多維離散型隨機(jī)變量及其分布列

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第第 三三 章章 多維多維 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主要內(nèi)容 一、二維離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)一、二維離散型隨機(jī)變量分布函數(shù) 二、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)二、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) 3.2 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 一、二維隨機(jī)變量的定義及其分布一、二維隨機(jī)變量的定義及其分布 設(shè) 是定義在同一概率空間上的兩個(gè)隨機(jī)變 量，則稱向量 為二維隨機(jī)變量。二維隨機(jī)變量。 , 若 只取有限個(gè)或可列個(gè)向量值，則稱向量 為二維離散型隨機(jī)變量（向量）。 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1設(shè) 是二維離散型隨機(jī)

2、變量，它們的一切可 能取值為 , (i, j=1,2,) 注意 。 稱 i, j=1,2,為二維隨機(jī)變量 的聯(lián) 合分布列，簡(jiǎn)稱為分布列。 ( ,) ij a b ijji pbaP),( (,)()() ijij abab (,) ijij pPab ( , ) ( , ) 定義定義1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2為直觀起見，二維離散型隨機(jī)變量的分布列 也可以表示成如下表格的形式： 此表也稱為概率分布表。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 說明：1.若 為二維r.v.，且 同為離散型 rv 為二維離散型r.v.。 ( , ) , ( , ) ( , ) 2. 關(guān)于二維離散型r.v. ，主要討論兩方面 的問題。 （1）

3、 取值范圍； （2） 以多大概率取值。 ( , ) ( , ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布具有下面的性質(zhì)： 1) 非負(fù)性： 2) 規(guī)范性： , ,i j0, ij p i,j=1,2， 1. ij ij p . 1 (), iiji j Papp . 1 (). jijj i Pbpp 3) (,) ijij pPxy的求法 利用古典概型直接求； 利用乘法公式 () () . ijiji pPa Pbx 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) (00)P， 1 , 9 2 3 1 例1 將兩個(gè)球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè) 盒子中。令 表示放入1號(hào)盒子中的球數(shù)， 表示放入2號(hào) 盒子中的球數(shù)

4、，試求： 的聯(lián)合分布律。 解 , 的可能取值分別為0,1,2， ( , ) 2 , 9 2 3 2 (01)P， (12)P， P0, (02)P， 2 3 1 1 , 9 (10)P， 2 3 2 2 , 9 (11)P， 2 3 2 2 , 9 (20)P， 2 3 1 1 , 9 (22)P， P0. (21)P， P 0, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 由此得 的聯(lián)合分布律為 ( , ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 邊際分布（邊緣分布）邊際分布（邊緣分布） . 1 (), iiij j Papp . 1 (). jjij i Pbpp 二維隨機(jī)變量 作為一個(gè)整體，它具有概率分布 （聯(lián)合分布列），而它的每一個(gè)

5、分量 ， 也是隨機(jī)變量， 因此自身也具有概率分布（ 分布列），它們分別稱為 關(guān)于的 ， 邊際（邊緣）分布，記為 與 。 若 的聯(lián)合分布為 ，i,j=1，2 則 ( , ) ( , ) . )( ii paP jj pbP )( ijji pbaP),( ( , ) 用表格表示如下： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例2.設(shè)把三個(gè)相同的球等可能地放入編號(hào)為1.2.3的 三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)為 , 落入第2號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)為 , 求 ),(的聯(lián)合 分布列及 ,的邊際分布列. 解: , . 30),()(),(jijPjiPjiPpij 的可能取值為 0,1,2,3. 因?yàn)?.30,) 3 2

6、() 3 1 ( 3 )( 3 j j jP jj 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) .30, )!3(! !3 27 1 ) 3 2 () 3 1 ( 3 ) 2 1 ( 3 33 ji jiji ji j p jjj ij 3ij . 30 ,) 2 1 ( 3 ) 2 1 () 2 1 ( 3 )( 33 ji i j i j jiP jiji 于是 在 或 時(shí), . 0ij 0 ij p 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 0 1 2 3 Pi. 0 1 2 3 1/27 1/9 1/9 1/27 1/9 2/9 1/9 0 1/9 1/9 0 0 1/27 0 0 0 8/27 4/9 2/9 1/27 p.j 8/

7、27 4/9 2/9 1/27 表3.1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例3 設(shè) 的分布列如下表, 求 及2, 1P 1P ( , ) . 解 222324323334 1,20.5,Ppppppp 11121314 10.2.Ppppp 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 二、離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 定義定義 設(shè)隨機(jī)變量 的可能取值為 , 的可能取 值為 ,如果對(duì)任意的 有： 成立,則稱隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立。 )2 . 1 ( i a )2 . 1(jbi ji ba , )(),( iiji bPaPbaP 注: 1、兩個(gè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立，也就意味 與 的取值之間互不影響， 2、隨機(jī)變

8、量的獨(dú)立性可以推廣到多個(gè)離散型隨機(jī) 變量的場(chǎng)合。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 定義 設(shè) 是n個(gè)離散型隨機(jī)變量， 的可能取 值為 ,如果對(duì)任意的一組 恒有 成立，則 稱是相互獨(dú)立的。 12 , n i (1,2, ;1,2,) ik ain k 1 1 (,), n knk aa )()()(),( 21 221111 nn nknkknknk aPaPaPaaP 12 , n 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例4 的聯(lián)合分布列為( , ) 1 2 3 1 2 1 6 1 9 1 18 1 3 試問： ， 為何值時(shí)， 相互獨(dú)立？ , 1 2 3 1 2 1 6 1 9 1 18 1 3 1 3 1 3 1 2 1 9

9、1 18 解 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 1111 1, 69183 1 , 3 111 (), 939 21 , 99 9 1 , 9 2 , 故 當(dāng) 時(shí)， 相互獨(dú)立。 所以 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例5. ),(, -1 1 0 1 2 1/15 p q 1/5 1/5 3/10 的聯(lián)合分布如下表,則 =( )時(shí), 相互獨(dú)立. a.(1/5,1/15), b.(1/15,1/5), c.(1/10,2/15), d.(2/15,1/10). i p j p (c) ( , )p q 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例6.擲骰子兩次,得到偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)記為, ., 得到3點(diǎn)或 6點(diǎn)的次數(shù)記為求 的聯(lián)合分布與邊際分布. 解.

10、,的可能取值都為0,1,2.顯然,相互獨(dú)立,且 . 4 1 6 3 )2(, 2 1 6 3333 ) 1(, 4 1 6 3 )0( 2 2 22 2 PPP . 9 1 6 2 )2(, 9 4 6 4224 ) 1(, 9 4 6 4 )0( 2 2 22 2 PPP 從而得聯(lián)合分布表如下: 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) i p j p 0 1 2 0 1 2 1/9 1/9 1/36 2/9 2/9 1/18 1/9 1/9 1/36 1/4 1/2 1/4 4/9 4/9 1/9 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例7 把一枚均勻硬幣擲三次，設(shè) 表示頭兩次擲 出正面的次數(shù)，表示這三次投擲中出現(xiàn)正面的總次 數(shù)，試

11、求 的分布列。 ( , ) 解 的可能取值為0,1,2， 的可能取值為0,1,2,3 如 (“頭兩次擲出1個(gè)正面，這三次 共擲出2個(gè)正面”) (“頭兩次擲出1個(gè)正面，第三次擲出正面”) 再如 (“頭兩次擲出的正面數(shù)為0， 這三次共擲出2個(gè)正面”) PP2, 1 P 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 C PP2, 0 0.P 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 則得分布表為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例8 一批產(chǎn)品共8件，其中一等品2件，二等品2件， 三等品4件，從中任取3件，令 為取到的一等品件數(shù)， 為取到的二等品件數(shù)，試求 的分布列。 ( , ) 解 , 的可能取值為0,1,2，且 則 3, ,0,1,2,i

12、j 03. 且 3 224 3 8 , ijij C C C Pij C 1 14 3 14 1 14 3 14 2 7 1 28 1 14 1 28 0 0 0 1 2 12 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ( , ) 例9 袋中裝有2只紅球和3只綠球，從中有放回地取 兩次，每次取1球，記 為第一次取出的紅球數(shù)，為第 二次取出的紅球數(shù)，問 是否獨(dú)立? 解 的聯(lián)合分布列及邊際 對(duì)任意的有 ，所以 相互獨(dú)立。 ji, jiij ppp . , 分布列如下表： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例9（續(xù)） 若采用無放回方式取球，問 是否獨(dú)立？, 對(duì)任意的有 ，所以 不相互獨(dú)立。 ji, .ijij ppp ( , ) 解 的聯(lián)

13、合分布列及邊際分布列如下表： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ( , ) 0,1,2,k 設(shè) 是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，f (x , y)是實(shí)變 量x和y的單值函數(shù)，這時(shí) 仍是一個(gè)離散型隨機(jī) 變量。 ),(f 設(shè) , , 的可能取值為:,( , ,1.2.) ijk a b c i j k 令 (i, j, k=1,2,) ,則有 特別地，當(dāng) , 獨(dú)立，且取非負(fù)整數(shù)值 時(shí)，我們有 k i k i ikiPikiPkP 00 , ikPiP k i 0 , 上式常稱為離散卷積公式。 三、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 kjijik cbafbaC),(| ),( ),()( kk CPcP

14、kji Cba ji baP , ),( 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例10 設(shè)二維r.v 的概率分布為 0 1 2 -1 1 求 的概率分布。 ( , ) 1 36 1 12 1 6 1 4 1 0 1 21,2, 12 PP 1 11,1, 6 PP 1 01,01,0, 2 PPP 1 11,1, 4 PP21,20.PP 解 的可能取值為-2，-1，0，1，2， P -2 -1 0 1 2 12 1 6 11 24 1 0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例11 設(shè)二維r.v 的概率分布為 -1 1 2 -1 0 41 61 4181121 81 求, 的概率分布。 ( , ) 解解 根據(jù) 的聯(lián)合分布可得

15、如下表格： P 4141618181121 + - / (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 ( , ) ( , ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 故得 P -2 -1 0 1 2 41414161121 P -1 0 1 2 3 4141418181 P -2 -1 0 1 6141812411 P -1 -1/2 0 1 4181241161 + - / 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 具有可加性的兩個(gè)離散分布 q 設(shè) B (k；n1, p), B (k；n2

16、, p), 且 , 獨(dú)立， 則 B ( n1+n2, p) q 設(shè) P (1), P (2), 且 , 獨(dú)立， 則 P(1+ 2) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) )()(kPkP )()(ikPiP k i 0 iknikik n ini k i i n qpCqpC 2 2 1 1 0 k i ik n i n knnk CCqp 0 21 21 ., ,. 21 210 21 21 nnkqpC nnkk nn k i ikiP 0 ),( 二項(xiàng)分布可加性的證明二項(xiàng)分布可加性的證明 證證:設(shè)則).,;(),;( 21 pnkBpnkB .: 21 210nn ，所有可能取值為 nkqpCkP knkk

17、 n , 2 , 1 , 0, ),;(pnkB 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 設(shè) P(1), P(2), 則 的可能取值為 0,1,2, , 0 ()(,), k i PkPiki 12 12 0 !()! ik i k i ee iki 12 12 0 ! !()! k ik i i ek ki ki 0,1,2,k Poisson分布可加性的證明分布可加性的證明 P ,0,1,2, ! k Pkek k ， )( ! )( 21 21 e k k )()(ikPiP k i 0 12 12 0 ! k iik i k i e C k 12 P 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) , 解 例12 設(shè) 為獨(dú)立分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列 為 n1,2, 1 ()(), 2n PnPn 1 1 ()(,) k i PkPiki 1 1 11 22 k i