人教A版（2019）高中數(shù)學必修第一冊2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教學設計

1、2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 教材分析：本單元主要學習用不等式表示現(xiàn)實問題、數(shù)學問題，為了解不等式，要探究不等式性質(zhì)，而不等式性質(zhì)的探究要先學習證明不等關系的“根本大法”，即“兩個實數(shù)大小關系的基本事實”還要梳理等式基本性質(zhì)及蘊含的思想方法，然后通過類比的方法猜想并證明不等式的性質(zhì)，最后要會運用不等式的性質(zhì)證明其它的一些不等關系現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關系上，就是相等與不等相等用等式表示，不等用不等式表示實際問題中所蘊含的不等關系可抽象出不等式的關鍵是確定

2、問題中涉及的量及其滿足的不等關系，然后用未知數(shù)表示量，把不等關系“翻譯”成不等式兩個實數(shù)大小關系的基本事實既是實數(shù)的基本性質(zhì)，又是研究式的大小關系的基礎，為不等式的研究奠定了邏輯基礎這個基本事實把兩個實數(shù)的大小關系轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小關系，實際上就是兩個實數(shù)差的符號，從而把實數(shù)的大小關系轉(zhuǎn)化為使實數(shù)的運算問題，使實數(shù)大小關系的比較有了抓手重要不等式是基本不等式基礎，該不等式從趙爽弦圖中獲得猜想，運用由一般性與特殊性獲得“=”成立的條件證明中，運用了完全平方差公式和兩個實數(shù)大小關系的基本事實證明了上述不等式，這既體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的聯(lián)系，又再一次說明了兩個實數(shù)大小關系的基本事實在解決不等式問

3、題中的應用價值等式性質(zhì)可從自身特性看，包括“對稱性”和“傳遞性”“對稱性”即兩個相等的實數(shù)放在等號兩邊的兩種不同的表現(xiàn)形式；“傳遞性”是實數(shù)相等的內(nèi)在關系，兩者均是實數(shù)序的特征從運算角度看，“加法”、“乘法”運算中的不變性，即等式兩邊同加或同乘同一個實數(shù)，等式保持不変；也有其派生出來的在“乘方”、“開方”等運算中的不變性不等式與等式的性質(zhì)蘊含了同樣的數(shù)學思想方法，也包含不等關系自身的特性和運算中的不變性兩類不等關系自身的特性有“自反性”和“傳遞性”兩種“自反性”是不相等的兩個實數(shù)大小關系的兩種不同表達形式，是實數(shù)序特性的體現(xiàn)“傳遞性”是三個不相等的實數(shù)之間大小關系的內(nèi)在聯(lián)系，也是實數(shù)序特性的體

4、現(xiàn)運算中的不變性、規(guī)律性是指對不等號兩邊的實數(shù)同時進行“加法”、“乘法”等運算，得出新的不等關系由于“正數(shù)乘正數(shù)大于0”，“負數(shù)乘正數(shù)小于0”，所以不等式對于乘法運算失去了“保號性”，這也是不等式性質(zhì)與等式的性質(zhì)的差異實際上，在代數(shù)問題中，運算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)，它是發(fā)現(xiàn)代數(shù)性質(zhì)的“引路人”，在代數(shù)領域中具有基礎地位利用不等式的基本性質(zhì)可推導出不等式的一些其他性質(zhì)，即以基本性質(zhì)為理論依據(jù)，以運算中的不變性和規(guī)律性為研究方向，通過“猜想證明修正再證明得出性質(zhì)”的方法探究出其他的性質(zhì)結合以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：兩個實數(shù)大小關系的基本事實及其簡單應用；梳理出等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方

5、法；類比等式基本性質(zhì)，探究不等式的基本性質(zhì)學情分析： 學生在用不等式表示實際問題時，對沒有符號化的問題不知從何入手，學生能夠抽象不等關系，但不能用符號語言表達教學中教師應引導學生將問題符號化，體會符號語言在數(shù)學中的作用兩個實數(shù)大小關系的基本事實及其應用對學生來說較為容易，但理解這個基本事實使運算參與比較之中存在困難教學中要讓學生動起來，在比較大小的過程中體會運算的作用不等式性質(zhì)的探究是以兩個實數(shù)大小關系的基本事實為依據(jù)，以梳理等式性質(zhì)中所蘊含的思想方法為前提，以類比等式的基本性質(zhì)為方法展開的學生雖然在初中階段接觸過一些內(nèi)容，然而是運用由特殊到一般的歸納方法得到的，沒能從根源上探索其成立的道理高

6、中階段的等式與不等式的學習強調(diào)邏輯推理，因此學生會有一定的的困難對于等式的基本性質(zhì)學生是熟知的，但對性質(zhì)中所蘊含的思想方法缺乏思考，尤其是體會相等關系自身的特性較為困難教學中采用讓學生對性質(zhì)的特點進行歸類的方法，總結每類性質(zhì)的特點，引導學生從實數(shù)序關系的特性角度體會相等關系自身的特性學生類比等式基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，猜想并證明不等式的基本性質(zhì)存在困難，由于初中時學生學習過不等式的基本性質(zhì)3和性質(zhì)4，而性質(zhì)1和性質(zhì)2學生認為是顯然成立的，學生思維達不到從邏輯推理角度證明性質(zhì)因此，教學中在強調(diào)邏輯推理的重要性的同時，還要強調(diào)兩個實數(shù)比較大小的基本事實和實數(shù)的一些其他事實是證明的依據(jù)學生缺少從

7、代數(shù)角度證明不等式的經(jīng)驗，運用兩個實數(shù)大小關系的基本事實和不等式的性質(zhì)證明一些簡單命題存在一定的困難教學中，要幫助學生進行分析，適當采用問題串的形式引導學生生成證明思路本節(jié)課的教學難點是從實際問題所蘊含的不等關系中抽象出不等式；梳理出等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；類比等式的基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，猜想證明不等式的基本性質(zhì)教學目標：1.會從實際問題所蘊含的不等關系中抽象出不等式2.理解兩個實數(shù)大小關系的基本事實，能運用這個基本事實比較式的大小關系3.運用等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法，類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)4.運用不等式的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明一些常用的不等式

8、性質(zhì)；運用不等式的性質(zhì)證明一些簡單的命題教學過程：（一）從不等關系中抽象不等式問題1：在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系，例如多與少、大與小、長與短、輕與重、不超過或不少于等你能舉例說明生活中的相等關系和不等關系？師生活動：教師根據(jù)學生列舉的例子，從嚴謹性的角度幫助學生梳理語言的表述追問：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？（1）某路段限速；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢査規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應不少于，蛋白質(zhì)的含量應不少于；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短師生活動：學生獨立思考追問中的問題、討

9、論交流教師引導學生梳理討論交流的結果，用不等式表示不等關系的關鍵是確定問題在涉及的量及其滿足的不等關系，然后用未知數(shù)表示量，把不等關系“翻譯”成不等式有時用自然語言表達的不等關系不夠明確，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它們翻譯成大于或小于的關系，再用不等式表示設計意圖：創(chuàng)設運用不等式表示問題的情景，使學生意識到不等式在生活及數(shù)學中的應用，為后面的學習奠定基礎，引導學生將抽象出不等關系用符號語言表達（二）探究兩個實數(shù)大小關系的基本事實問題2：你能用不等式表示并解決下面的問題嗎？某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷

10、售就可能減少2000本如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬？師生活動：學生分析數(shù)量關系，并用不等式表達設提價后每本雜志的定價為元，則銷售總收入為萬元于是，不等關系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為，但不會解不等式與解方程要用等式性質(zhì)一樣，解不等式要用到不等式的性質(zhì)為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì)實際上，在初中階段學生已經(jīng)通過具體實例歸納出了一些不等式的性質(zhì) 追問：那么，這些性質(zhì)為什么是正確的?還有其他不等式的性質(zhì)嗎？ 師生活動：學生獨立思考追問中的問題、討論交流教師指出回答這些問題要用到關于兩個實數(shù)大小關系的基本事實若要研究不等式的性質(zhì)，即由已知不等式得出新的不等式，這樣必

11、然需要比較兩個式子或兩個實數(shù)的大小關系追問：大家來思考如何比較兩個式子或?qū)崝?shù)的大小關系呢？師生活動：學生獨立思考追問中的問題、討論交流思路一：利用實數(shù)的幾何意義，由于數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，所以可以利用數(shù)軸上點的位置關系來規(guī)定實數(shù)的大小關系，如圖2.1-2，思路二：利用兩個式子或?qū)崝?shù)作差，比較差值與0的大小關系，從而得出結論這個基本事實可以表示為：；設計意圖：兩個實數(shù)大小關系的基本事實對學生來說并不陌生，只不過以往沒有提煉出來，此環(huán)節(jié)以問題為載體，由學生自主探究基本事實，這個基本事實把兩個實數(shù)的大小關系轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小關系，實際上就是兩個實數(shù)差的符號，從而使實數(shù)的運算能夠參與到實數(shù)的

12、大小比較中，為不等式的論證提供了運算工具，也為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎 （三）兩個實數(shù)大小關系的基本事實的簡單應用例1：比較和的大小師生活動：學生能夠比較順利利用兩個實數(shù)大小關系的基本事實比較出兩數(shù)大小因為 ，所以 設計意圖：此題是兩個實數(shù)大小關系的基本事實的簡單應用，借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(shù)（式）這是解決不等式問題的常用方法，讓學生再次體會此方法在比較大小中的應用問題3：閱讀教科書第39頁“探究”，你能在圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？ 師生活動：學生獨立思考、討論交流教師指出這個會標實際上就是“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是個小正方形

13、由于大正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，即（設直角三角形的兩條直角邊的長為，）而當直角三角形変為等腰直角三角形，即時，中空部分縮為一個點，這時有相等關系這樣，就引出了基本不等式的一種變形形式追問：你能總結一下與的大小關系嗎？此不等關系中的取值范圍如何？如果，此結論是否仍成立？師生活動：學生總結出，其中是邊長，所以當時，上述結論是否成立的可題，只需比較與的大小關系，即，由兩個實數(shù)大小關系的基本事實，得，當且僅當時等號成立教師強調(diào)此結論是由兩個實數(shù)大小關系的基本事實得到一類重要的不等式設計意圖：此探究問題的設計，作為相等關系和不等關系的總結，也為引出基本不等式做了鋪墊在推導過程中通過教師引導

14、，學生從獨立想象，并能夠由“形”到“數(shù)”的逐步提煉出不等關系，通過再次追問，讓學生經(jīng)歷猜想并證明不等式的一般過程，為不等式性質(zhì)和基本不等式的學習奠定基礎（四）復習等式性質(zhì)，梳理思想方法關于兩個實數(shù)大小關系的基本事實為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎那么不等式到底有哪些性質(zhì)呢?要研究不等式的性質(zhì)，我們可以從等式的性質(zhì)及其蘊含的思想方法中獲得啟發(fā)問題4：請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性你能歸納一些發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？師生活動：學生獨立思考、討論交流并給出答案教師進行總結、歸納、補充并板書出等式的性質(zhì)這其中性質(zhì)3，4，5是學生比較熟悉的，但對于性質(zhì)1，2只有很少學生能回答出來，教師指出性質(zhì)

15、1，2反映了相等關系自身的特性，由于它們太明顯了，是相等關系本身蘊含的性質(zhì)，反而容易被忽略學生在教師引導下可以歸納出性質(zhì)3，4，5是從運算角度提出的，即等式兩邊加、減，乘，除同一個數(shù)，等式仍然成立教師指出，這三條性質(zhì)反映了相等關系在運算中保持不変性的特點設計意圖：通過以上問題，讓學生在梳理并觀察等式的基本性質(zhì)的基礎上認識到，這些性質(zhì)包括在數(shù)學推理和運算中經(jīng)常用到的“對稱性”和“傳遞性”，還包括解方程所需要的等式對四則運算的不變性，而這兩個方面反映了“式的大小關系”的本質(zhì)屬性，這些基本屬性為探究不等式的基本性質(zhì)指明了方向 （五）通過類比，探究不等式的性質(zhì)問題5：類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式

16、的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？師生活動：學生獨立思考、討論交流后得出：不等式的基本性質(zhì)可從不等式的自身特性和運算兩個角度來研究，教師進行總結、歸納、補充并板書出不等式的基本性質(zhì)1，2，3，4學生在猜想不等式的基本性質(zhì)的過程中會發(fā)現(xiàn)，不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)存在差異：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“對稱性”，而是具有“相反性”，即，；就不等式與四則運算的關系而言，當乘一個負數(shù)時，不等號要調(diào)換方向，即不等式的這種特殊性是由實數(shù)的基本性質(zhì)決定的在對不等式進行論證時，除了要用到實數(shù)大小關系的基本事實，還需要用到關于實數(shù)的其他一些基本事實，例如： （1）正數(shù)大于0，也大于一切負數(shù)；負數(shù)小于0，

17、也小于一切正數(shù) （2）正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù) （3）兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，兩個負數(shù)的和仍是負數(shù) （4）同號兩數(shù)相乘，其積為正數(shù)；異號兩數(shù)相乘，其積為負數(shù)利用這些基本事實，可以對猜想出的不等式的基本性質(zhì)進行證明例如，性質(zhì)2的證明可由，繼而得到性質(zhì)3的證明中學生能夠分析出要證明，只需證明與0的大小關系，也就是與0的大小關系，得出如下證明：由，得，所以，即追問：用文字語言怎樣表達此性質(zhì)？兩個實數(shù)大小關系還可以形象地在數(shù)軸上表達出來，你能從幾何意義的角度對這個性質(zhì)進行解釋嗎？師生活動：學生用文字語言表達，即不等式的兩邊都加同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向通過教師課件展示，的變化，學

18、生體會此性質(zhì)的幾何意義，并注意到可用運動方向表達實數(shù)的正負教師強調(diào)，幾何語言的表達具有“直觀”的特點，建議學生經(jīng)常從幾何視角發(fā)現(xiàn)或解釋一些代數(shù)問題，能實現(xiàn)更直觀地認識問題，更深刻地理解問題 設計意圖：對同一個概念從不同的角度來表述，有利于揭示概念的本質(zhì)不等式是用不等號連接起來的式子，有的不等式的內(nèi)涵是比較抽象的，為了幫助學生理解和掌握不等式的本質(zhì)，用文字語言、圖形語言等多種形式來表達重點的不等式的性質(zhì)，有助于對問題的深入理解追問：利用以上不等式的基本性質(zhì)，我們還可以推導出不等式的其它一些性質(zhì)嗎？師生活動：由性質(zhì)3學生得到猜想“大數(shù)加大數(shù)大于小數(shù)加小數(shù)”，即“如果，那么”學生分析證明方法，若要證

19、只需證，由已知，由“正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)”這一基本事實，猜想得證教師評價，此證明是基于兩個實數(shù)大小關系的基本事實和實數(shù)的一些基本事實證明的，這是證明不等式的根本大法，在證明不等關系時起到重要作用追問：在基本性質(zhì)4中，不等式的兩邊同乘同實數(shù)如果同乘不同的實數(shù)，你有何結論？師生活動：學生獨立思考、討論交流得出：兩邊同乘負數(shù)不等號要変方向，所以此問題中，乘法不一定具備“保號性”同時，學生與性質(zhì)4進行對比，發(fā)現(xiàn)對于正數(shù)乘法是具有“保號性”的教師指出此性質(zhì)為不等式性質(zhì)6，即“如果，那么”追問：如果性質(zhì)6中，你有何新的結論？師生活動：學生獨立思考、討論交流得出“如果，那么”，并能推廣到“如果，那么”教師指出這

20、是不等式的性質(zhì)7，它是性質(zhì)6的特例設計意圖：證明以上性質(zhì)的過程可以看作不等式的性質(zhì)在代數(shù)證明中的初步應用，通過不等式性質(zhì)的推導，讓學生經(jīng)歷“猜想證明修正再證明得出性質(zhì)理解”的研究數(shù)學問題的過程 （六）不等式性質(zhì)的簡單應用 例2 已知，求證師生活動：學生獨立思考得出分析：要證明，因為，所以可以先證明利用已知和性質(zhì)3，即可證明設計意圖：通過本題向?qū)W生示范了應用不等式的性質(zhì)證明命題的一般思路對于有些不等式的證明，要在“分析”中給出了證明的一般思路：從結論出發(fā)，結合已知條件，尋求使當前命題成立的充分條件，而這個充分條件是容易由已知條件證明的，這實際上是綜合運用“綜合法”和“分析法”此外，通過本例引導學生領會這種“發(fā)展條件、轉(zhuǎn)化結論、尋求聯(lián)系”的證明較復雜命題的一般思路 （七）單元小結 教師引導學生回顧本單元所學知識，并引導學生回答下面的問題： （1）本單元我們研究了兩個實數(shù)大小關系的基本事實，這個基本事實在研究不等式時有什么