極限的運(yùn)算法則[教育知識(shí)]

1、目錄目錄 目錄目錄 數(shù)理與信息技術(shù)系數(shù)理與信息技術(shù)系 * 目錄目錄 定理（唯一性）：若函數(shù)f(x)有極限，則極限值 是唯一的. 一、函數(shù)極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的性質(zhì) 定理（迫斂定理）：如果在x=x0附近(點(diǎn)x0可以除 外) （1） （2） 那么 ( )( )( )g xf xh x 00 lim( )lim ( ) xxxx g xh xA 0 lim( ) xx f xA 目錄目錄 設(shè)在某極限過(guò)程中, 函數(shù) f (x)、g(x) 的極限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 則 二、極限的四則運(yùn)算法則二、極限的四則運(yùn)算法則 )()(limxgxf )(lim)(limxgxf 1 1

2、、加法法則：、加法法則：代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和 推論推論1：推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和：推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和 2 2、乘法法則、乘法法則：乘積的極限等于極限的乘積：乘積的極限等于極限的乘積 )()(limxgxf )(lim)(limxgxf 目錄目錄 特例特例2 2：推廣到有限個(gè)函數(shù)的積：推廣到有限個(gè)函數(shù)的積 lim( )lim ( )cf xcf x （c為常數(shù)）為常數(shù)） 特例特例1 1：常數(shù)因子可提到極限記號(hào)外面：常數(shù)因子可提到極限記號(hào)外面 )( )( lim xg xf lim ( ) lim ( ) f x A g xB 0 B （ ） 3、除法法

3、則、除法法則: 商的極限等于極限的商商的極限等于極限的商 小小 結(jié)結(jié): : 函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限 的和、差、積、商的和、差、積、商 * lim ( )lim( )N nnn f xf xA n（） 目錄目錄 (1)和函數(shù)的極限等于極限的和. (2)積函數(shù)的極限等于極限的乘積. (3)商函數(shù)的極限等于極限的商(分母不為零). 差一點(diǎn) ! 結(jié)論成立的條件. 目錄目錄 課本例題：課本例題： 2 2 lim(2 ) x xx . 4 1 lim 2 3 x x x 4 1 lim 2 3 x x x ）（ ）（ 4lim 1lim 3 2 3 x

4、 x x x .10 43 19 例：例： 解：解：)4(lim 3 x x 4limlim 33 xx x0143 .53lim 2 2 ）（ xx x )53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 352322 例：例： 解：解： 代入法 目錄目錄 定義：定義： 無(wú)窮小之比或無(wú)窮大之比的極限等，這類極限無(wú)窮小之比或無(wú)窮大之比的極限等，這類極限 可能存在，也可能不存在，極限存在也會(huì)有各種不同的結(jié)果。可能存在，也可能不存在，極限存在也會(huì)有各種不同的結(jié)果。 這種類型的極限稱為這種類型的極限稱為未定式極限未定式極限。 不能直接使用極 限的四則運(yùn)算法 則來(lái)計(jì)算

5、的極限 未定式極限未定式極限 ”“0 0 ,1”“ ”“0”“ 主要的未定式的極限有: 目錄目錄 方法：分子分母分解因式，消去使他們趨于方法：分子分母分解因式，消去使他們趨于 零的公因子零的公因子 型有理式型有理式 0 0 . 1 *求未定式極限方法舉例、練習(xí)求未定式極限方法舉例、練習(xí) ) 0 0 (型型 解解 例例 約零因子法（因約零因子法（因 式分解）式分解） 2 4 16 lim 4 x x x 2 444 16(4)(4) limlimlim(4)8 44 xxx xxx x xx 目錄目錄 2 3 9 lim 3 x x x )3( )3)(3( lim 3 9 lim 3 2 3

6、x xx x x xx 2 33 lim90 lim30. xx xx 分析：因?yàn)椋ǎ?（） 6)3(lim 3 x x 解解 練習(xí)練習(xí) 目錄目錄 方法：分子分母同時(shí)除以方法：分子分母同時(shí)除以x x的最高次方冪的最高次方冪 2. 型有理式及無(wú)理式 約最高次冪法約最高次冪法 目錄目錄 . 13 32 lim 2 2 x x x 13 32 lim 2 2 x x x ) 1 3(lim ) 3 2(lim 2 2 x x x x 3 2 03 02 )(型型 解解 例例1 ,分分母母都都趨趨于于無(wú)無(wú)窮窮大大分分子子時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)分分析析 x ., 2 再再求求極極限限轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為無(wú)無(wú)窮窮小小去去除除

7、分分子子分分母母先先用用x 2 2 1 3 3 2 lim x x x 目錄目錄 2 2 11 lim() 0 11 lim(1) x x xx xx 2 1 lim. 1 x x xx )(型型 2 2 11 lim 11 1 x xx xx 例例2 . 324 23 lim 3 2 xx xx x )(型型 32 32 32 4 213 lim xx xxx x 0 4 0 例例3 目錄目錄 為非負(fù)整數(shù)時(shí)有為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 0 00 lim 1 10 1 10 n nn m mm x bxbxb axaxa 小小 結(jié)結(jié): : 0 0 , a nm b 當(dāng)（分子最高次冪

8、分母最高次冪） 0, mn當(dāng)（分子最高次冪分母最高次冪） 要記住哦要記住哦 ! ! 目錄目錄 練習(xí)練習(xí) 2 2 534 1.lim 761 x xx xx 求 2 3 534 2.lim 761 x xx xx 求 7 5 =0 目錄目錄 3.型有理式 方法：方法：先通分化為分式，再求極限先通分化為分式，再求極限 先化簡(jiǎn)再用先化簡(jiǎn)再用 約最高次冪法約最高次冪法 目錄目錄 ). 1 2 1 1 (lim 2 1 xx x 1 2 lim, 1 1 lim 2 11 xx xx 分析：分析： ) 1 2 1 1 (lim 2 1 xx x 1 1 lim 2 1 x x x 1 1 lim 1 x

9、 x 2 1 解解 例例 )( ) 1 2 1 1 (lim 22 1 xx x x 0 0 )1)(1( 1 lim 1 xx x x 目錄目錄 0 0 練習(xí)練習(xí) ). 1 1 1 3 (lim 3 1 xx x 求求 1 2 lim 3 2 1 x xx x 3 2 1 1 )1(3 lim x xx x ). 1 1 1 3 (lim 3 2 3 1 x xx x x 3 2 1 1 2 lim x xx x )1)(1( )2)(1( lim 2 1 xxx xx x 1 1 2 lim 2 1 xx x x 目錄目錄 ). 21 (lim 222 n n nn n 求求 是無(wú)窮小之和

10、是無(wú)窮小之和時(shí)時(shí), n 2222 21 lim) 21 (lim n n n n nn nn 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1 1 (lim 2 1 n n . 2 1 先變形再求極限先變形再求極限. 說(shuō)明說(shuō)明:無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè) 無(wú)窮小量之無(wú)窮小量之 和不一定是和不一定是 無(wú)窮小無(wú)窮小 解解 例例 目錄目錄 小結(jié)小結(jié) - -極限求法極限求法; ; 1.1.多項(xiàng)式與分母不為零的分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分母不為零的分式函數(shù)代入法求極限; ; 6.6.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限. . 2.2.利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求 型極限型極限; ; 3.3.消去零因子法求