抽象函數(shù)圖像對(duì)稱性問(wèn)題

1、函數(shù)圖像對(duì)稱性的問(wèn)題【摘要】函數(shù)圖象的對(duì)稱性反映了函數(shù)的特性 ,是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面 ,函數(shù)圖象的對(duì)稱性包括一個(gè)函數(shù)圖象自身的對(duì)稱性與兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱性?！娟P(guān)鍵詞】函數(shù)圖像 對(duì)稱性 軸對(duì)稱 中心對(duì)稱一、函數(shù)自身的對(duì)稱性的問(wèn)題函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是一個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，也是難點(diǎn)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì)的一些思考。例題1.

2、函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)對(duì)稱的充要條件是 f (x) + f (2ax) = 2b證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)p(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，點(diǎn)p( x ,y)關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)的對(duì)稱點(diǎn)p（2ax，2by）也在y = f (x)圖像上， 2by = f (2ax)即y + f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得證。（充分性）設(shè)點(diǎn)p(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。

3、故點(diǎn)p（2ax0，2by0）也在y = f (x) 圖像上，而點(diǎn)p與點(diǎn)p關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)對(duì)稱，充分性得征。例題2 若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)a (a ,c)和點(diǎn)b (b ,c)成中心對(duì)（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱 （ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)a (a ,c) 成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個(gè)周期。的證明留給讀者，

4、以下給出的證明：函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)a (a ,c) 成中心對(duì)稱，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*），用2（ab）x代x得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個(gè)周期。二、不同函數(shù)對(duì)稱性的問(wèn)題數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。全部數(shù)學(xué)大體上

5、都是圍繞這兩個(gè)概念的提煉、演變、發(fā)展而展開(kāi)的。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系可使許多問(wèn)題具有鮮明的直觀性，數(shù)和形的結(jié)合也是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。例題3 函數(shù)y = f (x)與y = f (2ax)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與ax = f (ay)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與xa = f (y + a)的圖像關(guān)于直線xy = a成軸對(duì)稱。 設(shè)點(diǎn)p(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)。記點(diǎn)p( x ,

6、y)關(guān)于直線xy = a的軸對(duì)稱點(diǎn)為p（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入y0 = f (x0)之中得x1a = f (a + y1) 點(diǎn)p（x1， y1）在函數(shù)xa = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數(shù)xa = f (y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線xy = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的成立。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。三 函數(shù)圖像的中心對(duì)稱與軸對(duì)稱。1、函數(shù)的中心對(duì)稱定義在r上的函數(shù)y=f（x）對(duì)其定義內(nèi)的

7、任意的x，如果都有f（x）=2bf（2ax）（或f（ax）=2bf（ax），那么y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱；反之亦然。事實(shí)上：對(duì)任意xr，當(dāng)都有f（x）=2bf（2ax）時(shí)，有點(diǎn)（x，f（x）與點(diǎn)（2a-x，f（2ax）存在關(guān)系：，這說(shuō)明點(diǎn)（a，b）是點(diǎn)（x，（f（x）與點(diǎn)（2ax，f（2ax）的中點(diǎn)，由x的任意性及中心對(duì)稱的定義，可知函數(shù) y =f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱；反之亦然。特例：定義在r上的函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱=對(duì)任意xr，都有f（ax） =f（ax）（或 f（x）=f（2ax）例4：已知函數(shù)的反函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是（1，3），則實(shí)數(shù)a等于（

8、） （a）2 （b）3 （c）2 （d）4解： 關(guān)于點(diǎn)（1，3）對(duì)稱， =6（1x）即：，也即：（2a4）x = 0由等式的恒等性可知：2a4 = 0 a = 2 選（a）例5：已知f（x）+f（2x）+2 = 0 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則函數(shù)f（x）圖象關(guān)于 對(duì)稱解：由f（x）+f（2x）+2 = 0 得：f（x）+1 = f（2x）+1令（x）= f（x）+1，則（2x）=f（2x）+1 （x）=（2x） （x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，又f（x）=（x）1故由平移知識(shí)可得：f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱。例6：設(shè)曲線c的方程是y=x3x，將c沿x軸、y軸的正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線c

9、1 （1）寫(xiě)出曲線c1方程；（2）求證：曲線c與c1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。解（1）：c1的方程是：證（2）：曲線c關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程是： 即為曲線c1 曲線c與曲線c1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。2、函數(shù)的軸對(duì)稱定義在r上的函數(shù)y =f（x），如果滿足：f（ax）=f（bx），那么函數(shù)y =f（x）的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；反之亦然。事實(shí)上：對(duì)任意xr，都有f（ax）=f（bx）時(shí)，有點(diǎn)（ax，（ax）與點(diǎn)（bx，f（bx）存在關(guān)系：，f（ax）=f（bx），由軸對(duì)稱的定義可知：點(diǎn)（ax，f（ax）與點(diǎn)（bx，f（bx）關(guān)于直線成軸對(duì)稱，又由x的任意性可知：函數(shù)y =f（x）關(guān)于直線成軸對(duì)稱。反之亦然。特例：定義在r上

10、的函數(shù)y（）關(guān)于直線=a 成軸對(duì)稱=對(duì)任意xr，都有f（a+x）=f（a-x）。例7：二次函數(shù)f（x）滿足f（2x）=f（2x），又f（2）=1，f（0）=3，若在0，m有最小值1，最大值3，則的取值范圍（ ） （a）0m2 （b）m2 （c）m0 （d）2m4解：由函數(shù)的軸對(duì)稱性可知：二次函數(shù)f（x）關(guān)于直線x =2對(duì)稱， 又f（2）=1， f（0）=3， f（x）在0，2上是減函數(shù)， f（x）在2，+）上增函數(shù)，又由軸對(duì)稱可知：f（2+2）=f（22）即f（4）=f（0） f（x）在0，m上有最小值1，最小值3， 2m4 選（d）例8：函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足，并且f（x）=0有3個(gè)

11、實(shí)根，求這3個(gè)實(shí)根之和。解：由可知：函數(shù)f（x）關(guān)于直線對(duì)稱，又f（x）=0有3個(gè)實(shí)根，f（x）=0必有一根是，且其余兩根x2、x3關(guān)于對(duì)稱， 四 函數(shù)對(duì)稱性常用性質(zhì)函數(shù)的對(duì)稱性一般體現(xiàn)在中心對(duì)稱和軸對(duì)稱。函數(shù)的奇偶性和周期性就是對(duì)稱性的直接體現(xiàn)，常見(jiàn)的有以下結(jié)論。【性質(zhì)1】函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)o(0 ,0)對(duì)稱f(x)=-f(-x)。（這是奇函數(shù)的數(shù)與形的體現(xiàn)）。推論1：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)m（a，b）對(duì)稱f(x)+f(2a-x)=2b證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)m（a，b）對(duì)稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖像按向量a=（-a,-b）平移后對(duì)應(yīng)圖像的解析式為：y=f(

12、x+a)-b，關(guān)于原點(diǎn)0(0，0)中心對(duì)稱，由性質(zhì)1知f(-x+a)-b=-f(x+a)-b，即f(a-x)+f(a-x)=2b，即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。推論2：函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)m(a ,b)成中心對(duì)稱。【性質(zhì)2】函數(shù)y = y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱f(x)=f(-x)。（這是偶函數(shù)的數(shù)與形的體現(xiàn)）。推論3：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x = a軸對(duì)稱f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。證明：因?yàn)閥=f(x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖像按向量a=(-a,0)平移后圖像的解析式為：

13、y=f(x+a)，關(guān)于y軸對(duì)稱，由性質(zhì)2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。推論4：函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。【性質(zhì)3】函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱。推論5：函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱。證明：x-y=a可以看作y=x-a，x=y+a，代入到y(tǒng)=f(x)中即得。反之也成立。推論6：函數(shù)y=f(x)與a-x=f(a-y)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱?！拘再|(zhì)4】若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a (a ,c)

14、和點(diǎn)b (b ,c)成中心對(duì)稱（ab），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。若函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱（ab），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|ab|是其一個(gè)周期。若函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)a (a ,c) 成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個(gè)周期。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱中心，或者兩個(gè)對(duì)稱軸，或者一個(gè)對(duì)稱中心一個(gè)對(duì)稱軸，則函數(shù)具有周期性。以下證明，其余結(jié)論可由讀者自己證明。證明：由已知和推論3，可得f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（*）

15、，f(x)=f(2a-x)=fb-b-(2a-x)=f（2b-2a）+xy=f(x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。五. 函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例對(duì)稱性是指如果一個(gè)操作或變換使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，或者說(shuō)系統(tǒng)的狀態(tài)在此操作或變換下不變，我們就說(shuō)該系統(tǒng)具有對(duì)稱性.例9：定義在r上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ） (a)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (b)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (c)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (d)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (

16、x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)， x =0即y軸也是f (x)的對(duì)稱軸，因此f (x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選(a) 例10. 設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x),當(dāng)0x1時(shí)，f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ） (a) 0.5 (b)0.5 (c) 1.5 (d) 1.5解：y = f (x)是定義在r上的奇函數(shù)，點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對(duì)稱軸，故y = f (x)是周期為

17、2的周期函數(shù)。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故選(b) 講函數(shù)的對(duì)稱性主要是講奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，函數(shù)與反函數(shù)圖像的對(duì)稱性。前者是函數(shù)自身的性質(zhì)，而后者是函數(shù)的變換問(wèn)題。下文中我們均簡(jiǎn)稱為函數(shù)的變換性。函數(shù)的對(duì)稱性在近幾年高考中屢見(jiàn)不鮮，對(duì)于解決其它問(wèn)題也很有幫助，同時(shí)也是數(shù)學(xué)美的很好體現(xiàn)?，F(xiàn)通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱變換這兩個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的性質(zhì)?？傊?，數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分挖掘生活中的數(shù)學(xué)素材，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察和分析周圍事物習(xí)慣，用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題【參考文獻(xiàn)】1數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版)2006年16期2 青島二中 266100 法少鵬函數(shù)對(duì)稱性的探究臨朐六中 262600 王 珍黑龍江教育報(bào)（中學(xué)教學(xué)案例與研究） 3關(guān)于函數(shù)圖像對(duì)稱性問(wèn)題關(guān)于函數(shù)圖像對(duì)稱性問(wèn)題的研究 曹瓊4福建泉港二中黃文根函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用5福建中學(xué)數(shù)學(xué)2006年02期函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用【abstract】： fun