全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽輔導(dǎo)

1、2021/3/131 奧賽典型例題奧賽典型例題 分析分析(靜力學(xué)靜力學(xué)) 2021/3/132 靜靜 力力 學(xué)學(xué) 1.如圖如圖1所示所示,長(zhǎng)為長(zhǎng)為2m 的勻質(zhì)桿的勻質(zhì)桿AB的的A端端 用細(xì)線用細(xì)線AD拉住拉住,固定固定 于墻上于墻上D處處,桿的桿的B端端 擱于光滑墻壁上擱于光滑墻壁上,DB 1m,若桿能平衡若桿能平衡,試試 求細(xì)線求細(xì)線AD的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. 圖圖1 A B D 2021/3/133 2.如圖如圖2所示所示,放在水平地放在水平地 面上的兩個(gè)圓柱體相互接面上的兩個(gè)圓柱體相互接 觸觸,大、小圓柱的半徑分大、小圓柱的半徑分 別為別為R和和r,大圓柱體上纏大圓柱體上纏 有繩子有繩子,現(xiàn)通過(guò)

2、繩子對(duì)大現(xiàn)通過(guò)繩子對(duì)大 圓柱體施加一水平力圓柱體施加一水平力F,設(shè)設(shè) 各接觸處的靜摩擦因數(shù)都各接觸處的靜摩擦因數(shù)都 是是,為使大圓柱體能翻過(guò)為使大圓柱體能翻過(guò) 小圓柱體小圓柱體,問(wèn)問(wèn)應(yīng)滿足什么應(yīng)滿足什么 條件條件? F A 圖圖2 2021/3/134 3.如圖如圖3所示所示,三個(gè)完全一三個(gè)完全一 樣的小球樣的小球,重量均為重量均為G,半半 徑為徑為 R10cm,勻質(zhì)木勻質(zhì)木 板板AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為l=100cm,重量重量 為為2G,板端板端A用光滑鉸鏈用光滑鉸鏈 固定在墻壁上固定在墻壁上,板板B端用端用 水平細(xì)線水平細(xì)線BC拉住拉住,設(shè)各接設(shè)各接 觸處均無(wú)摩擦觸處均無(wú)摩擦,試求水平試求水平 細(xì)線中

3、的張力細(xì)線中的張力. 圖圖3 B A 30 C 2021/3/135 4.如圖如圖4所示所示,一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為L(zhǎng) 的輕梯靠在墻上的輕梯靠在墻上,梯與梯與 豎直墻壁的夾角為豎直墻壁的夾角為, 梯與地面梯與地面,梯與墻壁之梯與墻壁之 間的摩擦系數(shù)都是間的摩擦系數(shù)都是, 一重為一重為G的人沿梯而的人沿梯而 上上,問(wèn)這人離梯下端的問(wèn)這人離梯下端的 距離距離d最大是多少時(shí)梯最大是多少時(shí)梯 仍能保持平衡仍能保持平衡? B A 圖圖4 2021/3/136 C A B 圖圖5 5.如圖如圖5所示，一長(zhǎng)為所示，一長(zhǎng)為l重為重為 W0的均勻水平桿的均勻水平桿AB的的A端端 頂在豎直粗糙的墻壁上，桿頂在豎直粗糙的墻壁

4、上，桿 端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為 ，B端用一強(qiáng)度足夠而不可端用一強(qiáng)度足夠而不可 伸長(zhǎng)的繩子懸掛，繩的另一伸長(zhǎng)的繩子懸掛，繩的另一端固定在墻壁的端固定在墻壁的 C點(diǎn)，繩與桿的夾角為點(diǎn)，繩與桿的夾角為，(1)求能保持平衡時(shí)求能保持平衡時(shí) ，與與滿足的條件；滿足的條件；(2)桿平衡時(shí)，桿上有一桿平衡時(shí)，桿上有一 點(diǎn)點(diǎn)P存在，若在存在，若在A點(diǎn)與點(diǎn)與P點(diǎn)間任一點(diǎn)懸掛一重點(diǎn)間任一點(diǎn)懸掛一重 物，則當(dāng)重物的重量物，則當(dāng)重物的重量W足夠大時(shí)總可以使平足夠大時(shí)總可以使平 衡破壞，而在衡破壞，而在P點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)之間任一點(diǎn)懸掛任意點(diǎn)之間任一點(diǎn)懸掛任意 重的重物，都不可能使平衡破壞，求出這一重的

5、重物，都不可能使平衡破壞，求出這一P 點(diǎn)與點(diǎn)與A點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離. 2021/3/137 6. 半徑為半徑為r,質(zhì)量為質(zhì)量為m 的三個(gè)相同的球放在水平的三個(gè)相同的球放在水平 桌面上桌面上,兩兩相互接觸兩兩相互接觸,用一個(gè)高為用一個(gè)高為1.5r 的圓柱的圓柱 形圓筒（上下均無(wú)底）將此三個(gè)球套在筒內(nèi)形圓筒（上下均無(wú)底）將此三個(gè)球套在筒內(nèi),圓圓 筒的半徑取適當(dāng)?shù)闹低驳陌霃饺∵m當(dāng)?shù)闹?使得各球間以及球與圓筒使得各球間以及球與圓筒 壁之間均保持無(wú)形變接觸壁之間均保持無(wú)形變接觸. 現(xiàn)取一質(zhì)量也為現(xiàn)取一質(zhì)量也為m、 半徑為半徑為R的第四個(gè)球的第四個(gè)球,放在三球的上方正中放在三球的上方正中,設(shè)第設(shè)第 四個(gè)球的

6、表面、圓筒的內(nèi)壁表面均由相同的材四個(gè)球的表面、圓筒的內(nèi)壁表面均由相同的材 料構(gòu)成料構(gòu)成,其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)為其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)為,問(wèn)問(wèn)R取取 何值時(shí)何值時(shí),用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個(gè)用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個(gè) 球也一起提起來(lái)球也一起提起來(lái)? 2021/3/138 7. 如圖如圖6所示所示,邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a的均勻立方體對(duì)稱的均勻立方體對(duì)稱 地放在一個(gè)半徑為地放在一個(gè)半徑為r的半圓柱面頂部的半圓柱面頂部,假設(shè)假設(shè) 靜摩擦力足夠大靜摩擦力足夠大,足以阻止立方體下滑足以阻止立方體下滑,試試 證明這立方體穩(wěn)定平衡的條件是證明這立方體穩(wěn)定平衡的條件是: 2 a r 圖6 20

7、21/3/139 8. 如圖如圖7所示所示,質(zhì)量一樣的兩個(gè)小木塊由一根質(zhì)量一樣的兩個(gè)小木塊由一根 不可伸長(zhǎng)的輕繩相連放在傾角為不可伸長(zhǎng)的輕繩相連放在傾角為 的斜面上的斜面上,兩兩 木塊與斜面之間的靜摩擦系數(shù)分別為木塊與斜面之間的靜摩擦系數(shù)分別為 1和和 2, 且且 1 2 , tan ,求繩子與斜面上最大求繩子與斜面上最大 傾斜線傾斜線AB之間的夾角之間的夾角 應(yīng)滿足什么條件應(yīng)滿足什么條件,兩木兩木 塊才能在斜面保持靜止塊才能在斜面保持靜止? 21 圖圖7 B 1 2 A 2021/3/1310 9. 長(zhǎng)方形風(fēng)箏如圖長(zhǎng)方形風(fēng)箏如圖8所示所示,其寬度其寬度a40cm,長(zhǎng)度長(zhǎng)度b40cm,質(zhì)量質(zhì)量

8、M 200g（其中包括以細(xì)繩吊掛的紙球（其中包括以細(xì)繩吊掛的紙球“尾巴尾巴”的質(zhì)量的質(zhì)量M20g,紙球紙球 可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)）可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)）,AO、BO、CO為三根綁繩為三根綁繩,AO=BO,C為底邊的中點(diǎn)為底邊的中點(diǎn), 綁繩以及放風(fēng)箏的牽繩均不可伸縮綁繩以及放風(fēng)箏的牽繩均不可伸縮,質(zhì)量不計(jì)質(zhì)量不計(jì),放風(fēng)箏時(shí)放風(fēng)箏時(shí),設(shè)地面的風(fēng)設(shè)地面的風(fēng) 速為零速為零,牽繩保持水平拉緊狀態(tài)牽繩保持水平拉緊狀態(tài),且放風(fēng)箏者以速度且放風(fēng)箏者以速度v持牽繩奔跑持牽繩奔跑,風(fēng)風(fēng) 箏單位面積可受空氣作用力垂直于風(fēng)箏表面箏單位面積可受空氣作用力垂直于風(fēng)箏表面,量值為量值為p kvsin ,k=8Ns/m3, 為風(fēng)箏平面與水平面的

9、夾角為風(fēng)箏平面與水平面的夾角,風(fēng)箏表面為光滑平風(fēng)箏表面為光滑平 面面,各處所受空氣作用力近似認(rèn)為相等各處所受空氣作用力近似認(rèn)為相等,取取g= 10m/s2,放放 飛場(chǎng)地為足夠大的水平地面飛場(chǎng)地為足夠大的水平地面,試求試求: (1)放風(fēng)箏者至少應(yīng)以多大的速度持牽繩奔跑放風(fēng)箏者至少應(yīng)以多大的速度持牽繩奔跑 ,風(fēng)箏才能作水平飛行風(fēng)箏才能作水平飛行?這時(shí)風(fēng)箏面與水平面這時(shí)風(fēng)箏面與水平面 的夾角應(yīng)為何值的夾角應(yīng)為何值?假設(shè)通過(guò)調(diào)整綁繩長(zhǎng)度可假設(shè)通過(guò)調(diào)整綁繩長(zhǎng)度可 使風(fēng)箏面與水平面成任意角度使風(fēng)箏面與水平面成任意角度 . (2)若放風(fēng)若放風(fēng) 箏者持牽繩奔跑速度為箏者持牽繩奔跑速度為v=3m/s,調(diào)整綁繩調(diào)

10、整綁繩CO 的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度等于b,為使風(fēng)箏能水平穩(wěn)定飛行為使風(fēng)箏能水平穩(wěn)定飛行,AO 與與BO的長(zhǎng)度應(yīng)等于多少的長(zhǎng)度應(yīng)等于多少? D A B C a b O 圖圖8 M 2021/3/1311 10. 有一半徑為有一半徑為R的圓柱體的圓柱體A,靜靜 止在水平地面上止在水平地面上,并與豎直墻壁并與豎直墻壁 相接觸相接觸,現(xiàn)有另一質(zhì)量與現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同、相同、 半徑為半徑為r的較細(xì)圓柱體的較細(xì)圓柱體B,用手扶用手扶 著圓柱著圓柱A,將將B放在放在A的上面的上面,并使并使 之與豎直墻壁接觸之與豎直墻壁接觸,如圖如圖10所示所示, 然后放手然后放手.已知圓柱已知圓柱A與地面的摩與地面的摩 擦系數(shù)

11、為擦系數(shù)為0.20,兩圓柱之間的靜兩圓柱之間的靜 摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為0.30,若放手后兩圓若放手后兩圓 柱能保持圖示的平衡柱能保持圖示的平衡,問(wèn)圓柱問(wèn)圓柱B與與 墻壁的靜摩擦系數(shù)和圓柱墻壁的靜摩擦系數(shù)和圓柱B的半的半 徑徑r的值各應(yīng)滿足什么條件的值各應(yīng)滿足什么條件? 圖圖10 A B 2021/3/1312 例例1 1 解解: : 圖圖1 A B D 1m 以桿為研究對(duì)象以桿為研究對(duì)象,作出其受力圖（如圖）作出其受力圖（如圖）. 由于桿處于平衡狀態(tài)由于桿處于平衡狀態(tài),所以它所受的三所以它所受的三 個(gè)力的作用線必相交于個(gè)力的作用線必相交于AD線上的同一線上的同一 點(diǎn)點(diǎn)O. 由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)

12、系得 )(3 2 1 5 . 01 ) 2 ( 2 2222 m BD BCOCBCOB )(71 4 3 2 22 22 m BDOBODAD G N C T O 2021/3/1313 例例2 2 解解: : F A 圖圖1 系統(tǒng)的受力情況如圖所示系統(tǒng)的受力情況如圖所示. (1)由于小圓柱既不滑動(dòng)由于小圓柱既不滑動(dòng),也不滾動(dòng)也不滾動(dòng),而而 大圓柱在小圓柱上作無(wú)滑滾動(dòng)大圓柱在小圓柱上作無(wú)滑滾動(dòng),故故B、 C兩處都必定有靜摩擦力作用兩處都必定有靜摩擦力作用. (2)大圓柱剛離開(kāi)地面時(shí)，它受三個(gè)大圓柱剛離開(kāi)地面時(shí)，它受三個(gè) 力作用：拉力力作用：拉力F，重力，重力G1，小圓柱對(duì)，小圓柱對(duì) 它的作用

13、力它的作用力R1.由于這三個(gè)力平衡，由于這三個(gè)力平衡， 所以它們的作用線必相交于一點(diǎn)所以它們的作用線必相交于一點(diǎn),這這 點(diǎn)就是點(diǎn)就是A點(diǎn)點(diǎn).角不大于最大摩擦角角不大于最大摩擦角 m (3)由于小圓柱受力平衡由于小圓柱受力平衡,所以它所受的三個(gè)所以它所受的三個(gè) 力作用力作用:重力重力G2,大圓柱對(duì)它的作用力大圓柱對(duì)它的作用力R1,地面地面 對(duì)它的作用力對(duì)它的作用力R2必組成一個(gè)閉合三角形必組成一個(gè)閉合三角形. 1 tan m 即有即有 BD C O1 O2 G1 G2 R1R2 R1 2021/3/1314 1 tan m G2 R2 R1 圖圖2 如圖如圖2所示所示,同樣應(yīng)該有同樣應(yīng)該有 1

14、tan m 所以由上面三式得所以由上面三式得 1 tan m 由圖由圖2 知知 由圖由圖1得得 RrrRrRBD4)()( 2222 所以所以 R r R Rr AD BD 2 4 tan 于是于是 R r BD C O1 O2 G1 G2 R1R2 R1 F A 圖圖1 2021/3/1315 例例3 3 解解: : 圖圖1 B A 30 C 首先，把三個(gè)球?yàn)檎w作首先，把三個(gè)球?yàn)檎w作 為研究對(duì)象，其受力情況如圖為研究對(duì)象，其受力情況如圖2所所 示示,三力作用線必共點(diǎn)三力作用線必共點(diǎn). 由平衡條件得由平衡條件得 GN330cos 1 30sinNN 對(duì)對(duì)O2軸軸: NxRN30sin2 1

15、 由以上三式可解得由以上三式可解得 ,32GN 2 R x N N1 3G 圖圖2 D O2x O1 E A B 2021/3/1316 ,32GN 2 R x AB板受力情況如圖板受力情況如圖3所示所示, E A B T N 2G C板 板 D NAx NAy 圖圖3 RRAE330cot 2 3 2 R xRED N N1 3G 圖圖2 D O2x O1 E A B REDAEAD) 2 3 3( RcmABAC550 2 1 板 2021/3/1317 E A B T N 2G C板 板 D NAx NAy 圖圖3 2 3R ED RAD) 2 3 3( RAC5 板 RAE3 對(duì)對(duì)A軸

16、有軸有 30sin30cos2ABTACGADN 板 可解得可解得 GT)343( 5 2 2021/3/1318 例例4 4 解解: : B A 圖圖1 平衡時(shí)，梯與人組成的系統(tǒng)的平衡時(shí)，梯與人組成的系統(tǒng)的 受力情況如圖受力情況如圖2所示所示 .三力的作用線必相三力的作用線必相 交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)C，而且，而且RA，RB與法線的夾角與法線的夾角 必不大于最大靜摩擦角必不大于最大靜摩擦角 . m 臨界平衡時(shí)臨界平衡時(shí),在在BCD和和ACD中利中利 用正弦定理可得用正弦定理可得 BD BCD CD CBD sinsin AD ACD CD CAD sinsin A B D C m m RA RB

17、G d m 圖圖2 2021/3/1319 即即 BDCD mm )90sin()90sin( A B D C m m RA RB G d m 圖圖2 ADCD mm sin)sin( 又又 m tan 由以上三式可解得由以上三式可解得 )cot( 1 2 max l dAD 2021/3/1320 C A B 圖圖1 例例5 5 解解: : (1)AB桿受力情況如圖桿受力情況如圖 所示，三力的作用線必相交于所示，三力的作用線必相交于BC 繩上的一點(diǎn)繩上的一點(diǎn)O. TR W0 O O1 因?yàn)橐驗(yàn)閃0的作用點(diǎn)的作用點(diǎn)O1是是AB的中的中 點(diǎn)，故必有點(diǎn)，故必有 ，而，而A端不滑動(dòng)端不滑動(dòng) 的條件是

18、的條件是 m tantan 即即tan (2)桿平衡時(shí)，再在桿平衡時(shí)，再在AB間掛上重物間掛上重物W，靜摩擦角，靜摩擦角 必必 發(fā)生變化，若發(fā)生變化，若W掛在掛在O1點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)之間，點(diǎn)之間，W+W0的作用的作用 點(diǎn)在點(diǎn)在O1點(diǎn)的右側(cè)，此時(shí)點(diǎn)的右側(cè)，此時(shí) 角減少，平衡不會(huì)受破壞角減少，平衡不會(huì)受破壞. 2021/3/1321 TR W0 O O1 C A B 圖圖1 當(dāng)當(dāng)WW0時(shí)時(shí),W+W0W,這時(shí)這時(shí) W+W0的作用點(diǎn)的作用點(diǎn)P可以認(rèn)為就是可以認(rèn)為就是W 的作用點(diǎn)的作用點(diǎn) .要使桿仍能保持平衡要使桿仍能保持平衡, 必須滿足必須滿足 m tantan 由圖由圖2可見(jiàn)可見(jiàn) AP APl AP P

19、O tan)( tan 2 C A B 圖圖2 TR W+W0W P O2 由以上兩式可解得由以上兩式可解得 cot1 l AP 若重物若重物W掛在掛在A點(diǎn)與點(diǎn)與O1點(diǎn)之間點(diǎn)之間 ，則，則W+W0的作用點(diǎn)的作用點(diǎn)P在在O1的左側(cè)的左側(cè) ， m 增大增大 . 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 平衡就被平衡就被 破壞破壞. 2021/3/1322 例例6 6 解解: : rr O O1 O2 O3 圖圖1 由圖由圖1可見(jiàn)可見(jiàn), rOO 3 32 1 圖圖2為球?yàn)榍?的受力圖的受力圖. 當(dāng)豎直向上提起圓筒時(shí)當(dāng)豎直向上提起圓筒時(shí),能把能把4個(gè)球個(gè)球 一起提起一起提起,下面兩式應(yīng)得到滿足下面兩式應(yīng)得到滿足 ) 1 ( 1

20、1 NF )2( 22 NF 圖圖2 R r N2 mg F1 A L L O O1 O4 F2 N1 C B 否則上、下球之間及球與筒壁之間會(huì)否則上、下球之間及球與筒壁之間會(huì) 發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng). 以球以球1為研究對(duì)象為研究對(duì)象,取取O1為軸為軸,由力矩平由力矩平 衡條件易得衡條件易得 )3( 21 FF 2021/3/1323 圖圖2 R r N2 mg F1 A L L O O1 O4 F2 N1 C B ) 1 ( 11 NF)2( 22 NF)3( 21 FF 以圖以圖2中的中的A為軸為軸,可得可得 )4( 12 LNmgrLN 由此式易知由此式易知,N1 N2 ,所以只要所以

21、只要(2)式式 得到滿足得到滿足,(1)式就自然得到滿足式就自然得到滿足. 又以圖又以圖2中的中的B為軸為軸,可得可得 )5()cos(sin 22 rrFmgrrN 再以再以4個(gè)球?yàn)檎w作為研究對(duì)象個(gè)球?yàn)檎w作為研究對(duì)象,有有 )6(43 1 mgF 2021/3/1324 ) 1 ( 11 NF)2( 22 NF)3( 21 FF )4( 12 LNmgrLN )5()cos(sin 22 rrFmgrrN )6(43 1 mgF 圖圖2 R r N2 mg F1 A L L O O1 O4 F2 N1 C B 由由(3)、(5)、(6)式可得式可得 cos41 sin4 2 2 N F

22、再結(jié)合再結(jié)合(2)式可得式可得 15 3 cos41 sin4 兩邊平方兩邊平方,整理后可得整理后可得 077cos24cos128 2 2021/3/1325 15 3 cos41 sin4 077cos24cos128 2 由此可解得由此可解得 16 11 cos 8 7 cos（另一解（另一解 舍去）舍去） 設(shè)設(shè) Rnr ,由圖由圖2的幾何關(guān)系可得的幾何關(guān)系可得 圖圖2 R r N2 mg F1 A L L O O1 O4 F2 N1 C B )1 (3 32 )1 ( 3 32 cos 41 1 nrn r OO OO 所以所以 1 33 332 1 cos3 32 n 2021/3/

23、1326 rr O O1 O2 O3 圖圖1 1 33 332 1 cos3 32 n 故故rrnrR68. 0) 1 33 332 ( 又為使第又為使第4個(gè)球不至于從下面三個(gè)球中間掉下個(gè)球不至于從下面三個(gè)球中間掉下,因此須因此須 rrrOOR15. 0) 1 3 32 ( 1 結(jié)合上面兩式可知第結(jié)合上面兩式可知第4個(gè)球的半徑必須滿足下式個(gè)球的半徑必須滿足下式 rRr) 1 33 332 () 1 3 32 ( 2021/3/1327 例例7 7 解解: : 方法方法1（回復(fù)力矩法）（回復(fù)力矩法） 如圖如圖1所示所示,當(dāng)立方體偏離一個(gè)很小當(dāng)立方體偏離一個(gè)很小 的角度的角度時(shí)時(shí),它沿圓柱體無(wú)滑滾

24、動(dòng)地它沿圓柱體無(wú)滑滾動(dòng)地 使接觸點(diǎn)從使接觸點(diǎn)從B移到移到D,如圖可見(jiàn)如圖可見(jiàn) rBD 2 tan 2 aa AD 圖圖1 O A B C D E F N r 因?yàn)橐驗(yàn)锳DBD 故故) 1 ( 2 a r 顯然，當(dāng)重心顯然，當(dāng)重心C在過(guò)在過(guò)D點(diǎn)的豎直線的左方時(shí)，重力矩點(diǎn)的豎直線的左方時(shí)，重力矩 會(huì)使立方體恢復(fù)到原來(lái)位置會(huì)使立方體恢復(fù)到原來(lái)位置.此時(shí)應(yīng)有此時(shí)應(yīng)有AED 因?yàn)橐驗(yàn)镹DO(平行線內(nèi)錯(cuò)角相等平行線內(nèi)錯(cuò)角相等) ADENDF(對(duì)頂角相等對(duì)頂角相等) 90ODFEAD 所以所以NDOAED 2021/3/1328 圖圖1 O A B C D E F N r ) 1 ( 2 a rNDOAED

25、 所以所以 于是據(jù)于是據(jù)(1)式可得式可得 2 a r 2021/3/1329 方法方法2（能量法）（能量法） 如圖如圖2所示所示,C是立方體的重心是立方體的重心,立方體在立方體在 圓柱體上偏離了一個(gè)很小的角度圓柱體上偏離了一個(gè)很小的角度. 由圖由圖2易得易得ACQ sincos 2 AP a PECQh O A B C D Q h 圖圖2 P E 原來(lái)重心原來(lái)重心C（離圓柱體頂點(diǎn)）的高（離圓柱體頂點(diǎn)）的高 度為度為a/2,偏離后重心偏離后重心C 的高度為的高度為h: AP a AP a ) 2 1 ( 2 sin) 2 sin21 ( 2 2 2 因?yàn)橐驗(yàn)閞ODOB故故 22 tan r O

26、DPD 而而rBDAD即即rPDAP 2021/3/1330 ,) 2 1 ( 2 2 AP a hrPDAP O A B C D Q h 圖圖2 P E 于是于是 22 rr rPDrAP , 2 r PD 那么那么 242 22 raa h 要使立方體處于穩(wěn)定平衡要使立方體處于穩(wěn)定平衡,必須滿足必須滿足 后來(lái)的勢(shì)能大于原來(lái)的勢(shì)能后來(lái)的勢(shì)能大于原來(lái)的勢(shì)能,即即 2 a mgmgh 即即 2242 22 araa 由此得由此得 2 a r 2021/3/1331 例例8 8 解解: : 圖圖1 B 1 2 A 設(shè)兩個(gè)小木塊重都為設(shè)兩個(gè)小木塊重都為G，因?yàn)椋驗(yàn)?1 2 , , 故故 21 ta

27、n tan,tan 21 則表明木塊則表明木塊1可以單獨(dú)在斜面上保持靜止可以單獨(dú)在斜面上保持靜止,而木塊而木塊2不不 能單獨(dú)在斜面上保持靜止能單獨(dú)在斜面上保持靜止.現(xiàn)兩木塊用輕繩連接現(xiàn)兩木塊用輕繩連接,當(dāng)木當(dāng)木 塊塊1在高處且繩子平行在高處且繩子平行AB時(shí)時(shí),因最大靜摩擦力因最大靜摩擦力 sin2cos2 cos)(coscos 21 2121 GG GGG 這表明系統(tǒng)能在斜面保持靜止這表明系統(tǒng)能在斜面保持靜止 . 當(dāng)繩子與當(dāng)繩子與AB線的夾角為線的夾角為 且系統(tǒng)能靜止且系統(tǒng)能靜止,為使為使最大最大,應(yīng)有木塊應(yīng)有木塊1所受靜摩擦力不大所受靜摩擦力不大 于其最大靜摩擦力于其最大靜摩擦力.設(shè)此時(shí)繩

28、子的拉力為設(shè)此時(shí)繩子的拉力為T(mén),木塊木塊1、木塊、木塊2 的受力情況如圖的受力情況如圖2所示所示. 2021/3/1332 圖圖1 B 1 2 A 1 2 T T f1 Gsin Gsin 2Gcos 圖圖2 A B 由于木塊由于木塊2處于平衡處于平衡,所以它所受的三所以它所受的三 個(gè)力組成一個(gè)閉合三角形個(gè)力組成一個(gè)閉合三角形.故故 )1(coscossin2sin 222 2 222 GTGGT 要使要使T有實(shí)數(shù)解有實(shí)數(shù)解,應(yīng)有應(yīng)有 0)cossin(4)cossin2( 222 2 222 GGG 因?yàn)橐驗(yàn)?21 tan 由以上兩式可解得由以上兩式可解得 1 2 sin 2021/3/13

29、33 )1(coscossin2sin 222 2 222 GTGGT 1 2 T T f1 Gsin Gsin 2Gcos 圖圖2 A B 方程方程(1)的解為的解為 )2()cossincos(sin 2 21 2 2 GT （本來(lái)方程有兩個(gè)解（本來(lái)方程有兩個(gè)解,但結(jié)合木塊但結(jié)合木塊1的力三角的力三角 形及形及f11Gcos,可知只能取根號(hào)前是負(fù)號(hào)可知只能取根號(hào)前是負(fù)號(hào) 的這一個(gè)解）的這一個(gè)解） 由于由于tan2,所以所以G sin2Gcos Gsin T 2Gcos 圖圖3 由圖由圖3易知易知,當(dāng)當(dāng)T2Gcos時(shí)時(shí) ,取最大值取最大值. 此時(shí)此時(shí) 1 22 sin cos sin G G

30、 m 2021/3/1334 1 2 T T f1 Gsin Gsin 2Gcos 圖圖2 A B 21 212 1 )( cossin GGT m 由圖由圖3易得木塊易得木塊1所受的靜摩擦力為所受的靜摩擦力為 22 1 )sinsin()cossin(GGTf T Gsin f1 圖圖3 為了木塊為了木塊1能靜止能靜止,f1必須滿足必須滿足 cos 11 Gf 由以上三式可得由以上三式可得)3(3 21 這表明當(dāng)這表明當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的最大值可取的最大值可取 21 3 )4(sin 2 21 m 2021/3/1335 1 2 T T f1 Gsin Gsin 2Gcos 圖圖2 A B 但當(dāng)

31、但當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的最大值的最大值 不能取上述值不能取上述值. 即此時(shí)即此時(shí)T與與 不垂直，為使此時(shí)不垂直，為使此時(shí) 取最大值，木取最大值，木 塊塊1和木塊和木塊2均應(yīng)受最大靜摩擦力均應(yīng)受最大靜摩擦力. 212 3 cos 2G 對(duì)木塊對(duì)木塊1,由平衡條件得（由平衡條件得（注意注意:此此 時(shí)圖時(shí)圖3中的中的f1取最大靜摩擦力取最大靜摩擦力, 取最大值取最大值 m） m TGTGGcossin2)sin()cos( 222 1 對(duì)木塊對(duì)木塊2,由平衡條件得由平衡條件得 m TGTGGcossin2)sin()cos( 222 2 T Gsin f1 圖圖3 由這兩式可解得由這兩式可解得 2021/

32、3/1336 cos)( 2 2 21 GT 圖圖1 B 1 2 A 21 211 4 )(2 cos m 綜上所述得綜上所述得 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的最大值為的最大值為21 3 2 21 sin m 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的最大值為的最大值為 212 3 21 211 4 )(2 cos m ( 或或 ) 21 2 211 8 )( 1sin m 2021/3/1337 例例9 9 解解: : D A B C a b O 圖圖1 M (1)設(shè)人以速度設(shè)人以速度v0持牽繩奔跑時(shí)持牽繩奔跑時(shí) ， 風(fēng)箏恰好能平行地面飛行，此時(shí)牽繩平風(fēng)箏恰好能平行地面飛行，此時(shí)牽繩平 行地面，設(shè)此時(shí)風(fēng)箏表面與地面的夾角行地面

33、，設(shè)此時(shí)風(fēng)箏表面與地面的夾角 為為，如圖，如圖2所示所示. O C D v0 圖圖2 sin 0ab kvF 其豎直分量其豎直分量Fy應(yīng)與風(fēng)箏重力平衡應(yīng)與風(fēng)箏重力平衡 MgFcos 即即Mgabkvcossin 0 當(dāng)當(dāng)45時(shí)，時(shí)， 有極大值有極大值1/2，此時(shí)，此時(shí)v0取極小值取極小值v0min. 2sin 2 1 cossin 風(fēng)箏受力如圖所示風(fēng)箏受力如圖所示,其其 中中F為風(fēng)力為風(fēng)力. g M gMM)( F x F y F )/(5 . 2 2 min0 sm kab Mg v 2021/3/1338 (2)重新調(diào)節(jié)綁繩長(zhǎng)度后，放飛重新調(diào)節(jié)綁繩長(zhǎng)度后，放飛 者使?fàn)坷K平行于地面以者使?fàn)坷K

34、平行于地面以v =3m/s的的 速度奔跑，設(shè)此時(shí)風(fēng)箏能保持水平速度奔跑，設(shè)此時(shí)風(fēng)箏能保持水平 飛行，則飛行，則 Mgkvabcossin 所以所以8333. 0 6 52 2sin kvab Mg 故故 6 .1234 .562或 于是于是 8 .61,2 .28 21 因?yàn)轱L(fēng)箏在水平方向受力平衡因?yàn)轱L(fēng)箏在水平方向受力平衡,所以風(fēng)箏所受總的所以風(fēng)箏所受總的 水平拉力為水平拉力為 2 sinkvabFT x M g M O OT C D r r b b 圖圖3 v 2021/3/1339 b 2 sinkvabFT x 分別代入分別代入8 .61,2 .28 21 得得 NTNT73. 3,07

35、. 1 21 M g M O OT C D r r b b 圖圖3 v 自自O(shè)點(diǎn)至點(diǎn)至AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)D,連接一緊繩連接一緊繩OD,替替 代代AO和和BO,如圖如圖3所示所示. cos 2 1 gbMrT 則牽繩拉力則牽繩拉力T和紙球重力對(duì)風(fēng)箏紙面中心和紙球重力對(duì)風(fēng)箏紙面中心 產(chǎn)產(chǎn) 生的力矩平衡：生的力矩平衡： O 分別代入分別代入 值可得值可得 2211 ，；，TT cmrcmr63. 01 . 4 21 ， 2021/3/1340 M g M O OT C D r r b b 圖圖3 v cmrcmr63. 01 . 4 21 ， 所以所以,O與與C的豎直高度差為的豎直高度差為 cm b

36、rr cm b rr 6 .22sin 2 9 .15sin 2 222 111 ， 由圖由圖3可見(jiàn)可見(jiàn) b r )sin( 分別代入分別代入、r、b值可得值可得9 .34,66. 9 21 因?yàn)橐驗(yàn)镃OD是等腰三角形是等腰三角形,所以所以 2 sin2 bxOD 2021/3/1341 2 sin2 bxOD M g M O OT C D r r b b 圖圖3 v 代入代入b、值得值得cmxcmx304 . 8 21 ， 又由又由 可得可得 22 ) 2 ( a xBOAO D A B C a b O 圖圖1 M cmBOAO7 .31 或或cmBOAO36 2021/3/1342 例例10 10 解解: : 圖圖1 A B O1 O2 Mg Mg F1 N1 F2 N2 F3 F3 N3 N3 A B 圖圖2 圓柱體圓柱體A、B的受力情況如圖的受力情況如圖2所示所示. 據(jù)平衡條件可列出如下平衡方程據(jù)平衡條件可列出如下平衡方程: 對(duì)對(duì)圓柱體圓柱體A有有: ) 1 (0cossin 331 FNNMg )2(0sincos 331 FNF )3( 31 RFRF（對(duì)（對(duì)O1軸）軸） 對(duì)對(duì)圓柱體圓