吉林省長市普通高中高三質(zhì)量監(jiān)測（三）理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、長春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2 選擇題必須用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第卷一、選擇題（本大題包

2、括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1. 已知集合，則a. b. c. d. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則=a. b. c. d. 3. 已知 ，且，則向量與向量的夾角為a. b. c. d. 4. 已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為a. b. 1 c. d. 25. 已知，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是a. b. c. d. 6. 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序. 若輸出的s為，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是a. b. c. d. 7. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的

3、體積為a. b. c. d. 8. 在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足，則的最大值是a. 2 b. 8 c. 14 d. 169. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，則a. b. c. d. 0 10. 對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)：(i) 對任意的，恒有；(ii) 當(dāng)時，總有成立. 則下列四個函數(shù)中不是函數(shù)的個數(shù)是 a. 1 b. 2c. 3d. 411. 已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過雙曲線左焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率是a. b. c. d. 12. 若對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是a. b. 1 c. 2 d. 第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第

4、13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 14. 的展開式中常數(shù)項為_. 15. 已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是_.16. 底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐. 已知同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球. 已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為r. 設(shè)兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為、，則的值是 . 三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

5、驟）.17. (本小題滿分12分)已知數(shù)列中，其前項的和為，且滿足. 求證：數(shù)列是等差數(shù)列； 證明：當(dāng)時，. 18. (本小題滿分12分)如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd是菱形，dab，pd平面abcd，pd=ad=1，點(diǎn)分別為ab和pd中點(diǎn). 求證：直線af平面pec ； 求pc與平面pab所成角的正弦值. 19. (本小題滿分12分) 某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投10次，投中的次數(shù)統(tǒng)計如下表： 學(xué)生1號2號3號4號5號甲班65798乙班48977 從統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，甲、乙兩個班哪個班成績更穩(wěn)定（用數(shù)字特征說明）； 若把上表數(shù)據(jù)作為學(xué)生投

6、籃命中率，規(guī)定兩個班級的1號和2號同學(xué)分別代表自己的班級參加比賽，每人投籃一次，將甲、乙兩個班兩名同學(xué)投中的次數(shù)之和分別記作和，試求和的分布列和數(shù)學(xué)期望. 20. (本小題滿分12分)已知橢圓:的上頂點(diǎn)為，且離心率為. 求橢圓的方程； 證明：過橢圓:上一點(diǎn)的切線方程為； 從圓上一點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)時，求的最小值. 21. (本小題滿分12分)定義在上的函數(shù)滿足，. 求函數(shù)的解析式； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 如果、滿足，那么稱比更靠近. 當(dāng)且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由. 請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 做

7、答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑. 22. (本小題滿分10分) 選修41：幾何證明選講如圖所示，為圓的直徑，為圓的切線，為切點(diǎn). 求證：； 若圓的半徑為2，求的值.23. (本小題滿分10分) 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓的極坐標(biāo)方程； 已知，圓上任意一點(diǎn)，求面積的最大值.24. (本小題滿分10分) 選修45：不等式選講 已知都是正數(shù)，且，求證：； 已知都是正數(shù)，求證：.長春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，

8、如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則. 二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分. 三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù). 四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分. 一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. c2. a3. b4. c5. b6. c7. d8. c9. b10. a11. a12. d. 簡答與提示：1. 【命題意圖】本小題

9、主要考查集合的計算，是一道常規(guī)問題.【試題解析】c，故選c. 2. 【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)的除法和平方運(yùn)算，對考生的運(yùn)算求解能力有一定要求.【試題解析】a，故選a. 3. 【命題意圖】本小題主要考查平面向量的的位置關(guān)系以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，特別突出對平面向量運(yùn)算律的考查，另外本題也對考生的分析判斷能力進(jìn)行考查.【試題解析】b，向量與向量的夾角為，故選b. 4. 【命題意圖】本小題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積的求法，對學(xué)生的推理論證能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】c，又，的面積為，故選c. 5. 【命題意圖】本小題通過一次函數(shù)的

10、單調(diào)性和系數(shù)的關(guān)系，考查古典概型的理解和應(yīng)用，是一道綜合創(chuàng)新題.【試題解析】b為增函數(shù)，0，又，又，函數(shù)為增函數(shù)的概率是，故選b. 6. 【命題意圖】本小題主要通過程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時考查學(xué)生對算法思想的理解與剖析.【試題解析】c，因此應(yīng)選擇時滿足，而時不滿足的條件，故選c. 7. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何中的三視圖問題，并且對考生的空間想象能力及利用三視圖還原幾何體的能力進(jìn)行考查，同時考查簡單幾何體的體積公式.【試題解析】d由三視圖可知，該多面體是一個四棱錐，且由一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，長度都為4， 其體積為，故選d. 8. 【命題意圖】本小題主要考查二

11、元一次不等式組所表示的可行域的獲取以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是線性規(guī)劃的一種簡單應(yīng)用，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】c根據(jù)線性規(guī)劃的方法可求得最優(yōu)解為點(diǎn)，此時的值等于14，故選c. 9. 【命題意圖】本小題主要考查拋物線的定義與基本性質(zhì)及過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì). 本題不但對考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力有較高要求，而且對考生的化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想也有較高要求.【試題解析】b，且，解得，故選b. 10. 【命題意圖】本小題通過函數(shù)的運(yùn)算與不等式的比較，另外也可以利用函數(shù)在定義域內(nèi)的變化率、函數(shù)圖像的基本形式來獲得答案，本題對學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】a(

12、i)在上，四個函數(shù)都滿足；(ii)；對于，滿足；對于，不滿足.對于，而，滿足；對于，滿足；故選a. 11. 【命題意圖】本小題主要考查過曲線外一點(diǎn)作曲線切線的基本方法，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，對考生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力提出較高要求.【試題解析】a設(shè)，切線的斜率為，又在點(diǎn)處的切線過雙曲線左焦點(diǎn)，解得，因此，故雙曲線的離心率是，故選a；12. 【命題意圖】本小題主要考查基本不等式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求取函數(shù)最值的基本方法，本題作為選擇的壓軸題，屬于較難題，對學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力提出一定要求.【試題解析】d因?yàn)?，再由可有，令，則，可得，且在上，在上，故的最小值為，于是即，故

13、選d. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 14. 15. 16. 簡答與提示：13. 【命題意圖】本小題主要考查輔助角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求取，屬于基本試題.【試題解析】，函數(shù)的增區(qū)間為，又，增區(qū)間為. 14. 【命題意圖】本小題是二項式定理的簡單應(yīng)用，求取二項展開式中某項的系數(shù)是考生的一項基本技能.【試題解析】的通項為，令，故展開式中常數(shù)項為；15. 【命題意圖】本小題主要考偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像的平移變換等，同時對考生的數(shù)形結(jié)合思想. 【試題解析】由已知或，解集是. 16. 【命題意圖】本小題通過對球的內(nèi)接幾何體的特征考查三角函數(shù)的計算，對考生的空間

14、想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題. 【試題解析】 如圖，右側(cè)為該球過sa和球心的截面，由于三角形abc為正三角形，所以d為bc中點(diǎn)，且，故. 設(shè)，則點(diǎn)p為三角形abc的重心，且點(diǎn)p在ad上，因此三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查有關(guān)于數(shù)列的基礎(chǔ)知識，其中包括數(shù)列基本量的求取，數(shù)列前項和的求取，以及利用放縮法解決數(shù)列不等式問題，雖存在著一定的難度，但是與高考考查目標(biāo)相配合，屬于一道中檔題，對考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求.【試題解析】解：（1）當(dāng)時，從而構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.(6分)（2

15、）由（1）可知，當(dāng)時，從而.(12分)18. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、線面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：（1）證明：作fmcd交pc于m. 點(diǎn)f為pd中點(diǎn)，. ，aemf為平行四邊形，afem，直線af平面pec. (6分)（2），如圖所示，建立坐標(biāo)系，則 p(0，0，1)，c(0，1，0)，e(，0，0)，a(，0)，.設(shè)平面pab的一個法向量為.，取，則，平面pab的一個法向量為.，設(shè)向量，pc平面pab所成角的正弦值為. (12分)19. 【命題意圖】本小題主要

16、考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，其中包括方差的求法、基本概率的應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法. 本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：（1）兩個班數(shù)據(jù)的平均值都為7，甲班的方差，乙班的方差，因?yàn)?，甲班的方差較小，所以甲班的成績比較穩(wěn)定.4分（2）可能取0，1，2，所以分布列為：012p6分?jǐn)?shù)學(xué)期望8分可能取0，1，2，所以分布列為：012p10分?jǐn)?shù)學(xué)期望. 12分20. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及圓錐曲線中最值的求取. 本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求.【試題解析】解：（1

17、）， ，橢圓方程為. 2分（2）法一：橢圓:，當(dāng)時，故，當(dāng)時，. 4分切線方程為，. 6分同理可證，時，切線方程也為. 當(dāng)時，切線方程為滿足. 綜上，過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為. 7分法二：. 當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程：可得，化簡可得：，由題可得：， 4分化簡可得：， 式只有一個根，記作，為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，所以，所以切線方程為：，化簡得：. 6分當(dāng)切線斜率不存在時，切線為，也符合方程，綜上：在點(diǎn)處的切線方程為. 7分（3）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，是橢圓的切線，切點(diǎn)，過點(diǎn)的橢圓的切線為，過點(diǎn)的橢圓的切線為. 兩切線都過點(diǎn)，. 切點(diǎn)弦所在直線方程為. 9分，. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取

18、等，的最小值為. 12分21. 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性等情況. 本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求.【試題解析】解：（1），所以，即. 又，所以，所以. 4分（2），.5分當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；6分當(dāng)時，由得，時， 單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增. 綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 8分（3）解：設(shè)，在上為減函數(shù)，又，當(dāng)時，當(dāng)時，.，在上為增函數(shù)，又，時，在上為增函數(shù)，.當(dāng)時，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，比更靠近.當(dāng)時，設(shè)，則，在時為減函數(shù)，在時為減函數(shù)，比更靠近.綜上：在時，比更靠近. 12分22. 【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，三角形相似等內(nèi)容. 本小題重點(diǎn)考查考生對平面幾何推理能力. 【試題解析】解： (1) 連接是圓的兩條切線， 又為直徑，.5分(2)由，. 10分23. 【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方