證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的方法

1、v1.0可編輯可修改7證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的方法1、利用梅涅勞斯定理的逆定理例1、如圖1,圓內(nèi)接a abc為不等邊三角形，過(guò)點(diǎn)a、b c分別作圓的切線依次交直線 bg caab 于 a1、b1、c1 ,求證:a1、b1、c1三點(diǎn)共線。解：記 bc a,ca b, abc,易知ac1c1bs ac1ccc1b又易證 ac1c” cc1b.則s ac1cs cc1baccb22 .a121ba1 c2 cb1問(wèn)理a1c b2b1a21a2 拓 ac1 下.故f- c2 c1bba1 cb1a1c b1ab2a21. c2由梅涅勞斯定理的逆定理，知 a1、b1、c1三點(diǎn)共線。2、利用四點(diǎn)共圓（在圓內(nèi)，主

2、要由角相等或互補(bǔ)得到共線）例2、如圖，以銳角a abc的一邊bc為直徑作。q過(guò)點(diǎn)點(diǎn)h是a abc的垂心.求證：m h n三點(diǎn)共線。（96中國(guó)奧數(shù)）證明：射線ah交bc于d,顯然ad為高。記ab與。的交點(diǎn)為e,易知c、h、e三點(diǎn)共線。聯(lián)結(jié) om on dm dn mh nh易知amoano ado a、n五點(diǎn)共圓，更有a、m d n四點(diǎn)共圓,a作。o的兩條切線，切點(diǎn)為m此時(shí),amband1800因?yàn)?am 2 ae abah ad（b、d h e四點(diǎn)共圓），日口 am ad p即；又ah ammah dam ,所以 amhadm ,故 ahm amd點(diǎn)。必在 emn內(nèi)，此時(shí),s omns omb

3、 s oncs bmn s bcn1g 1/g g -(s bmdsbcd )二(sbmc sdmc )2211二(s abc s adc )一 s四邊形 abcd241 c同理,s fmns四邊形abcd04因此s emn s fmn。此時(shí),直線m邰分ef,即乂、l三點(diǎn)共線。注：利用梅涅勞斯定理的逆定理也可證明此題。4、利用同一法盡管同一法是一種間接證法，但它卻是一各很有用的證法，觀察例4后，你會(huì)感到，同一法在證明三點(diǎn)共線問(wèn)題時(shí)，也有其用武之地。例4、如圖4(a),凸四邊形 abcd勺四邊皆與。o相切，切點(diǎn)分別為 p、m q n,設(shè)pq與同理， ahn and。因?yàn)?ahm ahn amd

4、and 1800,所以，m h n三點(diǎn)共線。3、利用面積法如果s s ，點(diǎn)e、f位于直線mn的異側(cè)，則直線 mn分線段ef,即m n與efemn fmn的中點(diǎn)三點(diǎn)共線。例3、如圖，延長(zhǎng)凸四邊形abc曲邊ar dc交于點(diǎn)e,延長(zhǎng)邊 ar bc交于點(diǎn)f,又m m l分別是 ag bd ef的中點(diǎn)，求證： m n l三點(diǎn)共線。證明：設(shè)bc的中點(diǎn)為o,輔助線如圖所示,由 om ae,on / de 可知，s _s_ s_ _emn s omn s ome s onemn交于s,證明：a s、c三點(diǎn)共線。證明：如圖4(b),令pq與ac交于易證 aps/與 cqs/互補(bǔ)。而 as/pcs/q ,則(a)

5、(b)as/ sin aps/ sin cqs/ ap sin as/p sin cs/qs/ccqas/s/cap -。再令cqmin ac交于s/o同理可得as/s/camcn但必cqam,所以cnas/s/cas/利用合比性質(zhì)得, s/cas/ as/ac ac因此，as/as/,可斷定s/與s必重合于點(diǎn)s,故a、s、c三點(diǎn)共線。注：觀察本題圖形，顯然還可證得 b、s、d三點(diǎn)共線；換言之,ag bq pq mn四線共點(diǎn)。5、利用位似形的性質(zhì)如果 abc與a/b/c/是兩個(gè)位似三角形，點(diǎn)o為位似中心，那么不僅a、a/、o；bb/、o; c c/、o分別三點(diǎn)共線，而且 abc、 a/b/c/

6、的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心 o也三點(diǎn)共線, 位似形的這種性質(zhì)，對(duì)于證明三點(diǎn)共線，頗為有用。例5、如圖，abc內(nèi)部的三個(gè)等圓。 。1、。2、。3兩兩相交且都經(jīng)過(guò)點(diǎn) 巳其中每?jī)蓚€(gè)圓 都與 abc的一邊相切，已知。i分別是 abc的外心、內(nèi)心，證明：i、p、。三點(diǎn)共線。證明：聯(lián)結(jié)0102、0103 0203。由已知得可斷定 abc與o1o2o3是一對(duì)位似三角oio1o2/ab、o2o3/bc、q03/ca。且易知 abc的內(nèi)心i是兩者的位似中心。因?yàn)椤?、。2、o o3為等圓,即 poipo2po3,所以點(diǎn)p是 o1o2o3的外心。又點(diǎn)。是 abc的外心，故p、。兩點(diǎn)是兩個(gè)位似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，利用位似形

7、的性質(zhì)，即得 i、p、。三點(diǎn)共線。6、利用反證法有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達(dá)到預(yù)期目的。例6、如圖,梯形 abcm、dc/ab,對(duì)形內(nèi)的三點(diǎn) r、p2、p3 ,如果到四邊距離之和皆相等,那么,證明:設(shè)直線rfirei因?yàn)閐c/ab,則點(diǎn)f到ar cd的距離之和等于點(diǎn)p2到ab、cd的距離之和。由已知可得reipfi p2e2 f2f2。過(guò)點(diǎn)p作ad的平行線、過(guò)點(diǎn) p2作bc的平行線得交點(diǎn) p （由于ad與bc不平行）。記pp交f2f2于g p2p交piei于h。觀察上式有 rei p2e2 p2f2 pfi。所以，php2g。因?yàn)?ppip2有兩條高phf2g ,所以，pp

8、ip2是等腰三角形，則ppp2pp2p。故 dmnprp2pp2pcnm 。再用反證法證明點(diǎn) p3一定在pp2上：假設(shè)點(diǎn)f3不在pp2上，聯(lián)結(jié)rp3并延長(zhǎng)分別交 ad bc于m /、n/,易知點(diǎn)m /、n/在mn的異側(cè)；因?yàn)辄c(diǎn) pi至ij ad bc的距離之和等于點(diǎn) p3至u ad bc的距離之和，由上述證明過(guò)程知必有dm/n， cn /m /o事實(shí)上，觀察圖形只能得到dm/n/ dmncnmcn/m /,矛盾，這說(shuō)明點(diǎn)r必則空cd則做cd在pp2上，即mnlk,因此r、p2、r三點(diǎn)共線。7、用塞瓦定量的逆定理變?nèi)c(diǎn)共線為三線共點(diǎn)，利用塞瓦定理的逆定理，在圓內(nèi)接凸六邊形abcde沖，若ab cd ef bc de fa,則ad be、cf三線共點(diǎn)；反之亦然，利用這個(gè)結(jié)果來(lái)證明某些 三點(diǎn)共線問(wèn)題，可立竿見(jiàn)影。例7、如圖7,凸四邊形 abcg接于圓，延長(zhǎng) ar bc交于點(diǎn)p,彳pe、pf切圓于e、f,又ac與bd交于k,證明：e、k、f三點(diǎn)共線。解：聯(lián)結(jié)ae eq cr fb得凸六邊形 abfcde欲證e、k、f三點(diǎn)共線，即 ag bd ef三線共點(diǎn),只須證 ab fc de bf cd ea。注意到 pab n pcd, pfc n