郭碩鴻《電動力學》課后答案

1、電動力學習題解答 電動力學答案第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1. 根據(jù)算符的微分性與向量性，推導下列公式：解：（1）（2）在（1）中令得：，所以 即 2. 設是空間坐標的函數(shù)，證明： ， ， 證明：（1）（2）（3） 3. 設為源點到場點的距離，的方向規(guī)定為從源點指向場點。（1）證明下列結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關系： ； ； ； ， 。（2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均為常向量。（1）證明： 可見 可見 ， （2）解： 因為，為常向量，所以， ，又， 為常向量，而，所以 4. 應用高斯定理證明，應用斯托克斯（stokes）定理證明證明：（i）設為任意非零常矢量，則根據(jù)矢量

2、分析公式 ，令其中，便得所以 因為是任意非零常向量，所以（ii）設為任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得 （1）（1）式左邊為： （2）（1）式右邊為： （3）所以 （4）因為為任意非零常向量，所以5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 ，利用電荷守恒定律證明p的變化率為：證明：方法（i）因為封閉曲面s為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故， 同理 ， 所以 方法（ii）根據(jù)并矢的散度公式得：6. 若m是常向量，證明除點以外，向量的旋度等于標量的梯度的負值，即，其中r為坐標原點到場點的距離，方向由原點指向場點。證明：其中 ， （） ， （）又 所以，當時，7. 有一內(nèi)外半徑分別為和的空

3、心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（1）設場點到球心距離為。以球心為中心，以為半徑作一球面作為高斯面。由對稱性可知，電場沿徑向分布，且相同處場強大小相同。當時， 。當時， ， ，向量式為 當時， 向量式為 （2）當時，當時，當時，8. 內(nèi)外半徑分別為和的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導體的磁導率為，求磁感應強度和磁化電流。解：（1）以圓柱軸線上任一點為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設其半徑為。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當 時，由安培環(huán)路定理得：當 時，

4、由環(huán)路定理得：所以 ， 向量式為 當 時，所以 ， 向量式為 （2）當 時，磁化強度為所以 在 處，磁化面電流密度為在 處，磁化面電流密度為向量式為 11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動勢為e 的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度和；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(若介質(zhì)是漏電的，電導率分別為和 當電流達到恒定時，上述兩物體的結(jié)果如何？)解：忽略邊緣效應，平行板電容器內(nèi)部場強方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場強分段均勻，分別設為和，電位移分別設為和，其方向均由正極板指向負極板。當介質(zhì)不漏電時，介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電

5、荷面密度為取高斯柱面，使其一端在極板a內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：同理，在極板b內(nèi)和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：所以有 ， 由于 e 所以 e 當介質(zhì)漏電時，重復上述步驟，可得：， ， 介質(zhì)1中電流密度 介質(zhì)2中電流密度 由于電流恒定，再由 e 得e e eee 13.試用邊值關系證明：在絕緣介質(zhì)與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況下，導體內(nèi)電場線總是平行于導體表面。證明：（1）設導體外表面處電場強度為，其方向與法線之間夾角為，則其切向分量為。在靜電情況下，導體內(nèi)部場強處處為零，由于在分界面上

6、的切向分量連續(xù)，所以因此 即只有法向分量，電場線與導體表面垂直。（2）在恒定電流情況下，設導體內(nèi)表面處電場方向與導體表面夾角為，則電流密度與導體表面夾角也是。導體外的電流密度，由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以因此 即只有切向分量，從而只有切向分量，電場線與導體表面平行。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，板間填充電導率為的非磁性物質(zhì)。（1）證明在介質(zhì)中任何一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）求隨時間的衰減規(guī)律。（3）求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度。（4）求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：（1）以

7、電容器軸線為軸作一圓柱形高斯面，其半徑為r，長度為l，其中則由高斯定理得： （1）所以 ， （2）再由電流連續(xù)性方程得： （3）所以 （4）即與嚴格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）由 得： （5）聯(lián)立（2）（4）（5）得 （6）所以 （7）設初始條件為 ，則由（7）式得所以， （8）（3） （9）（4） 將上式在長度為l的一段介質(zhì)內(nèi)積分，得 （10）由 得：所以 （11）由（6）（10）（11）得 ：即總的能量耗散功率等于這段介質(zhì)的靜電能減少率。第二章 靜電場1. 一個半徑為r的電介質(zhì)球，極化強度為，電容率為。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計算自由電荷體密度；（3）計算球外和球內(nèi)的電勢

8、；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。解：（1）（2）（3）（4）2. 在均勻外電場中置入半徑為的導體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（1）導體球上接有電池，使球與地保持電勢差；（2）導體球上帶總電荷解：（1）該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場方向的軸線，取該軸線為極軸，球心為原點建立球坐標系。當時，電勢滿足拉普拉斯方程，通解為因為無窮遠處 ，所以 ，當 時，所以 即： 所以 （2）設球體待定電勢為，同理可得當 時，由題意，金屬球帶電量所以 3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各

9、點的電勢是點電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：（一）分離變量法空間各點的電勢是點電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加。設極化電荷產(chǎn)生的電勢為，它滿足拉普拉斯方程。在球坐標系中解的形式為：當時，。當時，為有限，。所以 ， 由于球?qū)ΨQ性，電勢只與r有關，所以 ， 所以空間各點電勢可寫成當時，由 得： 由 得：，則 所以 （二）應用高斯定理在球外，rr0 ，由高斯定理得：，（整個導體球的束縛電荷），所以 ，積分后得： 在球內(nèi)，r）置一點電荷，試用分離變量法求空間各點電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點，以球心到點電荷的連線為極軸建立球

10、坐標系。將空間各點電勢看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點電荷產(chǎn)生的電勢，二是球面上的感應電荷及極化面電荷產(chǎn)生的。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯方程?？紤]到對稱性，與無關。由于時，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫成 （1）由于時，應趨于零，所以球外的解的形式可以寫成 （2）由于 （3）當時， （4）當時， （5）因為導體球接地，所以 （6） （7）將（6）代入（4）得: （8）將（7）代入（5）并利用（8）式得: （9）將（8）（9）分別代入（4）（5）得: （10）, （11）用鏡像法求解：設在球內(nèi)r0處的像電荷為q。由對稱性，q在球心與qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢為0，可得：（

11、解略）， 所以空間的電勢為 10. 上題的導體球殼不接地，而是帶總電荷，或使具有確定電勢，試求這兩種情況的電勢。又問與是何種關系時，兩情況的解是相等的？解：由上題可知，導體球殼不接地時，球內(nèi)電荷和球的內(nèi)表面感應電荷的總效果是使球殼電勢為零。為使球殼總電量為，只需滿足球外表面電量為+即可。因此，導體球不接地而使球帶總電荷時，可將空間電勢看作兩部分的迭加，一是與內(nèi)表面的產(chǎn)生的電勢，二是外表面+產(chǎn)生的電勢。， ； ， ；， ，所以由以上過程可見，球面電勢為。若已知球面電勢，可設導體球總電量為，則有：，即：電勢的解為： 當和滿足時，兩種情況的解相同。11. 在接地的導體平面上有一半徑為a的半球凸部（如

12、圖），半球的球心在導體平面上，點電荷q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（ba），試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導體平板和一點電荷附近置一接地導體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。，；，；，所以12. 有一點電荷q位于兩個互相垂直的接地導體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b， 求空間電勢。解：用電像法，可以構造如圖所示的三個象電荷來代替兩導體板的作用。 13. 設有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導率為的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點分別置正負電極并通以電流i，求導電液體中的電勢。解：本題的物理模型是，由外加電源在a

13、、b兩點間建立電場，使溶液中的載流子運動形成電流i，當系統(tǒng)穩(wěn)定時，屬恒定場，即，。對于恒定的電流，可按靜電場的方式處理。于是在a點取包圍a的高斯面，則，由于，所以 可得： 。同理，對b點有： 又，在容器壁上, ，即無電流穿過容器壁。由可知，當時，。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個像電荷q，下半空間三個像電荷 -q，容器內(nèi)的電勢分布為： 16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為，試證明以上兩表達式是等同的。 證明：由第一種表達式得，所以，兩表達式是等同的。實際上，繼續(xù)推演有：剛好是極化體電荷的

14、總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和。17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變，而電勢的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負面電荷密度而靠的很近的兩個面，形成面偶極層，而偶極矩密度）證明：1）如圖，由高斯定理可得：，即，電勢是連續(xù)的，但是， 1 +即，電勢法向微商有躍變 n e l2）如圖，由高斯定理可得： 2 z又 ，即電勢的法向微商是連續(xù)的。 第三章 靜磁場1. 試用表示一個沿z方向的均勻恒定磁場，寫出的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。解：是沿 z 方向的均勻恒定磁場，即 ，由

15、矢勢定義得；三個方程組成的方程組有無數(shù)多解，如：， 即：；， 即：解與解之差為則這說明兩者之差是無旋場 3. 設有無限長的線電流i沿z軸流動，在z0區(qū)域為真空，試用唯一性定理求磁感應強度，然后求出磁化電流分布。解：設z0區(qū)域磁感應強度和磁場強度為，；z0)；，(z0)。在介質(zhì)中 所以，介質(zhì)界面上的磁化電流密度為：總的感應電流：，電流在 z0 區(qū)域內(nèi)，沿 z 軸流向介質(zhì)分界面。4. 設x0空間為真空，今有線電流i沿z軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。解：假設本題中的磁場分布仍呈軸對稱，則可寫作它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由 得：在x0 的介質(zhì)中 ，則： 再由 可得，所以， （沿 z 軸

16、）5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場。在柱坐標原點附近已知，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗證所得結(jié)果滿足。解：由于b具有對稱性，設， 其中 ，即：，（常數(shù)）。當時，為有限，所以 ；，即： （1）因為，所以 ，即 （2）直接驗證可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c為常數(shù))6. 兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個線圈上載有同方向的電流i。（1）求軸線上的磁感應強度。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時的l和a的關系。提示：用條件解：1） 由畢薩定律，l 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應強度為， 同理，-l 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應強度為：，。所以，軸線上的磁感應強

17、度： （1）2）因為 ，所以 ；又因為，所以 ，。代入（1）式并化簡得： 將 z=0 帶入上式得：， 7. 半徑為a的無限長圓柱導體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設導體的磁導率為，導體外的磁導率為。解：矢勢所滿足的方程為： 自然邊界條件：時，有限。邊值關系：；選取柱坐標系，該問題具有軸對稱性，且解與 z 無關。令，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由 得：，由 并令其為零，得：，。； 9. 將一磁導率為，半徑為的球體，放入均勻磁場內(nèi)，求總磁感應強度和誘導磁矩m。(對比p49靜電場的例子。)解：根據(jù)題意，以球心為原點建立球坐標，取h0的方向為，此球體被外加磁場磁化后

18、，產(chǎn)生一個附加磁場，并與外加均勻場相互作用，最后達到平衡，呈現(xiàn)軸對稱。本題所滿足的微分方程為： （1）自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足 及 由自然邊界條件可確定方程組（1）的解為：； 由兩個銜接條件，有：比較的系數(shù)，解得：； ，即：，（），（）在r0 的空間中是金屬導體，電磁波由 z0 的空間中垂直于導體表面入射。已知導體中電磁波的電場部分表達式是：于是，單位時間內(nèi)由 z=0 表面的單位面積進入導體的能量為：，其中 s的平均值為 在導體內(nèi)部： 金屬導體單位體積消耗的焦耳熱的平均值為：作積分： 即得界面上單位面積對應的導體中消耗的平均焦耳熱。又因為 ，所以，原題得證。8. 平面電磁波由

19、真空傾斜入射到導電介質(zhì)表面上，入射角為。求導電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。若導電介質(zhì)為金屬，結(jié)果如何？提示：導電介質(zhì)中的波矢量，只有z分量。（為什么？）解：根據(jù)題意,取入射面為 xz 平面，z 軸沿分界面法線方向，如圖所示。設導體中的電磁波表示為： z而 k上式中滿足： （1） x （2） 根據(jù)邊界條件得： k1 k2 （3） （4），。將結(jié)果代入（1）、（2）得： （5） （6）解得：其相速度為：。衰減深度為：。如果是良導體，的實部與其虛部相比忽略，則：9. 無限長的矩形波導管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導體平板完全封閉，求在到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。解：在此結(jié)構的波導管中，電

20、磁波的傳播滿足亥姆霍茲方程：，電場的三個分量通解形式相同，均為：邊界條件為：在及兩平面：，在及兩平面：，在平面： ，由此可得：波數(shù)滿足：，（）振幅滿足：綜合上述各式，即得此種波導管中所有可能電磁波的解。10. 電磁波在波導管中沿z方向傳播，試使用及證明電磁場所有分量都可用及這兩個分量表示。證明：沿 z 軸傳播的電磁波其電場和磁場可寫作：， 由麥氏方程組得：， 寫成分量式： （1） （2） （3） （4） （5）由（2）（3）消去hy 得：由（1）（4）消去hx 得：由（1）（4）消去ey 得：由（2）（3）消去ex 得：11. 寫出矩形波導管內(nèi)磁場滿足的方程及邊界條件。解：對于定態(tài)波，磁場為：

21、由麥氏方程組，得：又所以，即為矩形波導管內(nèi)磁場h滿足的方程由 得：，利用和電場的邊界條件可得：邊界條件為：，12. 論證矩形波導管內(nèi)不存在tmm0或tm0n波。證明：已求得波導管中的電場 e 滿足:由可求得波導管中的磁場為: (1) (2) (3)本題討論tm波，故hz =0 ，由（3）式得： （4）1）若，則 ， （5） 代入（4）得： （6）將（5）（6）代入（1）（2）得：2）若，則 ， （7） 代入（4）得： （8）將（7）（8）代入（1）（2）得：因此，波導中不可能存在tmm0 和tm0n 兩種模式的波。13. 頻率為hz的微波，在的矩形波導管中能以什么波模傳播？在的矩形波導管中能以

22、什么波模傳播？解：1）波導為，設，由得：當m=1，n=1時, 當m=1，n=0時, 當m=0，n=1時, 所以此波可以以te10 波在其中傳播。2）波導為，設，由得：當m=1，n=1時, 當m=1，n=0時, 當m=0，n=1時, 所以此波可以以te10 和te01 兩種波模在其中傳播。14. 一對無限大的平行理想導體板，相距為b，電磁波沿平行于板面的z方向傳播，設波在x方向是均勻的，求可能傳播的波模和每種波模的截止頻率。解：在導體板之間傳播的電磁波滿足亥姆霍茲方程： y b令是e的任意一個直角分量， 由于e在 x 方向上是均勻的，所以 o x z在 y 方向由于有金屬板作為邊界，所以取駐波解

23、；在 z 方向是無界空間，取行波解。所以通解為： 由邊界條件：和定解，得到；且 ，（）又由得：a1 獨立，與a2，a3 無關，令kz =0 得截止頻率： 四年的艱苦跋涉，五個月的精心準備，畢業(yè)論文終于到了劃句號的時候，心頭照例該如釋重負，但寫作過程中常常出現(xiàn)的輾轉(zhuǎn)反側(cè)和力不從心之感卻揮之不去。論文寫作的過程并不輕松，工作的壓力時時襲擾，知識的積累尚欠火候，于是，我只能一次次埋頭于圖書館中，一次次在深夜奮筆疾書。第一次花費如此長的時間和如此多的精力，完成一篇具有一定學術價值的論文，其中的艱辛與困難難以訴說，但曲終幕落后留下的滋味，值得我一生慢慢品嘗。敲完最后一個字符，重新從頭細細閱讀早已不陌生的

24、文字，我感觸頗多。雖然其中沒有什么值得特別炫耀的成果，但對我而言，是寶貴的。它是無數(shù)教誨、關愛和幫助的結(jié)果。我要感謝我的指導教師fanny老師。范老師雖身負教學、科研重任，仍抽出時間，不時召集我和同門以督責課業(yè)，耳提面命，殷殷之情盡在諄諄教誨中。這篇論文更傾注了她的大量心血。從初稿到定稿，范老師不厭其煩，一審再審，大到篇章布局的偏頗，小到語句格式的瑕疵，都一一予以指出。同時，我要感謝傳播與藝術學院所有給我上過課老師，是他們傳授給我方方面面的知識，拓寬了我的知識面，培養(yǎng)了我的功底，對論文的完成不無裨益。我還要感謝學院的各位工作人員，他們細致的工作使我和同學們的學習和生活井然有序。衷心感謝實習單位中國青年政治學院新聞中心的所有老師。他們時時關注我的論文寫作，并從多方面給予了有力支持，讓我能夠全身心地投入到論文寫作中。謹向我的父母和家人表示誠摯的謝意。他們是我生命中永遠的依靠和支持，他們無微不至的關懷，是我前進的動力；他們的殷殷希望，激發(fā)我不斷前行。沒有他們就沒有我，我的點滴成就都來自他們。讓我依依不舍的還有各位學友、同門和室友。在我需要幫助的時候，_等學友伸出溫暖的雙手，鼎立襄助。能和相遇、相交、相知是人生的一大幸事。本論文的完成遠非