固體的彈性形變

1、固體的彈性形變第八章 固體的彈性形變內容： 、應力、應變、胡克定律 彈性模量、彈性勢能、扭轉和彎曲形變要求： 要求明確掌握應力與應變的概念及其相互關系。掌握楊氏模量、切變彈性模量、體變彈性模量的概念。了解應變勢能的意義。重點與難點：應力與應變的概念及其相互關系。楊氏模量、切變彈性模量、體變彈性模量的概念。作業(yè)：P295 1，2，3，4第八章 固體的彈性形變 在前面的章節(jié)中，我們把物體當作剛體看待，認為物體受到力的作用后它的形狀不會改變。但實際上物體受外力作用時形狀或多或少地會發(fā)生變化。當外力不很大時物體形狀變化也不大，如果去掉外力后物體能完全恢復到原來的形狀，就稱這樣的物體為彈性體，物體相應的

2、形變?yōu)閺椥孕巫?。如果作用在物體上的外力很大，引起物體的形變也很大，那么除掉外力后物體就不能完全恢復到原樣，這種特性稱之為物體的塑性，例如汽車的外殼就是用金屬板模壓而成的，壓完后保持形狀不變。總的來說彈性及塑性都是物質的重要特性，本章主要討論物體在彈性范圍內的形變與外力之間的關系。 物質是由大量的分子組成的，物質的彈性來源于分子間的相互作用力，不過從宏觀上看可以把整個物體看成由原子、分子組成的連續(xù)媒質，這時只需研究這種連續(xù)媒介整體受力與整體形變的關系，而不必考慮物體中每個分子受力的行為。8.1應力與應變 1)應力 在外力的作用下物體內分子之間的距離會發(fā)生變化從而引起物體內分子間相互作用力的變化(

3、也稱為物體內力的變化)，這種內力的變化會帶來物體體積的變化。為了從宏觀上描述這種內力的變化與物體形狀變化之間的關系，假想在物體內部任取一平面（面元的取向可以是任意的），此平面將物體分開為兩部份，若分布在此截面兩邊的內力變化為f與，則定義平面上的應力為（參見圖8.1.0） 。 （1） 在國際單位制中，應力的單位為牛頓/米2，簡稱為帕。 對實際物體來說，如果受到的是拉力或壓力如圖8.1.1所示，常把假想平面的法線取為沿外力的方向，而把上式定義的應力稱為張應力或正應力，當外力是壓力時（F= F）也稱為壓應力統(tǒng)一用 t 表示。顯然在圖8.1.1中假想平面A兩邊內力的變化，故張應力的大小就是 。 如果作

4、用在物體上的外力是力偶，如圖8.1.2所示，常把假想平面A取為與外力平行，而把（1）式定義的應力稱為切應力或剪應力用t表示，它形象地表示出外力偶對物體的剪切效應。顯然在8.1.2圖中假想平面兩邊內力的變化，所以假想平面上剪應力的大小 。 由此看出剪應力與張應力的差別只是應力t在平行于假想平面還是在垂直于假想平面上投影，但它們的作用效果完全不同。 應力的概念對液體的表面也適用，如圖8.1.3所示。不過液體的形狀不是固定的它隨容器的形狀變化，而且靜止的液體表面只能承受壓應力而不能承受剪應力。另外，液體表面的壓應力也稱為壓強用p表示。如果液體表面的面積為S，液面表面正壓力增加F則液體表面的壓強（應力

5、）改變 。 2）應變 當物體受外力作用時其長度、形狀及體積都可能發(fā)生變化，這種變化與物體原來的長度、形狀及體積之比稱為應變。每一種應力都有一對應的應變，我們把張應力作用引起的應變稱為張應變。設有一柱狀物體（見圖8.8.1）原來的長度為L0，兩端施以大小相等而反向的拉力 F后物體的長度變?yōu)長，這時柱體的伸長量為LL0，由定義 。 在柱體受壓力的情況下，上式也稱為壓應變。 物體受剪應力作用產(chǎn)生的應變叫做切應變。為方便起見，設物體為一矩形物 體如圖8.1.4所示，圖中虛線表示物體原來的形狀，受到剪應力后物體的形狀變成實線所示的形狀。剪應力產(chǎn)生的應變大小可用角形變f確定，在彈性范圍內f角實際上很小，可

6、以用和Lo的比值表示（以弧度為單位）。由圖8.1.4看出剪應變也可以看成是沿物體對角線方向的拉伸與壓縮形變。我們定義 。 液體表面的壓強變化也能使液體產(chǎn)生壓縮形變，而液體的形變通常是體積形變。我們定義液體的體積變化與原體積比值為液體的體積應變，即 。 由應變的定義可知，三種應變都是沒有單位的純數(shù)。8.2胡克定律 1)物質的彈性 要想知道物質彈性的特點可以進行各種實驗。拉伸實驗是一個即簡單又典型的 實驗，通過實驗可以找到物體內部應力與物體應變之間的關系。 圖8.2.1表示拉伸實驗過程中樣品的拉伸曲線。在拉力不太大時，（應力在1點 下方）應力與應變顯線性關系，不同材料的斜率有所不同，但基本性質卻是

7、一 樣的。1點稱為比例極限位置，超過這一點應力與應變不再呈正比變化。應力 變化時應變比開始變化更大。雖然應力和應變之間的關系在1點與2點 之間不再是線性關系，但是當外力撒去后樣品仍能恢復到原來形狀，因此2點也稱為彈性極限。當物體內應力超過2點以后，除去外力后物體的形狀不能完全恢復到原有的狀態(tài)，有剩余形變存在屬于塑性范圍不再過多分析。對一般材料而言，比例極限與彈性極限的位置靠得很近，在精度要求不高的情況下，可以 視比例極限為彈性極限。 從實驗得出的結論是：在比例極限范圍內，物體內部的應力與物體的應變 成正比。應力的這一變化范圍稱為物體的彈性范圍，物體在彈性范圍內發(fā)生 的形變稱之為彈性形變，應力與

8、應變之間的比例系數(shù)稱之為物體的彈性模量。 由于應變是無量綱的純數(shù)，所以在國際單位制中彈性模量的單位是牛頓/米2或 者帕Pa。 2)胡克定律 在彈性范圍內任一彈性體內的應力和應變成正比，比例系數(shù)為彈性體的彈性 模量，這一結論稱為胡克定律。它是從大量的實驗中總結出來的，不僅對張 應力成立對剪應力也成立，下面就來分析胡克定律的幾種常見表達式。 如圖8.1.1所示，物體受到拉力或壓力時會發(fā)生拉伸或壓縮形變，通常把描述 彈性體的拉伸或壓縮彈性模量稱為揚氏模量用Y 表示，于是描述張應力與張應變關系的胡克定律可寫成。 物體受剪應力時（如圖8.1.2），我們把物體橫向彈性形變的彈性模量稱為切 變模量用 G表示

9、，這樣描述剪應力與切應變關系的胡克定律可表述為。 對液體表面的壓強變化引起的體積應變，我們把壓強變化與體積應變的比值 稱為液體的體積彈性模量用k表示，相應的胡克定律就可以表示成 。 因為壓強增加時（Dp0）液體的體積減小，所以胡克定律中包含一負號。體積 彈性模量的倒數(shù)也稱為體積壓縮系數(shù)，按照上式壓縮系數(shù)可定義為 。 由此看出體積壓縮系數(shù)是增加單位壓強時體積的相對變化，也就是增加單位壓 強時的體積應變量。 為了對彈性模量的大小有一個數(shù)量級的概念，附表中給出了幾種常見材料的彈性模量，單位是牛頓/米2。一般材料的彈性模量數(shù)值可以通過查閱手冊的方式得到。物體的一般形變都可以看成物體的兩種基本彈性形變的

10、組合形式即伸縮與切變，例如彎曲和扭轉等。表8-1 常用材料的彈性模量 材料楊氏模量 切變模量 鋼20101081010 鍛鐵19101071010 銅11101041010 鋁710102.41010 鉛1.310100.51010 8.3 物體的拉伸與壓縮 泊松比 1)泊松比當物體受一對大小相等方向相反的拉力時，物體不僅沿外力的方向會伸長，垂直于外力方向上（橫向）尺寸也會縮短。如柱狀物體兩端受到拉力時，沿拉力方向物體的尺寸會伸長，而垂直于拉力方向上物體的尺寸會縮短。一般來說，當物體受拉力或壓力時除了縱向（沿拉力方向）會發(fā)生應變以外，橫向也會有應變。通常把同一物體的橫向應變與縱向應變的比值定義

11、為物體的泊松比用h表示 。 式中的負號表示橫向應變與縱向應變的符號相反，若縱向應變增加則橫向應變 減小，縱向長度縮小橫向寬度就增大，泊松比保持為一正值。實驗資料表明， 大多數(shù)物質的泊松比在0.3左右。 2)固體的拉伸 為進一步了解泊松比的意義和它在固體彈性形變中的作用，我們來討論物體在 拉伸后體積的變化。假定物體為六面體，在無外力作用時三邊的長度分別為a，b，c。設有一對大小相等方向相反的拉力F（對壓力F= F）作用于物體的上 、下兩個面，見圖8.3.1。如果沿拉力的方向上物體伸長了a其應變量為 ， 由胡克定律 ， 可以求出沿拉力方向上物體的應變 。 雖然拉力只是沿z軸方向，但物體在橫向即x軸

12、方向和y軸方向也會產(chǎn)生應變。橫向應變的大小可用泊松比計算 ， 及 。 當縱向拉長（Da0）時，橫向Db、Dc減少。物體原來的體積是v=abc，.拉伸后體積改變量為 ， 于是體積應變 。 利用前面兩式得 , 上式說明體積應變與張應變是可以通過泊松比相聯(lián)系的。一般情況下，泊松比 h的值總是小于0.5的，所以張應力作用下體積應變總是正值，也就是說物體受到拉伸的情況下物體的體積總是增大的。反之，當物體受壓力作用時為負數(shù)，物體的體積總是減少的，這時體積應變?yōu)?3）壓縮系數(shù) 現(xiàn)在設想上面提到的六面體是正六面體，為方便起見，假定立方體六個面的 表面積均為A。如果在六面體的每個表面施加正壓力F，這時在六面體的

13、六個 面上都有同樣大小壓應力的作用（其大小為F/A），物體總體積應變?yōu)橐粚?應力的3倍，由上式知道這時立方體的體積應變?yōu)?。 注意到物體表面的正壓力F與壓強的關系是，于是上面的式子還可表 示成 。 由體積彈性模量的定義 ， 可以得到下式 。 這就是體積彈性模量與揚氏模量之間的關系，它們可由泊松比聯(lián)系。另外，根 據(jù)彈性理論還可以證明揚氏模量與切變模量有如下關系 。 當然，也可反過來用切變模量及體積彈性模量表示揚氏模量與泊松比 ， 。 8.4彎曲與扭轉 1)橋梁的彎曲當橋梁負載重量時就會發(fā)生彎曲。為方便起見，假定橋梁的橫截面為矩形（其高度為h寬度為b），橋梁的長度為d，兩端點支撐力為N1、N2，

14、橋梁全部負荷為P。橋梁受力后會發(fā)生彎曲形變如圖8.4.1所示。假定全部負荷集中在橋梁的 中點，于是。為分析橋梁內部的應力，在橋梁中點假想截面cc把橋梁從中間分開，成為左右兩段。從圖8.4.1中可以看出，以cc為參照點，兩段各受一方向彼此相反的力偶矩，其大小為，此力矩是橋梁的兩端點處外力引起的記為N外。 當橋梁處于平衡狀態(tài)時，橋梁的橫截面cc上必有一內力矩與外力矩大小相等、方向相反。為了分析內力矩，設想將橋梁分成上下許多層，當橋梁向上彎曲時，上層受到壓縮下層被拉伸，中間可視可無應變（力）的中性層。cc面上的張應力分布如圖8.4.1 所示，上層有壓應力下層有張應力，總的效果相當于一個力偶矩，這就是

15、橋梁的內力矩N內。為了計算N內，首先分析橋梁的應變，設彎曲橋梁的曲率半徑為R，曲率中心位于o點。如圖8.4.1所示，橋梁對c點所張的角為q = d/R，其中d是梁的長度。在cc面上以中性層為坐標原點，取z軸沿橋、 梁高度方向，則坐標為z處那一層的長度q(R-z)=d(R-z)/R=d-dz/R。這樣該層的長度變化Dd=-dz/R，相應的應變?yōu)镈d/d=-z/R ，由胡克定律DF/DA=YDd/d=-zY/R。對高度dz的一層橫截面積dA=bdz，所以該面上的作用內力dF= -(zbY)/R dz，這個力對坐標原點（o點）的力矩 dN= z dF= -(z2bY) /R dz，于是作用在整個假想

16、面上的總內力矩 ， 負號表示內力矩與外力矩方向相反。由于橋梁平衡時受到的外力矩必定與內力矩相等，即有，由此求得橋梁的曲率 。 上式表明在一定的負荷下，橋梁的彎曲程度與橋梁的寬度一次方和梁高度的三次方成正比。由此可見，為提高橋梁的抗彎曲能力增加橋梁的高度比增加橋梁的寬度更有效。另外，橋梁的中性層對抗彎能力沒有多大的影響，故在工程中廣泛采用工字鋼，空心鋼管等構件，即能保證不影響梁的抗彎曲能力又能減輕重量節(jié)約材料。 2)桿的扭轉 在一根桿的兩端沿著桿的方向施以反向的扭轉力矩時，桿就會發(fā)生彈性扭轉形變。任何傳遞能量的轉動軸上都可以出現(xiàn)這種扭轉情況，例如汽車的傳動軸，電動機的轉動軸上都有扭轉力矩，我們平時開啟螺旋瓶蓋，扭干洗過的衣服都屬于扭轉情況。這里我們以棒的扭轉為例討論扭轉過程的力學規(guī)律。 將棒的上端固定，在下端加一力矩N，這時整個下端的截面相對上端的截面扭轉了角。如圖8.4.2所示，可以認為力矩的切向力是分布在整個截面上的。 設想在棒的內部取一半徑為厚度為dr假想截面，作用在此面上的切向力記為dF。扭轉的結果使直線AB轉到AC的位置，使下底相對上頂產(chǎn)生一切應變，作用于此截面上的應力由胡定律 ， 而dF對圓心的力矩 。 這個力矩是分布在半