材料、研究對象、給出條件、需要完成認(rèn)識而規(guī)律探究、方法運(yùn)用、學(xué)習(xí)策略等則是“條件”隱形存在的“魂”這種新定義問題雖然在構(gòu)造方式上“五花八門”，但是經(jīng)過整理也能發(fā)現(xiàn)它們存在著一定的規(guī)律新定義題型是北京中考最后一題的熱點(diǎn)題型“該類題從題型上看，有展示全貌，留空補(bǔ)缺的；有說明解題理由的；有要求歸納規(guī)律再解決問題的；有理解新概念再解決新問題的，等等這類試題不來源于課本且高于課本，結(jié)構(gòu)獨(dú)特北京第25題分析北京第29題分析年份20142015考點(diǎn)新定義問

2、題先學(xué)習(xí)后判斷，函數(shù)綜合給出新定義，學(xué)習(xí)，應(yīng)用12015北京 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，c的半徑為r，p是與圓心c不重合的點(diǎn)，點(diǎn)p關(guān)于o的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線cp上存在一點(diǎn)p，滿足cpcp2r，則稱p為點(diǎn)p關(guān)于c的反稱點(diǎn)，如圖z101為點(diǎn)p及其關(guān)于c的反稱點(diǎn)p的示意圖(1)當(dāng)o的半徑為1時(shí)分別判斷點(diǎn)m(2，1)，n(，0)，t(1，)關(guān)于o的反稱點(diǎn)是否存在，若存在，求其坐標(biāo)；點(diǎn)p在直線yx2上，若點(diǎn)p關(guān)于o的反稱點(diǎn)p存在，且點(diǎn)p不在x軸上，求點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍(2)當(dāng)c的圓心在x軸上，且半徑為1，直線yx2 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)a，b.若線段ab上存在點(diǎn)p，使得點(diǎn)p關(guān)于c的反稱點(diǎn)p

3、在c的內(nèi)部，求圓心c的橫坐標(biāo)的取值范圍圖z10122014北京 對某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)m0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足mym，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)在所有滿足條件的m中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值例如，圖z102中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.(1)分別判斷函數(shù)y(x0)和yx1(4a)的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；(3)將函數(shù)yx2(1xm，m0)的圖象向下平移m個(gè)單位長度，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足t1?圖z10232013北京 對于平面直角坐標(biāo)系xoy中的點(diǎn)p和c，給出如下定義：若c上存在兩個(gè)點(diǎn)a，b，使得apb60，則稱p

4、為c的關(guān)聯(lián)點(diǎn)已知點(diǎn)d(，)，e(0，2)，f(2 ，0)(1)當(dāng)o的半徑為1時(shí)，在點(diǎn)d，e，f中，o的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_；過點(diǎn)f作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)g，使gfo30，若直線l上的點(diǎn)p(m，n)是o的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)若線段ef上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍圖z10342012北京 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于任意兩點(diǎn)p1(x1，y1)與p2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：若|x1x2|y1y2|，則點(diǎn)p1與點(diǎn)p2的“非常距離”為|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，則點(diǎn)p1與點(diǎn)p2的“非常距離”為|y1y2|.例如：點(diǎn)p1(1，2)，點(diǎn)p2(3

5、，5)，因?yàn)閨13|25|，所以點(diǎn)p1與點(diǎn)p2的“非常距離”為|25|3，也就是圖z104(a)中線段p1q與線段p2q長度的較大值(點(diǎn)q為垂直于y軸的直線p1q與垂直于x軸的直線p2q的交點(diǎn))(1)已知點(diǎn)a(，0)，b為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)若點(diǎn)a與點(diǎn)b的“非常距離”為2，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)b的坐標(biāo)；直接寫出點(diǎn)a與點(diǎn)b的“非常距離”的最小值(2)已知c是直線yx3上的一個(gè)動點(diǎn)，如圖(b)，點(diǎn)d的坐標(biāo)是(0，1)，求點(diǎn)c與點(diǎn)d的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)c的坐標(biāo)如圖(c)，e是以原點(diǎn)o為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求點(diǎn)c與點(diǎn)e的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)e和點(diǎn)c的坐標(biāo)圖z1041201

6、5平谷一模 b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為a，b對于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)mxn時(shí)，有myn，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間m，n上的“閉函數(shù)”如函數(shù)yx4，當(dāng)x1時(shí)，y3；當(dāng)x3時(shí)，y1，即當(dāng)1x3時(shí)，有1y3，所以說函數(shù)yx4是閉區(qū)間1，3上的“閉函數(shù)”(1)反比例函數(shù)y是閉區(qū)間1，2015上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；(2)若二次函數(shù)yx22xk是閉區(qū)間1，2上的“閉函數(shù)”，求k的值；(3)若一次函數(shù)ykxb(k0)是閉區(qū)間m，n上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式(用含m，n的代數(shù)式表示)22015東城一模 定

7、義符號min的含義為：當(dāng)ab時(shí)，minb；當(dāng)ab時(shí)，mina.如：min2，min1.(1)求min；(2)已知minx22xk，33，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)已知當(dāng)2x3時(shí)，minx22x15，m(x1)x22x15.直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍32015海淀二模 如圖z105(a)，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)a(1，0)，b(1，1)，c(1，0)，d(1，1)，記線段ab為t1，線段cd為t2，點(diǎn)p是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)給出如下定義：若存在過點(diǎn)p的直線l與t1，t2都有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)p是t1t2聯(lián)絡(luò)點(diǎn)例如，點(diǎn)p(0，)是t1t2聯(lián)絡(luò)點(diǎn)(1)以下各點(diǎn)中，_是t1t2聯(lián)絡(luò)點(diǎn)(填出所有正確的序號)

8、；(0，2)；(4，2)；(3，2)(2)直接在圖(a)中畫出所有t1t2聯(lián)絡(luò)點(diǎn)所組成的區(qū)域，用陰影部分表示(3)已知點(diǎn)m在y軸上，以m為圓心，r為半徑畫圓，m上只有一個(gè)點(diǎn)為t1t2聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，若r1，求點(diǎn)m的縱坐標(biāo)；求r的取值范圍圖z10542015門頭溝一模 如圖z106，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線yax2bxc(a0)的頂點(diǎn)為m，直線ym與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)a和點(diǎn)b，如果amb為等腰直角三角形，我們把拋物線上a、b兩點(diǎn)之間的部分與線段ab圍成的圖形稱為該拋物線的準(zhǔn)蝶形，頂點(diǎn)m稱為碟頂，線段ab的長稱為碟寬圖z106(1)拋物線yx2的碟寬為_，拋物線yax2(a0)的碟寬為_(

9、2)如果拋物線ya(x1)26a(a0)的碟寬為6，那么a_(3)將拋物線ynanx2bnxcn(an0)的準(zhǔn)蝶形記為fn(n1，2，3，)，我們定義f1，f2，fn為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比如果fn與fn1的相似比為，且fn的碟頂是fn1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)在將(2)中求得的拋物線記為y1，其對應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為f1.求拋物線y2的函數(shù)解析式請判斷f1，f2，fn的碟寬的右端點(diǎn)是否在一條直線上？如果是，直接寫出該直線的函數(shù)解析式；如果不是，說明理由圖z10752015朝陽一模 定義：對于平面直角坐標(biāo)系xoy中的線段pq和點(diǎn)m，在mpq中，當(dāng)pq邊上的高為2時(shí)，稱m為pq的“等高點(diǎn)”，稱此

10、時(shí)mpmq為pq的“等高距離”(1)若p(1，2)，q(4，2)在點(diǎn)a(1，0)，b(，4)，c(0，3)中，pq的“等高點(diǎn)”是_；若m(t，0)為pq的“等高點(diǎn)”，求pq的“等高距離”的最小值及此時(shí)t的值(2)若p(0，0)，pq2，當(dāng)pq的“等高點(diǎn)”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時(shí)，直接寫出點(diǎn)q的坐標(biāo)圖z10862015通州一模 如圖z109，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a(2，3)，b(6，3)，連接ab.若對于平面內(nèi)一點(diǎn)p，線段ab上都存在點(diǎn)q，使得pq1，則稱點(diǎn)p是線段ab的“鄰近點(diǎn)”(1)判斷點(diǎn)d(，)是否是線段ab的“鄰近點(diǎn)”_(填“是”或“否”)；(2)若點(diǎn)h(m，n)在一次函

11、數(shù)yx1的圖象上，且是線段ab的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍；(3)若一次函數(shù)yxb的圖象上至少存在一個(gè)鄰近點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍圖z10972015海淀一模 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于點(diǎn)p(a，b)和點(diǎn)q(a，b)，給出如下定義：若b則稱點(diǎn)q為點(diǎn)p的限變點(diǎn)例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是.(1)點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是_；在點(diǎn)a，b中有一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)y的圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是_(2)若點(diǎn)p在函數(shù)yx3(2xk，k2)的圖象上，其限變點(diǎn)q的縱坐標(biāo)b的取值范圍是5b2，求k的取值范圍(3)若點(diǎn)p在關(guān)于x的二次函數(shù)yx22txt2t的圖象上，其限變點(diǎn)q的縱坐標(biāo)b的取值范圍是bm或

12、bn，其中mn.令smn，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取值范圍圖z101082015西城一模 給出如下規(guī)定：兩個(gè)圖形g1和g2，點(diǎn)p為g1上任一點(diǎn)，點(diǎn)q為g2上任一點(diǎn)，如果線段pq的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個(gè)圖形g1和g2之間的距離在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)點(diǎn)a的坐標(biāo)為a(1，0)，則點(diǎn)b(2，3)和射線oa之間的距離為_，點(diǎn)c(2，3)和射線oa之間的距離為_(2)如果直線yx和雙曲線y之間的距離為，那么k_(可在圖z1011(a)中進(jìn)行研究)(3)點(diǎn)e的坐標(biāo)為(1，)，將射線oe繞原點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到射線of，在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線oe，of之間的距離相等的

13、點(diǎn)所組成的圖形記為圖形m.請?jiān)趫D(b)中畫出圖形m，并描述圖形m的組成部分；(若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示)將射線oe，of組成的圖形記為圖形w，拋物線yx22與圖形m的公共部分記為圖形n，請直接寫出圖形w和圖形n之間的距離圖z1011參考答案北京真題體驗(yàn)1.解：(1)點(diǎn)m(2，1)關(guān)于o的反稱點(diǎn)不存在點(diǎn)n(，0)關(guān)于o的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)n(，0)點(diǎn)t(1，)關(guān)于o的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)t(0，0)如圖，直線yx2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)e(2，0)，點(diǎn)f(0，2)設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為x.(i)當(dāng)點(diǎn)p在線段ef上，即0x2時(shí)，0op2，在射線op上一定存在一點(diǎn)p，使得opop2，點(diǎn)p關(guān)于o的

14、反稱點(diǎn)存在，其中點(diǎn)p與點(diǎn)e或點(diǎn)f重合時(shí)，op2，點(diǎn)p關(guān)于o的反稱點(diǎn)為o，不符合題意，0x2.(ii)當(dāng)點(diǎn)p不在線段ef上，即x0或x2時(shí)，op2，對于射線op上任意一點(diǎn)p，總有opop2，點(diǎn)p關(guān)于o的反稱點(diǎn)不存在綜上所述，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)x的取值范圍是0x2.(2)若線段ab上存在點(diǎn)p，使得點(diǎn)p關(guān)于c的反稱點(diǎn)p在c的內(nèi)部，則1cp2.依題意可知點(diǎn)a的坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為(0，2 )，bao30.設(shè)圓心c的坐標(biāo)為(x，0)當(dāng)x6時(shí)，過點(diǎn)c作chab于點(diǎn)h，如圖，0chcp2，0ca4，06x4，2x6，并且，當(dāng)2x6時(shí)，cb2，ch2，在線段ab上一定存在點(diǎn)p，使得cp2，此時(shí)點(diǎn)p關(guān)于c的

15、反稱點(diǎn)為c，且點(diǎn)c在c的內(nèi)部，2x6.當(dāng)x6時(shí)，如圖.0cacp2，0x62，6x8.并且，當(dāng)6x8時(shí)，cb2，ca2，在線段ab上一定存在一點(diǎn)p，使得cp2，此時(shí)點(diǎn)p關(guān)于c的反稱點(diǎn)為c，且點(diǎn)c在c的內(nèi)部，6x8.綜上所述，圓心c的橫坐標(biāo)x的取值范圍是2x8.2解：(1)y(x0)不是有界函數(shù)yx1(4x2)是有界函數(shù)，邊界值為3.(2)對于yx1，y隨x的增大而減小，當(dāng)xa時(shí)，ya12，a1，當(dāng)xb時(shí)，yb1.1b3.(3)由題意，函數(shù)平移后的表達(dá)式為yx2m(1xm，m0)當(dāng)x1時(shí)，y1m；當(dāng)x0時(shí)，ym；當(dāng)xm時(shí)，ym2m.根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，當(dāng)0m1時(shí)，1mm2m.當(dāng)m1時(shí)，1mm2

16、m.當(dāng)0m時(shí)，1mm.由題意，邊界值t1m.當(dāng)t1時(shí)，0m，0m.當(dāng)m1時(shí)，1mm.由題意，邊界值tm.當(dāng)t1時(shí)，m1，m1.當(dāng)m1時(shí)，由題意，邊界值tm，不存在滿足t1的m值綜上所述，當(dāng)0m或m1時(shí)，滿足t1.3解：(1)如圖(a)所示，過點(diǎn)e作o的切線，設(shè)切點(diǎn)為r.o的半徑為1，ro1.eo2，oer30，根據(jù)切線長定理得出o的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的角等于30，e點(diǎn)是o的關(guān)聯(lián)點(diǎn)d(，)，e(0，2)，f(2 ，0)，ofeo，doeo，d點(diǎn)一定是o的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在o上不可能找到兩點(diǎn)與點(diǎn)f的連線的夾角等于60，故在點(diǎn)d，e，f中，o的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是d，e.由題意可知，若p剛好是c的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)

17、p到c的兩條切線pa和pb之間所夾的角為60，由圖(b)可知apb60，則cpb30.連接bc，則pc2bc2r，若點(diǎn)p為c的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)p到圓心的距離d滿足0d2r.由上述證明可知，考慮臨界點(diǎn)位置的p點(diǎn)，則點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離op212，如圖(c)，過點(diǎn)o作l軸的垂線oh，垂足為h，gfo30，ogf60，og2，可得點(diǎn)p1與點(diǎn)g重合過點(diǎn)p2作p2mx軸于點(diǎn)m，可得p2om30，omop2cos30，從而若點(diǎn)p為o的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則p點(diǎn)必在線段p1p2上，0m.(2)若線段ef上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)是線段ef的中點(diǎn)考慮臨界情況，如圖(d)，即恰好點(diǎn)e，f

18、為k的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)，則kf2knef2，此時(shí)，r1，故若線段ef上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r1.4解：(1)點(diǎn)b的坐標(biāo)是(0，2)或(0，2)點(diǎn)a與點(diǎn)b的“非常距離”的最小值為.(2)c是直線yx3上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x0，x03)，x0x02，此時(shí)，x0，點(diǎn)c與點(diǎn)d的“非常距離”的最小值為，此時(shí)c(，)e(，)x0x03，解得x0，則點(diǎn)c的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)c與點(diǎn)e的“非常距離”的最小值為1.北京專題訓(xùn)練1.解：(1)反比例函數(shù)y是閉區(qū)間1，2015上的“閉函數(shù)”理由如下：反比例函數(shù)y在第一象限，y隨x的增大而減小，當(dāng)x1時(shí)，y2015；當(dāng)x2015時(shí)，y

19、1，即圖象過點(diǎn)(1，2015)和(2015，1)，當(dāng)1x2015時(shí)，有1y2015，符合閉函數(shù)的定義，反比例函數(shù)y是閉區(qū)間1，2015上的“閉函數(shù)”(2)由于二次函數(shù)yx22xk的圖象開口向上，對稱軸為直線x1，二次函數(shù)yx22xk在閉區(qū)間1，2內(nèi)，y隨x的增大而增大當(dāng)x1時(shí)，y1，k2.當(dāng)x2時(shí)，y2，k2.即圖象過點(diǎn)(1，1)和(2，2)，當(dāng)1x2時(shí)，有1y2，符合閉函數(shù)的定義，k2.(3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)ykxb是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有：()當(dāng)k0時(shí)，圖象過點(diǎn)(m，m)和(n，n)，解得yx.()當(dāng)kr，f(0，)在rtaof中，aof90，ao1，of，af，sinafo.在rtfem中，fem90，fmfoomr，sinefmsinafo，mefmsinefm.r.又r0，0r2.4解：(1)4(2)(3)f1的碟寬f2的碟寬21，.a1，a2.又由題意得f2的碟頂坐標(biāo)為(1，1)，y21.f1，f2，fn的碟寬的右端點(diǎn)在一條直線上；其解析式為yx5.5解：(1)a、b(2)如圖，作點(diǎn)p關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)p，連接pq，pq與x軸的交點(diǎn)即為“等高點(diǎn)”m，此時(shí)“等高距離”最小，最小值為線段pq的長p(1，2)，p(1，2)設(shè)直