中學(xué)幾何研究 (0775)_第1頁
中學(xué)幾何研究 (0775)_第2頁
中學(xué)幾何研究 (0775)_第3頁
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文檔簡介

1、中學(xué)幾何研究 (0775)一、簡答題：（20分）簡述歐幾里得幾何原本的偉大貢獻。 1、關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。2、從歐幾里得發(fā)表幾何原本到如今，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青少年邏輯思維能力的好教材。3、。幾何原本的誕生，標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。二、證明題： （20分）在ABC內(nèi)任取一點，直線、分別交、于、.求證：.=,=三、作圖題：（20分）已知，求作的外接圓。（只寫作法及討論，不用證明。） 作法：作BC

2、的中垂線l和AC的中垂線m，l與m交于點O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓0 (O,OA)即為所求。四、軌跡討論：（20分）設(shè)一點與一定圓的距離等于圓半徑，則該點的軌跡為該圓中心和一個半徑加倍的同心圓的并。 假設(shè)：點與定圓距離。 求證：點的軌跡是點和圓. 證明：（1）完備性 設(shè)在圓內(nèi)部，則由假設(shè)，即點重 合于圓心。 若在外部，則，因此在圓上。 （2）純粹性 首先，據(jù)定義，點到圓的距離是，即點合于條件。其次，在圓上任取一點，因點在圓外部，線段必交圓于一點，且，即點合于條件。所以合乎條件的點的軌跡是點和圓的并集。第三題圖5、 敘述并證明西姆松定理（20分) 答：西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。 證明：ABC外接圓上有點P，且PEAC于E，PFBC于F，PDAB于D，分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓，在PBDF圓內(nèi)，DBP+DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)ABP+ACP =180度，ABP=DBP于是DFP=ACP ，在PFCE圓內(nèi) PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180 即D、F

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