高等代數(shù)與解析幾何之間的關(guān)聯(lián)性

1、高等代數(shù)與解析幾何之間的關(guān)聯(lián)性內(nèi)容摘要：在我們的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)高等代數(shù)和解析幾何中有很多相似之處。確切的說(shuō)是高等代數(shù)中的一些理論是從解析幾何中發(fā)展和改進(jìn)而來(lái)的。比如說(shuō)通過(guò)解析幾何中多元一次方程組的解法高等代數(shù)提出了行列式，使行列式有了幾何意義，同時(shí)是行列式直觀化。也是通過(guò)行列式，多元方程組的解答更便捷、快速。又比如說(shuō)歐式空間的提出。我們都知道幾何空間中的向量以及他的一些性質(zhì)。在高等代數(shù)中先后提出來(lái)線性空間、歐式空間。線性空間將向量做了推廣，使向量抽象化。歐式空間在線性空間的基礎(chǔ)上提出內(nèi)積，使幾何空間中的向量的一些度量性質(zhì)推廣化，等等，這樣的例子很多很多?？傮w來(lái)說(shuō)高等代數(shù)與解析幾何是相互聯(lián)

2、系、相互促進(jìn)的?？梢愿_切一點(diǎn)的說(shuō)是解析幾何是高等代數(shù)的基石，而高等代數(shù)是解析幾何的推廣和并使之抽象化。 關(guān)鍵詞：行列式、正交變換、向量、線性方程組、二次型和二次曲線、二次曲面、歐式空間導(dǎo)言：從代數(shù)與幾何的發(fā)展來(lái)看，高等代數(shù)與解析幾何從來(lái)就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。它們的關(guān)系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”。通過(guò)對(duì)高等代數(shù)和解析幾何的學(xué)習(xí)和研究中，我們可以看到解析幾何和高等代數(shù)中有著緊密的聯(lián)系。運(yùn)用解析幾何來(lái)分析高等代數(shù)更直觀，同時(shí)，高等代數(shù)也是解析幾何的一個(gè)發(fā)展、拓寬。比如說(shuō)歐式空間。運(yùn)用高等代數(shù)的解題方法來(lái)解答解析幾何中的一些問(wèn)題更加簡(jiǎn)便，快捷。比如說(shuō)運(yùn)用行列式的

3、計(jì)算來(lái)解答多元方程組問(wèn)題。內(nèi)容： 解析幾何中以代數(shù)為工具，解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)來(lái)定義來(lái)刻畫(huà)、描述和表達(dá)的。例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運(yùn)算的線性相關(guān)來(lái)刻畫(huà)的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來(lái)表述，再如，解析幾何中的向量的外積（向量積）、混合積也是行列式工具來(lái)表示的典型事例。高等代數(shù)中的許多知識(shí)點(diǎn)的引入、敘述和刻畫(huà)亦用到解析幾何的概念或定義。例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實(shí)例模型。從概念的內(nèi)涵的外延來(lái)看，兩門(mén)課之間存在著特殊與一般的關(guān)系，解析幾何的一、二、三維空間是線性代數(shù)n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來(lái)源于

4、一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）。平面方程及平面間的位置關(guān)系與線性方程組的理論，二次曲線，二次曲面的化簡(jiǎn)與代數(shù)中的二次型理論，幾何與代數(shù)中歐式空間的理論等等。（一）線性代數(shù)中一些概念的幾何直觀解釋?zhuān)?.關(guān)于行列式的幾何背景設(shè)=(),=(),=();兩個(gè)向量的向量積可以用行列式寫(xiě)為它在幾何上表示的是與,向量都垂直且成右手系的向量。三個(gè)向量的混合積可以用行列式表示為圖1平行六面體（）=（）=此行列式的幾何解釋是它的絕對(duì)值等于以它們3個(gè)向量為相鄰棱所作的平行六面體的體積(如圖1)。特別地,當(dāng)(,)=0時(shí),由于平行六面體的體積為零,所以圖1平行六面體由此可得:過(guò)平面上兩點(diǎn)(), ()的直線方程為再推

5、廣到空間中有不在同一直線上的三點(diǎn)(xi,yi,zi)(i=1,2,3)的平面方程為2.關(guān)于正交變換的幾何意義在二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),可以采用可逆變換或正交變換,但是由于可逆變換對(duì)應(yīng)于仿射坐標(biāo)系的變換,正交變換則對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系的變換,所以區(qū)別比較大。例如: 通過(guò)可逆線性變換化成,即橢球面變成了球面。通過(guò)線性變換,化成,即橢球面變成了圓柱面。而正交變換保持向量長(zhǎng)度和角度不變,因此幾何圖形不變。所以在討論二次方程決定的圖形時(shí),必須用正交變換;如果只考慮它所屬類(lèi)型時(shí),可以用可逆變換(當(dāng)然包括正交變換)。還應(yīng)注意正交變換中:當(dāng)正交陣的行列式表示為1時(shí),是旋轉(zhuǎn)變換;當(dāng)正交陣的行列式為-1時(shí),為鏡面反射變換

6、。3. 關(guān)于正交化的幾何解釋線性無(wú)關(guān)的向量組可以由schmidt正交化得到與其等價(jià)的正交組,它的幾何解釋為,如果有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量則可以通過(guò)schmidt正交化得到相應(yīng)的3個(gè)正交向量。這里, , ,其中2為2在1上的投影向量;3為3在1、2所確定的平面上的垂直投影向量。（二）向量組線性相關(guān)(無(wú)關(guān))與幾何中向量共面、共線之間的關(guān)系若,是三維空間的向量,則:線性相關(guān);,線性相關(guān);,線性相關(guān)分別對(duì)應(yīng)于幾何直觀的為零向量;,共線;,共面。因此,一維空間的基是空間中任意一個(gè)非零向量;二維空間的基是空間中兩個(gè)不共線向量;三維空間的基是空間中3個(gè)不共面的向量組成的。例1在三維空間中有向量,oa =(),o

7、b =(),oc =(),那么,a,b,c共線的充分必要條件是什么?解:過(guò)a,b兩點(diǎn)的直線方程為,顯然,當(dāng)且僅當(dāng)c點(diǎn)滿足此方程時(shí),a,b,c共線,即存在t,使得oc =(1-t)oa +tob ,于是,a,b,c共線,當(dāng)且僅當(dāng)oa ,ob ,oc 中某一向量可以由其余向量線性表示,而且表出系數(shù)之和為1。（三）線性方程組與直線、平面的位置關(guān)系 空間直線、平面的位置關(guān)系為線性方程組的結(jié)構(gòu)理論提供了直觀的幾何解釋,同樣線性代數(shù)中的線性方程組的結(jié)構(gòu)理論對(duì)深刻領(lǐng)會(huì)直線、平面的位置關(guān)系起到重要作用。 例2已知平面上有三條不同的直線，它們的直線方程分別為 ,試證這3條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=

8、0。證明:必要性,設(shè)3條直線l1, l2, l3相交于一點(diǎn),則線性方程組有唯一解,故系數(shù)矩陣a=與增廣矩陣的秩均為2,于是|=0由于但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,a+b+c=0充分性,由a+b+c=0,則從必要性的證明可知: |=0,故:秩()0;當(dāng)0 a 時(shí),由圖2仿射坐標(biāo)2. 二次型與二次曲面和二次曲線的聯(lián)系在解析幾何中，我們看到，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲線的一般方程是a+2bxy+c=f (1)為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌茸鬓D(zhuǎn)軸（反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)軸）x=cos-sin;y=sin+cos (2)把方程（1）化為標(biāo)準(zhǔn)方程。在二次曲面

9、的研究中也有類(lèi)似情況。從代數(shù)角度看，所謂化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用變量的線性代換（2）化簡(jiǎn)一個(gè)二次其次多項(xiàng)式，使它只含有平方項(xiàng)。二次型就是在這個(gè)基礎(chǔ)上提出來(lái)的。就譬如說(shuō)二次曲面吧。研究二次曲面的形狀,可以利用矩陣運(yùn)算,把方程寫(xiě)為其中這里, i,j=1,2,3再利用實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化知,有正交變換x=qy,使得這樣則由于正交變換對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸的變換,因此,方程中的常數(shù)項(xiàng)不變。于是就可據(jù)此用解析幾何討論圖形的形狀。二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可以利用解析幾何中二次曲線，二次曲面來(lái)直觀表示；同時(shí)，一些二次曲面，二次曲線的化為標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)可以運(yùn)用高等代數(shù)中的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法來(lái)簡(jiǎn)化，例如配方法、初

10、等變換以及正交變換。例如.化簡(jiǎn)二次曲面2xy+2xz-6yz=0可利用二次型中的初等變換，配方法或正交變換來(lái)化簡(jiǎn)。比如初等變換f(x,y,z)= 2xy+2xz-6yza=則由=故原二次曲面可經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)為2-2+6=0.利用正交變換也可以。3. 歐式空間的幾何理論在線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算。如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個(gè)具體模型，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)，如長(zhǎng)度、夾角等。在解析幾何中我們看到，向量的長(zhǎng)度、夾角等度量性質(zhì)都可以通過(guò)向量的內(nèi)積來(lái)表示，而且向量的內(nèi)積有明顯的代數(shù)性質(zhì)。在這種情況下，歐幾里得空間（即歐式空間）應(yīng)運(yùn)而生。結(jié)論：高等代數(shù)與解析幾何密不可分。二者是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。參考文獻(xiàn)【1】王萼芳,石生明修訂.高等代數(shù)m. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:9【2】謝琳，張靜修訂.從幾何直觀理解行列式與cramer法則.高等數(shù)學(xué)研究，2009.01-15【3】滕樹(shù)軍修訂.線性代數(shù)的幾何化與